1.4.2 垂直平分线的有关作图-课件(共26张PPT)--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

(共26张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.4.2垂直平分线的有关作图第一章三角形的证明及其应用情境导入
C
N
M
B
A
前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形。
a
c
那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角形吗？
思考 (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗
能，这样的三角形能画出无数个，因为高的位置可以不同，所以它们不都全等.
知识点1 尺规作图
(2) 已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗 能作几个
因为等腰三角形底边上的高的位置是固定的，所在直线只能垂直平分底边，所以能用尺规作出满足条件的等腰三角形，且这样的三角形只有一个.
知识点1 尺规作图
作法 图形
已知线段a，h，用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
知识点1 尺规作图
△ABC就是所要作的等腰三角形．
a
h
a
l
A
B
C
h
D
1．作线段BC，使BC ＝a．
2．作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D．
3．在l上作线段DA，使DA＝h．
4．连接AB，AC．
1. 如图是一块三角形的草坪，点，， 处各
种一棵树，现要建一灌溉出水口，要使出水口到三棵树的距
离相等，则灌溉出水口的位置应选在( )
A
A. 三边的垂直平分线的交点处
B. 三条角平分线的交点处
C. 三条高所在直线的交点处
D. 三条中线的交点处
2. 若三角形三边垂直平分线的交点在三角形的某一边上，则
该三角形是( )
A
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
思考
还记得用尺规过直线l上一点P作的垂线的方法吗
这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题.
知识点1 尺规作图
A
B
M
l
P
如果点P在直线l外呢 此时，还能运用这种转化的方法吗

作法 图形
已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.
知识点1 尺规作图
A
B
m
l
P
Q


1. 任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁.
2. 以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，
交直线l于点A和点B.
3. 作线段 AB的垂直平分线m.
直线m就是所要作的直线.
为什么直线m经过点P
因为点P到直线上点A，B的距离相等，
所以点P一定在线段 AB的垂直平分线m上.
知识点1 尺规作图
3. 如图，已知 ，用尺规在
上确定一点，使 ，则下
列四种不同的作图方法中正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
B
4.如图，在中，边，的垂直平分线交于点 ，若
，则 的大小是______.
5.如图，已知直线和外一点 ，请用尺规作图法，作一个等
腰直角三角形，使得顶点和顶点都在直线 上.
（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，
不写作法）
【解】等腰直角三角形 如
图所示.（答案不唯一）
例1 已知线段a，求作以a为底，以a为底边上的高的等腰三角形.
解：已知线段a，如图(1)所示.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=a.
知识点1 尺规作图
(1)
作法：如图(2)所示.
① 作线段BC=a.
② 作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D.
③ 在DM上依次截取DE，EA，使DE=a，EA= a
(即等于线段BD或CD的长).
④ 连接AB，AC.
△ABC为所要作的等腰三角形.
知识点1 尺规作图
(2)
(1)
M
B
C
D
A
N
E
例2 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E.
求证：边AC的垂直平分线经过点P.
知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质
分析：要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件 已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论
B
A
C
P
E
D
证明：如图，连接PA，PB，PC.
∵ 点P在边AB的垂直平分线上，
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点
到这条线段两个端点的距离相等).
同理，PB=PC.
∴ PA=PB=PC.
∴ 点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，
即边AC的垂直平分线经过点P.
知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质
B
A
C
P
E
D
（第6题）
6. [2025辽宁] 如图，在 中，
，，， 的
平分线与相交于点.在线段 上取
一点，以点为圆心， 长为半径作弧，
与射线相交于点和点 ，再分别以点
B
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点
，作射线，与相交于点，连接,则 的周长
为 ( )
（第6题）
【点拨】由作图可知，，设 ,
交于点，则 .
平分， ，又
，
，
垂直平分 ，
的周长为
.
符号语言：
∵ 直线MN，EF，PQ分别垂直平
分线段BC，AB，AC，
∴ 直线MN，EF，PQ相交于点O，
且OA=OB=OC.
知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 这个点叫作三角形的外心.
三角形三条边的垂直平分线的交点位置如下：
锐角三角形
三角形内部
直角三角形
斜边中点
钝角三角形
三角形外部
知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质
（第7题）
7.[2025广安] 如图，在 中，按以下
步骤作图：（1）以点为圆心， 的长
为半径画弧，交于点 ；（2）分别以
点和点为圆心，大于 的长为半径
画弧，两弧相交于点；（3）画射线
12
交于点.若，，，则 的长
为____.
【点拨】， ，
.连接 ，如图.根据
题意可得，垂直平分 ，
， ,
.
， ，
， .
8.如图，是的边 的中点，过
延长线上一点作的垂线，
与的延长线交于点，，点
在上，且.求证：是
三边垂直平分线的交点.
【证明】如图，连接 .
是的边 的中点，
.
， ，
.
， .
是 三边垂直平分线的交点.
课堂小结
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
P
三角形三边的垂直平分线：
B
C
l
D
A
P
l
Q
A
B
m
尺规作图：
作等腰三角形
过直线外一点作已知直线的垂线