1.5.2 三角形三个内角的平分线-课件(共29张PPT)--2025-2026学年北师大版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 1.5.2 三角形三个内角的平分线-课件(共29张PPT)--2025-2026学年北师大版数学八年级下册 |
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|
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 22.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-28 00:00:00 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.5.2三角形三个内角的平分线第一章三角形的证明及其应用复习回顾
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
O
A
B
P
D
E
O
A
B
P
D
E
进行新课
例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。
（1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长；
（2）求证：AB = AC + CD。
E
D
A
B
C
∵AC = BC，∴∠B = ∠BAC（等边对等角）。
∵∠C = 90°，∴∠B = ×90°=45°。
∴∠BDE=90°– 45°= 45°。
∴BE = DE（等角对等边）。
在等腰直角三角形 BDE 中，
cm（勾股定理）。
∴AC = BC = CD + BD = cm.
（1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE = CD = 4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)。
例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。
（1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长；
E
D
A
B
C
例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。
（2）求证：AB = AC + CD。
E
D
A
B
C
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）。
∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）。
∵BE = DE = CD，
∴AB = AE + BE = AC + CD。
（第1题）
1. 如图，在中，和
的平分线交于点， ，
，若的面积为 ，
则 的面积为( )
A
A. B. C. D.
（第2题）
2. 如图是油路管道的一部
分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三
角形，两直角边，的长分别为 和
.按照输油中心 到三条支路的距离相等
来连接管道，则 到三条支路的管道总长
（计算时视管道为线段）是___ .
6
例2 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P. 求证：∠A的平分线经过点P.
分析：要证明∠A的平分线经过点P，需要什么条件
已知的两条角平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
P
A
B
N
C
M
点P到∠A的两边的距离相等
点P到∠ABC， ∠ACB的两边的距离相等
证明：如图，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为 D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，
∴ PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边
的距离相等). 同理，PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即∠A的平分线经过点P.
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
P
A
B
N
C
M
D
F
E
（第3题）
3.如图，已知在 中，
，，，
平分，平分， 与
交于点，若过点的直线
平分的面积，那么
的值为___.
6
【点拨】如图，连接，过点 作
于点，于点 ，
于点平分， 平分
，与交于点， ，
，， ，
，
，即 ，解得
过点的直线平分 的
面积，
， ，
.
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
三角形的角平分线：三角形的三条角平分线交与一点，并且这点到三边的距离相等.
该点称为三角形的内心.
符号语言：
① 在△ABC中，
∵ BD，CE，AG分别是∠ABC，∠ACB，∠BAC的平分线，
∴ BD，CE，AG相交于一点P.
② 若过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PF⊥AB，
垂足分别为点M，N，F，则PM=PN=PF.
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
取一张半透明纸，在半透明纸上画一个三角形，折出所画三角形的三条角平分线，你有什么发现
三角形的三条角平分线交于一点，交点在三角形内部.
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
（第4题）
4.如图，在中，和 的平分
线,相交于点，过点作 于点
，则以下结论：①若 ，则
； ；③若
， ，则
①②③
；④平面内到三条直线,, 距离相等的
点有3个.其中正确的有________.（只填写序号）
（第4题）
【点拨】在中，若 ，则
.,分别平分, ，
,
在 中，
，故
①正确；
， .
如图①所示，过点作,于点, ，
过点作于点，是 的平分线，
,
，
， ，故②正确；
如图②所示，过点作,于点, ，连接
,分别平分,，， ，
故③正确；
， 三角形内部有一个点 到
直线,,的距离相等，如图③所示，作 外角的平
分线,，交于点.过点作, ,
,由角平分线的性质定理可得 ，
同理可得，三角形外部共有3个点到直线,,
的距离相等， 共有4个点到直线,,
的距离相等，故④错误；
综上所述，正确的有①②③.
5.[2025北京汇文中学月考] 已知点是 平分线上的一
点，的两边，分别与射线，相交于，
两点，且 ，过点作 ，垂足
为 .#1
（1）如图①，当点在线段上时，求证： ；
【证明】如图①，过点作，垂足为 .
因为平分，，所以 .
因为 ， ，
所以 .
又因为 ，
所以.所以 .
（2）如图②，当点在线段 的延长线上时，请直接写出
线段，与 之间的数量关系；
【解】.【点拨】如图②，过点作 ，
垂足为.因为平分，，所以 .又因
为，所以,所以 .因为
， ，所以
.又因为 ，
所以，所以 ，所以
，所以 .
（3）如图③，在（2）的条件下，若 ，连接
，作的平分线交于点，交于点 ，连接
并延长交于点，若，，求线段 的长.
【解】如图③，在上截取，连接 .
因为平分，所以 .
又因为，所以 ,
所以， .
因为是的平分线，是 的平分线，
所以是的平分线，所以 .
