6.1.4 用对角线的关系判定平行四边形-课件(共31张PPT)--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

(共31张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.6.1.4用对角线的关系判定平行四边形第六章　平行四边形
学习目标
利用对角线互相平分判定平行四边形.
掌握平行四边形判定的方法.
判定
定理1
定理2
定义拓展法
文字语言
图形语言
符号语言
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
复习回顾：平行四边形判定定理
A
B
C
D
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是
ABCD
A
B
C
D
∵AB=CD, AB∥CD,
∴四边形ABCD是
ABCD
A
B
C
D
∵ ∠ A= ∠ C,
∠ B= ∠ D,∴四边形ABCD是 ABCD
导入新知
将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个四边形ABCD ．想一想，△AOB≌△COD吗？四边形ABCD的对边之间有什么关系？你得到什么结论？
A
C
B
O
D
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
探究新知
知识点
平行四边形的判定定理3
活动：
A
B
C
D
O
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知),
OB=OD (已知),
∠AOB=∠COD (对顶角相等),
∴△AOB≌△COD(SAS).
∴ ∠BAO=∠OCD ,∠ ABO=∠CDO.
∴AB∥ CD , AD∥ BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
猜想证明：
探究新知
知识点 平行四边形的判定方法-对角线
C
A
B
D
O
平行四边形的判定定理3
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
数学语言：
∵ OA=OC，OB=OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
知识点 平行四边形的判定方法-对角线
跟踪训练 有下列说法：
① 一组对角相等； ② 两条对角线互相垂直；
③ 两条对角线互相平分； ④ 一组邻角补；
⑤ 两组对边分别相等； ⑥ 两组对边分别平行.
能判定四边形是平行四边形的说法有( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
C
知识点 平行四边形的判定方法-对角线
例1 如图，E，F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
分析：要证明一个四边形是平行四边形，
如果从对角线的角度考虑，需要满足什么
条件
如果从对边的角度考虑呢
F
D
C
B
A
E
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
F
D
C
B
A
E
O
知识点 平行四边形的判定方法-对角线
证明：如图所示，连接BD，交AC于点O．
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA＝OC，OB＝OD
(平行四边形的对角线互相平分).
∵ AE＝CF，
∴ OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，
∴ 四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
还有其他证法吗
有其他证法.证明如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB∥ CD，∴ ∠BAE=∠DCF，
又∵AE=CF，∴ △ABE≌△CDF(SAS)，
∴ BE=DF， ∠AEB=∠CFD，
∴ 180°-∠AEB=180°-∠CFD，即∠BEF=∠DFE，
∴ BE∥ DF，∴ 四边形BFDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
知识点 平行四边形的判定方法-对角线
F
D
C
B
A
E
比较平行四边形的性质定理和判定定理，它们有怎样的关系
平行四边形的性质定理和判定定理互逆.
知识点 平行四边形的判定方法-对角线
平行四边形的判定方法
从边考虑：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理2).
从对角线考虑：
对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理3).
知识点 平行四边形的判定方法-对角线
知识点 平行四边形的判定方法-对角线
证明思路
① 证明另一组对边相等.
② 证明该组对边平行.
① 证明另一组对边平行.
② 证明该组对边相等.
证明对角线互相平分.
已知条件
一组对边相等
一组对边平行
对角线相交
1. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形
成为平行四边形的是( )
C
A. B.
C. D.
（第2题）
2.如图，在 中，按如下步骤尺规作
图：①分别以点,为圆心，大于 的
长为半径作弧，两弧交于点, ；②作直
线，交于点；③作射线 ，在射
线上截取（与 不重合），使得
平行四边形
；④作直线，连接，则四边形 的形状是
____________.
3. 如图，，是平行四边形对角线
上的两点，请你添加一个适当的条件：__________________
_______________，使四边形 是平行四边形.
（答案不唯一）
（第3题）
4.如图，在四边形中，，相交于点，延长 至
点，连接并延长，交的延长线于点 ，
，.连接， ，求证：四边形
是平行四边形.
【证明】 ，
.
又， 四边形 是平
行四边形.
.
， .
又 ，
.
四边形 是平行四边形.
5.如图，，交于点，过点 分别交
，于点，，， .
（1）求证： ；
【证明】，， ，
.
又， ，
.
（2）在图中，连接某些线个段可以构成一
平行四边形，请你将可以构成的平行四边形
一一列举出来.（不需要证明）
【解】连接,，可构成平行四边形 ；
连接,，可构成平行四边形 ；
连接,，可构成平行四边形 .
6. 如图，在中，， 为锐角.要在对角
线上找点，，使四边形 为平行四边形，现有甲、
乙、丙三种方案，则正确的方案是( )
（第6题）
A
A. 甲、乙、丙 B. 甲、乙
C. 甲、丙 D. 乙、丙
（第7题）
7.如图，四边形中， ，对
角线，相交于点， 于点
，于点，连接， ，若
，则下列结论：
①②④
； ；③图中共有四对全等三角形；④
四边形 是平行四边形.其中正确的结论是________.
（第7题）
【点拨】， .在
四边形是平行四边形， ，故②
正确；， ，
， 四边形 是平行四边形，故④
和中， ，
故①正确；， ，
正确；由以上可得出： ，
， ，
， ，
， 等，故③
错误. 正确的结论是①②④.
（第7题）
8. 如图是由边长为1的小等
边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边
三角形的顶点为格点.线段 的端点在格点上，
要求以 为边画一个平行四边形，且另外两
个顶点在格点上，则最多可画___个平行四边
形.
4
9. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边
形的顶点，顶点都在轴上，顶点在 轴上，其中
，，，是线段 的中点.
（1）求出， 的坐标.
【解】 四边形 为平行四边形，
， 点在 轴
上，， 点 的坐标为
，， 点 的坐标为
.
（2）平面内是否存在一点，使以，，， 为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 所有可能的坐
标；若不存在，请说明理由.
平面内存在一点，使以，，， 为顶
点的四边形是平行四边形.点 的坐标为
或或.【点拨】，
为线段的中点， ，
，设点的坐标为.分情况讨论：①当 为对角
线时，，，解得， ，
；②当 为对角线时，
，，解得 ，
，；③当 为对角线时，
，，解得， ，
.综上所述，平面内存在一点 ，
使以，，， 为顶点的四边形是平行
四边形，点的坐标为或 或
.
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
课堂小结