江苏省南京师范大学灌云附中2015-2016学年高一（下）3月月考数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省南京师范大学灌云附中2015-2016学年高一（下）3月月考数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 126.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-11-07 13:59:23 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省南京师范大学灌云附中高一（下）3月月考数学试卷
一．填空题（每小题5分，共70分）
1．角α的终边上有一点M（﹣2，4），则tanα= ．
2．已知圆（x﹣2）2+（y+1）2=3，圆心坐标为 ．
3．函数f（x）=2+sin3x的最大值是 ．
4．已知直线x﹣y+b=0与圆x2+y2=25相切，则b的值是 ．
5．已知函数f（x）=atanx﹣bsinx+1，且，则= ．
6．已知tanx=3，则的值为 ．
7．已知锐角三角形ABC，下列三角函数值为负数的有
个．
①，②，③tan（A+B），④cos（﹣B）
8．计算：cos150°+cos（﹣150°）= ．
9．函数的值域是 ．
10．α为第四象限角，则= ．
11．如图，写出终边落在阴影部分的角α的集合（含边界） ．
12．动圆x2+y2+2nx﹣6y+6n=0恒过定点，写出这个定点的坐标 ．
13．有下列四种说法，其中正确的有 个．
甲：在△ABC中，若，则∠A=30°
乙：cos（2π﹣A）=cosA
丙：任何一个角都存在正（余）弦值和正切值
丁：sin2130°+sin2140°=1．
14．若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，则a2+b2= ．
二．解答题
15．（1）化简：，其中α是第四象限角
（2）化简：．
16．已知方程x2+y2+2x﹣6y+n=0表示圆C．
（1）写出此圆的圆心C的坐标和n的范围；
（2）若圆C与圆M：（x﹣3）2+y2=1相切，求n的值．
17．如图，用一根长为10m绳索围成了一个圆心角小于x且半径不超过3m的扇形场地，设扇形的半径为xm，面积为Scm2．
（1）写出S关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；
（2）当半径x和圆心角α分别是多少时，所围扇形场地的面积S最大，并求S的最大值．
18．（1）已知（α是第三象限角），求sinα cosα及sinα+cosα的值
（2）已知，且﹣180°＜x＜﹣90°，求cos+cos2（50°﹣x）的值．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），圆C以线段AB为直径
（1）求圆C的方程；
（2）设点P是圆C上与点A不重合的一点，且OP=OA，求直线PA的方程和△POA的面积．
20．已知圆C：（x﹣3）2+（y+1）2=25，过点M（0，4）作直线l与圆C交于点A，B，
（1）若AB=8，求直线l的方程．
（2）当直线l的斜率为﹣2时，在直线l上求一点P，使过点P的切线长等于PM．
（3）AB的中点为E，在平面上找一定点F，使EF的长为定值，并求出这个定值．
2015-2016学年江苏省南京师范大学灌云附中高一（下）3月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（每小题5分，共70分）
1．角α的终边上有一点M（﹣2，4），则tanα= ﹣2 ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，可得tanα的值．
【解答】解：∵已知角α的终边上有一点M（﹣2，4），
∴x=﹣2，y=4，
∴tanα==﹣2．
故答案为：﹣2．
2．已知圆（x﹣2）2+（y+1）2=3，圆心坐标为 （2，﹣1） ．
【考点】圆的标准方程．
【分析】根据圆的标准方程的形式即可写出圆心坐标．
【解答】解：∵圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=3，
∴它的圆心坐标为（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）．
3．函数f（x）=2+sin3x的最大值是 3 ．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据正弦函数的图象与性质，即可得出当sin3x=1时函数取得最大值．
【解答】解：当sin3x=1，即自变量x的集合为：
{x|3x=2kπ+，k∈∈z}
时，
函数y取得最大值为2+1=3．
故答案为：3．
