5.3.2 解分式方程-课件(共37张PPT)--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

(共37张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.5.3.2解分式方程第五章　分式与分式方程
学习目标
掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法.
理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法.
分式方程
转化
整式方程
思考：你能设法求出上一节课列出的分式方程
的解吗？
探究新知
知识点
分式方程的解法
知识点 分式方程的解法
例1 解方程： = .
解：因为分式中分母不能为零，所以x≠2，且x≠0.
方程的两边都乘x(x-2)，得
x=3(x-2).
解这个方程，得x=3.
检验：将x=3代入原方程，得左边=1，右边=1，左边=右边.
所以，x=3是原方程的根.
知识点 分式方程的解法
解分式方程的基本思路：
是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.
这是解分式方程的一般方法.
1. 解分式方程 时，去分母正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
2. [2025株洲期末] 已知关于的方程的解是 ，
则 的值为( )
C
A. 2 B. 1 C. D.
3.若分式方程（其中 为常数）产生增根，则增
根是______.
4. 如图，点, 在数轴上，它们所表示的数
分别是,,且点到原点的距离是点 到原点的距离的2倍，
则 ____.
你会解吗
你认为x=2是原方程的根吗
知识点 分式方程的解法
小亮的解法如下：
方程的两边都乘(x-2)，得 1-x=-1-2(x-2).
解这个方程，得 x=2.
你会解吗
知识点 分式方程的解法
小亮的解法如下：
方程的两边都乘(x-2)，得 1-x=-1-2(x-2).
解这个方程，得 x=2.
在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根.
为什么会产生增根？
将分式方程化为整式方程时，需两边同乘含未知数的整式，若乘的整式的值为 0，相当于给方程两边乘了0，破坏了等式的等价性，导致解出的根不满足原方程（分母不为零）.
知识点 分式方程的解法
方程的两边都乘(x-2)，得 1-x=-1-2(x-2).
解这个方程，得 x=2.
注意 ：
(1) 增根是去分母后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根；
(2) 若一个分式方程有增根，则此增根必使最简公分母的值为零.
知识点 分式方程的解法
方程的两边都乘(x-2)，得 1-x=-1-2(x-2).
解这个方程，得 x=2.
5.解方程：
（1） ;
【解】方程两边同时乘 ,
得,解得 .
经检验， 是原分式方程的根.
（2） ;
方程两边同时乘 ,得
,解得 .
经检验, 是原分式方程的根.
（3） .
方程两边同时乘 ，得
，解得 .
经检验， 是原方程的增根.
所以原分式方程无解.
知识点 分式方程的解法
因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验，通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零.
你是怎样解分式方程的 解分式方程应注意什么
1. 去分母，化为整式方程(方程两边各项乘以最简公分母).
2. 解这个整式方程，得到方程的根.
3. 检验：判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解.
(1) 把未知数的值代入原方程(一般方法)；
(2) 把未知数的值代入最简公分母(简便方法).
4. 结论：确定分式方程的解.
解分式方程必须检验根，检验根是解分式方程的必要步骤.
知识点 分式方程的解法
6.[2025广东] 在解分式方程 时，小李的解法如
下：#2
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断
小李的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程.#2.1.1
【解】第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘
以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立；
小李的解答过程不正确.正确解答过程如下：
，
，
，
，解得，经检验， 是增根.
所以原方程无解.
7. 分式方程的解为正数，则 的取值范围是
( )
B
A. B. 且
C. D. 且
【点拨】方程两边同时乘，得 ，解得
分式方程 的解为正数，
，.又，即 ，
的取值范围为且 .
8. 如果关于的分式方程无解，那么 的值
为( )
B
A. B. 或
C. 或 D. 或或
【点拨】分式方程两边同乘 ，得
，整理得 .
要使原分式方程无解，则有以下两种情况：
①当，即 时，整式方程无解，所以原分式
方程无解；
②当时，解得 .
要使原分式方程无解，则 是原分式方程的增根.
由，得或 .
当时，，解得 ，
经检验，是分式方程 的根；
当时， ,此方程无解.
综上所述，当或 时，原分式方程无解．
9. 对于两个不相等的实数， ，规定：
,表示，中的较大值，如 ，按照这个
规定，方程 的解为( )
C
A. B.
C. 或 D. 或
【点拨】当时，，解得 .经
检验，是原分式方程的解，且满足题意；当 时，
，解得，经检验， 是
原分式方程的解，且满足题意.综上所述，或 .故
选C.
10. [2025眉山] 若关于的不等式组 至少有
两个正整数解，且关于的分式方程 的解为正整
数，则所有满足条件的整数 的值之和为( )
B
A. 8 B. 14 C. 18 D. 38
【点拨】解①，得 .解②，得
.根据题意知不等式组的解集为 关于
的不等式组 至少有两个正整数解，
，.分式方程化简为 ，
解得.分式方程的解为正整数且，则 为大于或
等于2的整数，即为大于或等于6的偶数.， 或
8.当时，不等式组的解集为 ，整数解为3,4,5，
满足条件.当时，不等式组的解集为 ，整数
解为4,5，满足条件.则所有满足条件的整数 的值之和为
.故选B.
11. 若一次函数 的图象经过
第一、二、四象限，且关于的分式方程 的解
为非负整数，则所有满足条件的 的值是_________.
或
【点拨】 一次函数 的图象经过第一、二、
四象限， 的解为
，且分式方程的解为非负整数，且
且是整数.且， ,
且.又 为整
数，或或 .
12.探索发现：，，， .根
据你发现的规律，回答下列问题：
（1）______， ________；
（2）计算： ；
【解】原式
.
（3）解方程： .
由题可得，，解得 ，
经检验 是分式方程的解.
13. 阅读下列材料，解答后面的问题.#1
解方程： .
解：设，则原方程化为，方程两边同时乘 ，
得，解得.经检验， 都是方程
的解. 当时，，解得 ；当
时，，解得.经检验，或 都
是原分式方程的解. 原分式方程的解为或 .#1.1.1
上述这种解分式方程的方法称为换元法.#1.1.2
（1）若在方程中，设 ，则原方程可化
为_ _______________；
（2）若在方程中，设 ，则原方程可化
为_ _________；
【解】
（3）模仿上述换元法解方程： .
原方程化为，设 ，
则原方程化为 ，
方程两边同时乘,得，解得 .
经检验,都是方程 的解.
当时， ，该方程无解；
当时，，解得 .
经检验, 是原分式方程的解.
原分式方程的解为 .
分式
方程的解法
容易犯的错误
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
步骤
（去分母法）
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）
(2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)忘记检验
课堂小结