第四章 因式分解【章末复习】-课件(共30张PPT)--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

(共30张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.章末复习第四章因式分解概念
方法
应用
类比思想
整体思想
数形结合
转化思想
归纳思想
因式分解
提公因式法
公式法
因式分解
一、因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解.
与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法互为逆变形.
注意
(1) 因式分解的对象是多项式，结果是几个整式乘积的形式；
(2) 本章仅限于在有理数范围内因式分解；
(3) 因式分解是恒等变形.
二、提公因式法
1. 公因式：多项式各项都含有的相同因式叫作这个多项式各项的公因式.
确定公因式的方法：一定“系数”，二定“字母”，三定“指数”.
多项式中各项的公因式是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的乘积.
二、提公因式法
2. 提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.
步骤：(1) 确定公因式；
(2) 提出公因式；
(3) 确定另一个因式；
(4) 写成乘积的形式.
二、提公因式法
提公因式法因式分解的注意事项：
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
因式分解常用到以下几个恒等变形：
① b-a=-(a-b)；② (a-b)2=(b-a)2；③ (b-a)3=-(a-b)3.
三、公式法
公式法的定义：
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
三、公式法
平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.
用字母表示：a2-b2=(a+b)(a-b).
三、公式法
完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
用字母表示：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
注意：公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式.
三、公式法
因式分解的步骤
一提：有公因式的先提公因式；
二套：套用公式，两项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式(不能直接套公式时，可适当变形整理)；
三查：检查乘积中的每一个多项式的因式是否分解彻底.
考点1 因式分解的定义
1. 教材P113习题 下列等式从左到右的变形，属于因
式分解的是( )
D
A.
B.
C.
D.
2. 若是多项式 因式分解的结
果，则 的值为( )
C
A. B. 3 C. D. 6
3. 如图，两条线段把正方形 分割成边
长分别为， 的两个小正方形和两个长方形，
则利用该图形可以验证因式分解成立的是
( )
A.
B.
C. D.
B
考点2 用提公因式法和公式法进行因式分解
4. 多项式；； ；
在分解因式后，结果含有相同因式的是
( )
A
A. ①④ B. ①② C. ③④ D. ②③
5.因式分解：
（1） ;
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
拆项和添项是在因式分解难以进行的情况下采用的
一种辅助方法，通过适当的“拆项”或“添项”，再分组，以达
到因式分解的最终目的.
令,则原式 .
将代入，得原式 .
考点3 因式分解的应用
6. [2025淄博期中] 已知， ，则整式
的值为( )
C
A. B. C. D. 3
【点拨】，， .
7.若二次三项式是一个关于 的完全平方
式，则 _________.
或13
【点拨】是一个关于 的完全平方式，
，解得或 .
8.实数满足 ，则
的值是____.
【点拨】， .
9. 生活中我们经常用到密码，有一种用“因
式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式
因式分解，如多项式可以因式分解为 ，
当时，， ，此时可以得到的数字
密码为282930，292830等.根据上述方法，当，
时，对于多项式 分解因式后可以形成的数字密码是
______________________（写出一个即可）.
152010（答案不唯一）
【点拨】，当， 时，
,, 形成的密码可以是152010，151020，
201510等.
10.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
11.已知， ,求
的值.
【解】 .
当，时，原式 .
12. 教材P124复习题 对于任意自然数 ,
是否能被24整除？
【解】 .
为自然数，且 中含有24这个因数，
能被24整除.
13. 教材P124复习题 若一个三角形的三边长分别为
,,，且满足 ，试判断该三
角形的形状，并说明理由.
【解】该三角形是等边三角形.理由如下：
,
,
.
且且,即 .
该三角形是等边三角形.
思想1 整体思想
14.已知，则 的值为___.
4
【点拨】， 原式 .
思想2 数形结合思想
15.[2025永州期末] 如图①，六个小图形拼成一个大长方形，
大长方形面积长×宽 ，六个小图形面积
之和 ，可得
等式： .
（1）仿照上面的方法，由图
②可得等式：______________
__________________________
______________；
【解】
（2）通过以上探究，我们发现可以利用长方形的面积进行
因式分解，那么因式分解：
__________________；
（3）利用（1）所得的等式，解
决以下问题：已知
，
，求
的值.
因为 ，
， ，
所以 .
所以.所以 .