5.3.3 分式方程的应用-课件(共33张PPT)--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

(共33张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.5.3.3分式方程的应用第五章　分式与分式方程
学习目标
理解数量关系正确列出分式方程.
2. 在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.
3. 培养应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．
思考：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
表格法分析如下：
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲队
乙队
等量关系：
甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
设乙单独完成这项工程需要x个月.
探究新知
知识点 1
列分式方程解决工程问题
解：设乙单独 完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得
即
方程两边都乘以2x,得
解得 x=1.
检验：当x=1时，2x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.
探究新知
思考：本题的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”
此时表格怎么列，方程又怎么列呢？
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲单独
两队合作
设乙单独 完成这项工程需要x天.则乙队的工作效率是 ， 甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 .
此时方程是：
1
探究新知
列分式方程解决实际问题的一般步骤：
(1) 审：审清题意，找出题中的等量关系.
(2) 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性.
(3) 列：根据题中的等量关系列出分式方程.
(4) 解：求解列出的分式方程.
(5) 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的根，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求.
(6) 答：写出答案(要有单位).
知识点 分式方程的应用
分式方程应用的主要类型：
(1) 利润问题：利润=售价-进价，利润率=×100%.
(2) 工程问题：工作量=工作效率×工作时间.
(3) 行程问题：路程=速度×时间.
(4) 方案选择问题.
知识点 分式方程的应用
例1 师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品.
分析：问题中有怎样的等量关系
如何分别用代数式表示师傅加工300个这种工艺品、徒弟加工120个这种工艺品所用的时间
知识点 分式方程的应用
工作时间=工作量÷工作效率
解：设徒弟每天加工这种工艺品x个，则师傅每天加工这种工艺品(x+10)个，根据题意，得
解这个方程，得x=40.
经检验，x=40是所列方程的根.
40+10=50.
所以，师傅每天加工这种工艺品 50个，徒弟每天加工这种工艺品40个.
知识点 分式方程的应用
知识点 分式方程的应用
跟踪训练 何老师去书店买书，他先用60元买了一种科普书若干本，又用60元买了一种文学书若干本.已知所买科普书的单价是文学书单价的1.5倍，何老师所买科普书比文学书少1本，求这种科普书的单价.
知识点 分式方程的应用
解：设这种文学书的单价是x元，则这种科普书的单价是1.5x元.
根据题意，得 .
解这个方程，得x=20.
经检验，x=20是所列方程的根，且符合题意.
1.5×20=30.
所以这种科普书的单价是30元.
知识点 分式方程的应用
跟踪训练 有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12 000kg和14 000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块试验田每公顷的产量少1 500kg，求第一块试验田每公顷的产量.
知识点 分式方程的应用
解：设第一块试验田每公顷的产量是x kg，则第二块试验田每公顷的产量是(x+1 500)kg.
根据题意，得 ，
解这个方程，得x=9 000.
经检验，x=9 000是所列方程的根，且符合题意.
所以第一块试验田每公顷的产量是9 000kg.
1. 学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号
的学生准备了，两种礼物.已知， 两种礼物的总价分别
为480元和450元，且种礼物比种礼物多15份，， 两种
礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的 和1.2倍，则这一
批礼物的平均单价是( )
A
A. 15元 B. 元 C. 12元 D. 18元
2. “行人守法，
安全过街”反映了城市的文明
B
A. B. C. D.
程度.如图，官渡区森林公园路口的斑马线 横穿双
向行驶车道，其中 ，在绿灯亮时，小官共用
通过路段，其中通过路段时的速度是通过 路段
时速度的1.6倍，则小官通过 路段时的速度是 ( )
3. 我国自主研发的 型快速换轨
车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢
轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是
一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个
工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号
快速换轨车每小时更换钢轨多少公里.
【解】设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 公里.
根据题意得.解得 .
经检验， 是原方程的根，且符合题意.
所以一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里.
4. 甲、乙两个工程队共同承接一项工程，已知甲工程队单独
完成时间比乙工程队单独完成时间少6天.若两个工程队同时
施工4天后，再由乙工程队单独完成，则乙工程队一共所用
的时间刚好和甲工程队单独完成所用的时间相同.则甲工程队
单独完成这项工程所需的时间是( )
D
A. 30天 B. 28天 C. 18天 D. 12天
5. 现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖
，两种糖的质量和单价如下表.商店以糖的平均价格作
为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加
入甲种糖____ .
甲种糖 乙种糖
20 30
单价/元 25 15
10
6. 我国古代数学经典著
作《九章算术》记载：“今有善行者行
一百步，不善行者行六十步.今不善行
者先行一百步，善行者追之，问几何
250
步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程 （单位：步）
关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点 的纵坐
标是_____.
【点拨】设图象交点的纵坐标是 ，由“今有善行者行一百
步，不善行者行六十步”可知不善行者的速度是善行者速度的
，，解得，经检验 是方程的根
且符合题意， 两图象交点 的纵坐标是250.
7. 书画装裱是指为
书画配上衬纸、卷轴以便张贴、
欣赏和收藏，是我国具有民族传
统的一门特殊艺术.如图，一幅书
画在装裱前的大小是 ，装裱后，上、下、左、
右边衬的宽度分别是，，，.若装裱后与
的比是，且，， ，求四周边衬的宽度.
【解】由题意，得
与的比是 ，
，解得 .
经检验, 是所列方程的根, 且符合题意.
，
.
, ,
,
上、下、左、右边衬的宽度分别是
，，, .
8. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会
在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品
深受大家喜爱.某文旅中心在售， 两种吉祥物挂件，已知
每个种挂件的价格是每个种挂件价格的，用300元购买
种挂件的数量比用200元购买 种挂件的数量多7个.
（1）求每个 种挂件的价格；
【解】设每个种挂件的价格为元，则每个 种挂件的价格
为 元.
根据题意，得，解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意.
所以每个 种挂件的价格为25元.
（2）某游客计划用不超过600元购买， 两种挂件，且购买
种挂件的数量比 种挂件的数量多5个，求该游客最多购买
多少个 种挂件.
设该游客购买个种挂件，则购买个 种挂件，
由（1）得每个种挂件的价格为 （元），
根据题意，得，解得 ，
由于 为正整数，
故该游客最多购买11个 种挂件.
9. 【问题背景】2025年4月23日是第30个“世
界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩
大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放
书籍．#1
【素材呈现】
素材一：有,两种书架可供选择，种书架的单价比 种书
架的单价高 ；
素材二：用18 000元购买种书架的数量比用9 000元购买
种书架的数量多6个；
素材三：种书架数量不少于种书架数量的 ．#1.1.3
【问题解决】
（1）求出, 两种书架的单价；
【解】设种书架的单价为元，则 种书架的单价为
元.
则，解得 ，
经检验， 是所列方程的根，且符合题意.
．
, 两种书架的单价分别为1 200元、1 000元．
（2）设购买个种书架，购买总费用为元，求与 的函
数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
.
由题意得，，解得 ．
，随着 的增大而增大，
当时，的值最小，此时购买种书架
（个）.
费用最少时的购买方案是购买种书架8个， 种书架12个．
（3）实际购买时，商家调整了书架价格， 种书架每个降价
元，种书架每个涨价 元，按（2）中的购买方案需花
费21 120元，求 的值．
由题意得 ，
解得 ．
分式方程的应用
类型
行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等
方法
步骤
一审二找三设四列五解六验七答
321法
课堂小结