4．已知直线x﹣y+b=0与圆x2+y2=25相切，则b的值是 ±5 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意知圆心（0，0）到直线x﹣y+b=0的距离等于半径，代入点到直线的距离公式求出b的值．
【解答】解：由题意知，直线x﹣y+b=0与圆x2+y2=25相切，
∴=5，解得b=±5．
故答案为：±5．
5．已知函数f（x）=atanx﹣bsinx+1，且，则= ﹣5 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】利用f（x）=atan﹣bsin+1，构造方程，即可得出结论．
【解答】解：由，得atan﹣bsin+1=7，
∴f（﹣）=﹣atan+bsin+1=﹣（atan﹣bsin）+1=﹣6+1=﹣5．
故答案为：﹣5．
6．已知tanx=3，则的值为 ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得的值．
【解答】解：∵已知tanx=3，则====，
故答案为：．
7．已知锐角三角形ABC，下列三角函数值为负数的有 ②③
个．
①，②，③tan（A+B），④cos（﹣B）
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】由条件利用诱导公式判断各个式子的符号，可得结论．
【解答】解：在锐角三角形ABC，①由于B为锐角，故+B为钝角，故＞0，
②=﹣sinB＜0，
③tan（A+B）=﹣tanC＜0，
④cos（﹣B）=cosB＞0，
故答案为：②③．
8．计算：cos150°+cos（﹣150°）= ．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．
【解答】解：cos150°+cos（﹣150°）=﹣cos30°﹣cos30°=．
故答案为：﹣．
9．函数的值域是 [，1] ．
【考点】余弦函数的图象．
【分析】直接利于余弦函数的图象及性质即可得到答案．
【解答】解：由余弦函数图即性质，
可得：x是增函数，是减函数．
当x=o时，f（x）=cosx取得最大值为1．
当x=时，f（x）=cosx取得最小值值为﹣．
所以：函数f（x）的值域为[，1]
故答案为：[，1]
10．α为第四象限角，则= ﹣1 ．
【考点】三角函数值的符号．
【分析】由α为第四象限角，判断得出sinα、cosα以及tanα的符号，然后化简求值．
【解答】解：∵α为第四象限角，
∴sinα＜0，cosα＜0，tanα＜0，
∴==﹣1+1﹣1=﹣1．
故答案是：﹣1．
11．如图，写出终边落在阴影部分的角α的集合（含边界） {α|k 360°≤α≤45°+k 360°，k∈Z} ．
【考点】象限角、轴线角．
【分析】由图象写出角在0°～360°间的取值范围，再由终边相同的角的概念写出角的集合
【解答】解：如图，终边落在阴影部分的角在0°～360°内为：0°≤α≤45°，
∴终边落在阴影部分的角的集合为：
{α|k 360°≤α≤45°+k 360°，k∈Z}．
故答案为：{α|k 360°≤α≤45°+k 360°，k∈Z}．
12．动圆x2+y2+2nx﹣6y+6n=0恒过定点，写出这个定点的坐标 （﹣3，3） ．
【考点】圆的一般方程．
【分析】由已知得x2+y2﹣6y=（2x+6）n，从而，由此能求出定点的坐标．
【解答】解：x2+y2+2nx﹣6y+6n=0，
∴x2+y2﹣6y=（2x+6）n，
∴，
解得x=﹣3，y=3，
∴定点的坐标是（﹣3，3）．
故答案为（﹣3，3）．
13．有下列四种说法，其中正确的有 2 个．
甲：在△ABC中，若，则∠A=30°
乙：cos（2π﹣A）=cosA
丙：任何一个角都存在正（余）弦值和正切值
丁：sin2130°+sin2140°=1．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：甲：在△ABC中，若，则∠A=30°或150°，不正确；
乙：cos（2π﹣A）=cosA，正确；
丙：任何一个角都存在正（余）弦值和正切值，不正确，终边在y轴上的角不满足；
丁：sin2130°+sin2140°=sin250°+cos250°=1，正确．
故答案为：2．
14．若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，则a2+b2= 18 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据直线将圆分成长度相等的四段弧，转化为圆心C到直线l1：y=x+a或l2：y=x+b的距离相等，且为2，利用点到直线的距离公式进行求解即可．
【解答】解：∵直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b为平行线，
