1.3.1 直角三角形的性质与判定-课件(共29张PPT)--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

(共29张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.3.1直角三角形的性质与判定第一章三角形的证明及其应用
1.会证明直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用性质进行计算和证明。
2.能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假，会识别两个互逆命题。
3.通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证明。
进行新课
探究1：直角三角形的两个锐角互余，为什么？
根据三角形内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”。
如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
A
B
C
如图，在△ABC中，∠A+∠C=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，
又∠A+∠C=90°，
∴∠B=90°。
于是△ABC是直角三角形。
1. 下列说法错误的是( )
B
A. 任何命题都有逆命题
B. 任何定理都有逆定理
C. 命题的逆命题不一定是真命题
D. 定理的逆定理一定是真命题
（第2题）
2. 如图，在中， ,
，以点 为圆心，适当长为半
径画弧，交于点，交于点 ；再分
别以点,为圆心，大于 的长为半径
B
A. B. C. D.
画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点 ；
画射线，与相交于点，则 的大小为( )
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
思考 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗
已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°.
∵∠A+∠B=90°，
∴ ∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴ △ABC是直角三角形.
C
B
A
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
C
B
A
符号语言：
在△ABC中，
∵ ∠A+∠B=90°，
∴ △ABC是直角三角形，且∠C=90°.
（第3题）
3. 如图是由两个直角三角形和
三个正方形组成的图形，其中
阴影部分的面积是( )
C
A. 169 B. 144 C. 25 D. 16
4. 在中，，，分别是，， 的对边，在下
列条件中，不能确定 的形状是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
A
我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理. 实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理.（证明可参考本节“阅读·赏析”）
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
符号语言：在Rt△ABC中，
∵ ∠C=90°，
∴ AC2+BC2=AB2.
C
B
A
已知：如图，在△ABC中，AB2+AC2=BC2.
求证：△ABC是直角三角形.
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
C
A
B
证明：如图，作Rt△A′B′C′，使∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC，
则A′B′2+A′C′2=B′C′2(勾股定理).
∵ AB2+AC2=BC2，
∴ BC2=B′C′2.
∴ BC=B′C′.
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴ ∠A=∠A′=90°(全等三角形的对应角相等).
因此，△ABC是直角三角形.
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
C
A
B
C ′
A′
B′
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
定理 如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
符号语言：
在△ABC中，
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
C
B
A
例1 如图，AD⊥BC，垂足为D. 如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角吗 请说明理由.
知识点1 直角三角形的性质定理和判定定理
C
A
B
D
∟
1
2
4
解：∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=∠ADB=90°.
∴ 在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2=22+12=5.
在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=22+42=20.
∵ AC2+AB2=20+5=25，BC2=52=25.
∴ AC2+AB2=BC2.
∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.
5.如图，在中，，，，是
边上的中线，则 的长度为____.
（第5题）
（第6题）
6.如图，在一条东西走向河流的一侧有
一村庄，河边原有两个取水点， ，
道路 因为施工需要封闭，该村为方便
村民取水，决定在河边新建一个取水点
（，， 在同一条直线上），并新
0.5
修一条道路，已知，， ，
新的取水点与原取水点相距，则新建后 比原
来（）少走____ .
(1) 观察本节第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系 第三个定理和第四个定理呢
定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
第一个定理的条件和结论分别是第二个定理的结论和条件.
第三个定理(勾股定理)的条件和结论，分别是第四个定理(勾股定理的逆定理)的结论和条件.
知识点2 互逆命题与互逆定理
(2)观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果a=b，那么a2=b2；
如果a2=b2，那么a=b.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗
有.
知识点2 互逆命题与互逆定理
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗 它们都是真命题吗
逆命题为“如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等”.
原命题是真命题，逆命题是假命题.
知识点2 互逆命题与互逆定理
（第7题）
7. 将一副直角三角尺和一把宽度为2的
直尺按如图方式摆放：先把两个三角尺
的 和 角的顶点及它们的一条直
角边重合，再将此直角边垂直于直尺的
B
A. B. C. 2 D.
上沿，重合的顶点落在直尺的下沿上，这两个三角尺的斜边
分别交直尺上沿于，两点，则 的长是( )
例如：定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
知识点2 互逆命题与互逆定理
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
注意：命题都有逆命题，但定理不一定都有逆定理.
（第8题）
8. 如图，在 中，
， ，
，是上一动点，过点 作
于点，于点 ，
，则 的长是( )
C
A. B. C. D. 不确定
（第8题）
【点拨】设 ，则
，
，
，
，解得
（舍去）或 .连接
，
.
9. 在如图所示的正方形网格中（每个正方形的
边长均为1），点，，，， 分别是网格线的交点，则
的度数为______.
【点拨】如图，取格点，连接 ，
， 由勾股定理得
,
，
.
. 是等腰直角三
角形. .， ，
， .
10. 如图①是第七届国
际数学教育大会 的会徽图
案，它是由图②的一串直角三角形
4或9或16
演化而成的，其中 . 现
把图②中的直角三角形继续作下去.若 的长是整数，且
，则符合条件的 的值是__________.
11. 定义：若,,是 的三边，且
,则称 为“方倍三角形”.
（1）对于①等边三角形；②直角三角形.下列说法一定正确
的是( )
A
A. ①一定是“方倍三角形”
B. ②一定是“方倍三角形”
C. ①②一定都是“方倍三角形”
D. ①②一定都不是“方倍三角形”
课堂小结
定理 直角三角形的两个锐角互余。
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
定理 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
原命题
逆命题
原命题
逆命题
互逆命题
互逆命题