因为， ，所
以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
又因为 ，
所以，所以 ，
所以 .
课堂小结
A
B
C
P
M
N
E
F
D
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.5.2三角形三个内角的平分线第一章三角形的证明及其应用复习回顾
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
O
A
B
P
D
E
O
A
B
P
D
E
进行新课
例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。
（1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长；
（2）求证：AB = AC + CD。
E
D
A
B
C
∵AC = BC，∴∠B = ∠BAC（等边对等角）。
∵∠C = 90°，∴∠B = ×90°=45°。
∴∠BDE=90°– 45°= 45°。
∴BE = DE（等角对等边）。
在等腰直角三角形 BDE 中，
cm（勾股定理）。
∴AC = BC = CD + BD = cm.
（1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE = CD = 4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)。
例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。
（1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长；
E
D
A
B
C
例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。
（2）求证：AB = AC + CD。
E
D
A
B
C
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）。
∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）。
∵BE = DE = CD，
∴AB = AE + BE = AC + CD。
（第1题）
1. 如图，在中，和
的平分线交于点， ，
，若的面积为 ，
则 的面积为( )
A
A. B. C. D.
（第2题）
2. 如图是油路管道的一部
分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三
角形，两直角边，的长分别为 和
.按照输油中心 到三条支路的距离相等
来连接管道，则 到三条支路的管道总长
（计算时视管道为线段）是___ .
6
例2 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P. 求证：∠A的平分线经过点P.
分析：要证明∠A的平分线经过点P，需要什么条件
已知的两条角平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
P
A
B
N
C
M
点P到∠A的两边的距离相等
点P到∠ABC， ∠ACB的两边的距离相等
证明：如图，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为 D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，
∴ PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边
的距离相等). 同理，PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即∠A的平分线经过点P.
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
P
A
B
N
C
M
D
F
E
（第3题）
3.如图，已知在 中，
，，，
平分，平分， 与
交于点，若过点的直线
平分的面积，那么
的值为___.
6
【点拨】如图，连接，过点 作
于点，于点 ，
于点平分， 平分
，与交于点， ，
，， ，
，
，即 ，解得
过点的直线平分 的
面积，
， ，
.
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
三角形的角平分线：三角形的三条角平分线交与一点，并且这点到三边的距离相等.
该点称为三角形的内心.
符号语言：
① 在△ABC中，
∵ BD，CE，AG分别是∠ABC，∠ACB，∠BAC的平分线，
∴ BD，CE，AG相交于一点P.
② 若过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PF⊥AB，
垂足分别为点M，N，F，则PM=PN=PF.
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
知识点2 三角形三个内角的平分线的性质
取一张半透明纸，在半透明纸上画一个三角形，折出所画三角形的三条角平分线，你有什么发现
三角形的三条角平分线交于一点，交点在三角形内部.
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
（第4题）
4.如图，在中，和 的平分
线,相交于点，过点作 于点
，则以下结论：①若 ，则
； ；③若
， ，则
①②③
；④平面内到三条直线,, 距离相等的
点有3个.其中正确的有________.（只填写序号）
（第4题）
【点拨】在中，若 ，则
.,分别平分, ，
,
在 中，
，故
①正确；
， .
如图①所示，过点作,于点, ，
过点作于点，是 的平分线，
,
，
， ，故②正确；
如图②所示，过点作,于点, ，连接
,分别平分,，， ，
故③正确；
， 三角形内部有一个点 到
直线,,的距离相等，如图③所示，作 外角的平
分线,，交于点.过点作, ,
,由角平分线的性质定理可得 ，
同理可得，三角形外部共有3个点到直线,,
的距离相等， 共有4个点到直线,,
的距离相等，故④错误；
综上所述，正确的有①②③.
5.[2025北京汇文中学月考] 已知点是 平分线上的一
点，的两边，分别与射线，相交于，
两点，且 ，过点作 ，垂足
为 .#1
（1）如图①，当点在线段上时，求证： ；
【证明】如图①，过点作，垂足为 .
因为平分，，所以 .
因为 ， ，
所以 .
又因为 ，
所以.所以 .
（2）如图②，当点在线段 的延长线上时，请直接写出
线段，与 之间的数量关系；
【解】.【点拨】如图②，过点作 ，
垂足为.因为平分，，所以 .又因
为，所以,所以 .因为
， ，所以
.又因为 ，
所以，所以 ，所以
，所以 .
（3）如图③，在（2）的条件下，若 ，连接
，作的平分线交于点，交于点 ，连接
并延长交于点，若，，求线段 的长.
【解】如图③，在上截取，连接 .
因为平分，所以 .
又因为，所以 ,
所以， .
因为是的平分线，是 的平分线，
所以是的平分线，所以 .
因为， ，所
以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
又因为 ，
所以，所以 ，
所以 .
课堂小结
A
B
C
P
M
N
E
F
D
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
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