第五章　分式与分式方程【章末复习】-课件(共45张PPT)--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

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北师大版数学8年级下册培优精做课件
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时 间： .
2026年2月26日
章末复习
第五章　分式与分式方程
定义
相关概念
及性质
运算
应用
类比思想
转化思想
模型思想
分式
分式的性质
分式的乘除法
分式的加减法
分式方程
分式与分式方程
一、分式及其基本性质
定义：一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式.
其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.
对于任意一个分式，分母都不能为零.
一、分式及其基本性质
分式必须满足三个条件：
① 具备的形式，且B≠0；
② A，B均是整式；
③ 分母B中含有字母.三个条件缺一不可.
一、分式及其基本性质
分式有、无意义的条件及分式的值
1. 分式有意义的条件：分母 B≠0.
2. 分式无意义的条件：分母 B=0.
3. 分式的值为零的条件：分子A=0 且分母 B≠0.
一、分式及其基本性质
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.这一性质可以用式子表示为：，
注意 在运用分式的基本性质时：
① 必须注意m≠0这个前提条件；
② 分式的分子、分母要同时进行相同的变形；
③ 分式进行的是恒等变形，其值不变.
一、分式及其基本性质
分式的约分、最简分式
1. 分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
2. 最简分式：分式的分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式.
一、分式及其基本性质
分式的约分、最简分式
3. 约分的一般方法
(1) 当分式的分子、分母都是单项式时，直接约去分子、分母的公因式(即分子、分母系数的最大公约数与分子、分母中相同字母的最低次幂的乘积)；
(2) 当分式的分子或分母是多项式时，应先分解因式，再确定公因式并约去.
二、分式的运算
分式乘法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
分式除法：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
二、分式的运算
分式的乘方法则：
分式乘方要把分子、分母分别乘方.
进行分式的乘方运算时，一定要先确定乘方结果的符号，它与实数的乘方运算相同，即正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，奇次方为负数.
二、分式的运算
分式的通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.
最简公分母：各分母的系数的最小公倍数与各因式的最高次幂的积，叫作最简公分母.
二、分式的运算
同分母的分式加减法：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
把分子相加减是指把分子这个“整体”相加减，因此运算时要注意适当加括号，再去括号，以免出现符号错误.
二、分式的运算
异分母的分式加减法：
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算.
二、分式的运算
分式的混合运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
注意：计算结果要化为最简分式或整式.
分式的混合运算技巧
(1) 能用乘法分配律时，可用乘法分配律去括号，不先通分.
(2) 能约分时，先约分再通分.
三、分式方程
分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
分式方程必须满足的条件：
(1) 是方程；
(2) 方程中含有分母；
(3) 分母中含有未知数.
三、分式方程
解分式方程的一般步骤
1. 去分母，化为整式方程(方程两边各项乘以最简公分母).
2. 解这个整式方程，得到方程的根.
3. 检验：判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解.
(1) 把未知数的值代入原方程(一般方法)；
(2) 把未知数的值代入最简公分母(简便方法).
4. 结论：确定分式方程的解.
三、分式方程
分式方程的增根
增根：将分式方程变形为整式方程，若整式方程的根使得原分式方程的分母为零，则这个根称为原方程的增根.
注意
(1) 增根是去分母后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根；
(2)若一个分式方程有增根，则此增根必使最简公分母的值为零.
三、分式方程
分式方程的应用
1. 列分式方程解决实际问题的一般步骤
(1) 审：审清题意，找出题中的等量关系，分清题中的已知量、未知量.
(2) 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性.
(3) 列：根据题中的等量关系列出分式方程.
(4) 解：求解列出的分式方程.
三、分式方程
分式方程的应用
(5) 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的根，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求.
(6) 答：写出答案(要有单位).
三、分式方程
分式方程应用的主要类型
(1) 利润问题：利润=售价-进价，利润率=×100%.
(2) 工程问题：工作量=工作效率×工作时间.
(3) 行程问题：路程=速度×时间.
(4) 方案选择问题.
考点1 分式及其性质
1. 设，都是整式，若 表示分式，则( )
C
A. ，都必须含有字母 B. 必须含有字母
C. 必须含有字母 D. ， 都不必须含有字母
2. 若分式有意义，则分式 ( )
A
A. 有意义 B. 无意义 C. 值为0 D. 值不为0
3. 在分式；；；中，与
相等的是( )
C
A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①③
考点2 分式的运算
4. [2025榆林期末] 下列式子中计算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
5. 如果，，那么代数式与 之间的关
系是( )
A
A. B.
C. D.
6.计算： .
【解】 .
考点3 分式的化简求值
7. [2025南充] 已知，则 的值是
( )
D
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【点拨】，,, ，
,, ，
.故选D.
8.[2025眉山] 先化简，再求值： ，其中
，满足 .
【解】原式 .
，， ，
，， ，
，， 原式 .
考点4 分式方程
9. 若解分式方程 产生增根，则( )
B
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10. 若关于的方程的解为正数，则 的取值范
围是( )
A. B.
C. 且 D. 且
D
11. 若关于的方程无解，则
的值为_______.
或2
【点拨】 ,
去分母,得，即 .
原方程无解分两种情况:
①当方程无解时,, ;
②当方程的解为分式方程的增根时, 是该方
程的解,
, .
当或时， 无解.
12.解分式方程：
（1） ；
【解】方程变形为 ，
方程两边都乘，得 ，
解得，经检验， 是原方程的根.
（2） .
去分母,得 ，
去括号,得 ，
移项、合并同类项,得 ，
经检验， 是原方程的根.
考点5 分式方程的应用
13. “爱劳动，劳动美.”甲、乙两同学同时从
家里出发，分别到距家和 的实践基地参加劳动.若
甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前 到达基地，
求甲、乙的速度.设甲的速度为 ，则依题意可列方程
为___________.
14.为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现
有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应
的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获
得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的
补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元
的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
【解】设该企业甲类生产线有 条，
则，解得.则 .
该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条.
（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1
条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲
类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设
备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入
多少资金更新生产线的设备？
设购买更新1条甲类生产线的设备需 万元，
则，解得 ，
经检验， 是原方程的根，且符合题意.
则 .
（万元）.
还需投入1 330万元的资金更新生产线的设备.
思想1 整体思想
15.若满足,则 的值为___.
1
思想2 转化思想
16.已知,，且 ，则
的值为___.
【点拨】由, ,得
解得 原式
.
本题先用含的式子分别表示出与 ,然后代入所求
式子消去， 这两个未知数，从而简化求值过程，体现了转
化思想.
思想3 类比思想
17.阅读下列解题过程：
已知，求 的值.
解：由，知 ，
，即 ，
，
的值为2的倒数，即 .
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式
子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”.
请你利用“倒数法”解决下面问题：#1.2
（1）已知，求 的值；
【解】由，知， .
，即 .
.
的值为21的倒数，即 .
（2）已知，，，求 的值.
由，知， ，
,即
由，知，,即
,,即
,得 ，
.
的值为1的倒数，即1.
本题是类比思想的典范，分式的性质、运算顺序、
运算律都可以类比分数的相关知识.