∴若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，
则圆心为C（1，2），半径为=2，
则圆心C到直线l1：y=x+a或l2：y=x+b的距离相等，且为2，
即d===2，
即|a﹣1|=2，
则a=2+1或a=1﹣2，
即a=2+1，b=1﹣2或b=2+1，a=1﹣2，
则a2+b2=（2+1）2+（1﹣2）2=9+4+9﹣4=18，
故答案为：18
二．解答题
15．（1）化简：，其中α是第四象限角
（2）化简：．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）理用同角三角函数关系和sin2α+cos2α=1进行解答．注意角的取值范围．
（2）利用诱导公式和同角三角函数公式进行化简求值．
【解答】解：（1）∵α是第四象限角，
∴tanα＜0，
原式=tanα++2（sin2α+cos2α），
=tanα+|tanα|+2，
=tanα﹣tanα+2，
=2；
（2）原式=+cos，
=﹣cosα+0，
=﹣cosα．
16．已知方程x2+y2+2x﹣6y+n=0表示圆C．
（1）写出此圆的圆心C的坐标和n的范围；
（2）若圆C与圆M：（x﹣3）2+y2=1相切，求n的值．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．
【分析】（1）化成标准方程得出圆心坐标，令半径大于零解出n的范围；
（2）判断两圆外切，得出|CM|=1+，即可解出n．
【解答】解：（1）方程化为标准方程为（x+1）2+（y﹣3）2=10﹣n，
∴圆心坐标为（﹣1，3），由10﹣n＞0得n＜10．
（2）∵C（﹣1，3）在圆M外部，且圆C与圆M：（x﹣3）2+y2=1相切，
∴|CM|=1+，
即=1+，
解得n=﹣6．
17．如图，用一根长为10m绳索围成了一个圆心角小于x且半径不超过3m的扇形场地，设扇形的半径为xm，面积为Scm2．
（1）写出S关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；
（2）当半径x和圆心角α分别是多少时，所围扇形场地的面积S最大，并求S的最大值．
【考点】三角函数的最值；扇形面积公式．
【分析】（1）设扇形的弧长为l，则l=10﹣2x，由题意可得，可得函数解析式和定义域；
（2）由（1）和基本不等式可得S=（5﹣x）x≤（）2=，由等号成立的条件可得．
【解答】解：（1）设扇形的弧长为l，则l=10﹣2x，
由题意可得，
解得＜x≤3，
∴S=（5﹣x）x=﹣x2+5x，＜x≤3；
（2）由（1）和基本不等式可得S=（5﹣x）x≤（）2=，
当且仅当5﹣x=x即x=时取等号，此时l=5，圆心角α==2，
∴当半径x和圆心角α分别为和2时，所围扇形场地的面积S最大，且最大值
18．（1）已知（α是第三象限角），求sinα cosα及sinα+cosα的值
（2）已知，且﹣180°＜x＜﹣90°，求cos+cos2（50°﹣x）的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．
【解答】解：（1）已知（α是第三象限角），
平方可得1﹣2sinα cosα=，∴sinα cosα=．
∵sinα+cosα＜0，（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+，∴sinα cosα=﹣．
（2）∵，且﹣180°＜x＜﹣90°，
cos+cos2（50°﹣x）=﹣cos（40°+x）+sin2（40°+x）=﹣+1﹣cos2（40°+x）
=﹣=．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），圆C以线段AB为直径
（1）求圆C的方程；
（2）设点P是圆C上与点A不重合的一点，且OP=OA，求直线PA的方程和△POA的面积．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（1）确定圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）利用点斜式可得直线PA的方程，求出PA，点O到直线PA的距离，可求△POA的面积．
【解答】解：（1）设圆C的圆心C（a，b），半径为r，则a=1，b=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）∵OP=OA，CP=CA，∴OC是线段PA的垂直平分线﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又OC的斜率为3，∴PA的斜率为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴直线PA的方程为，即x+3y﹣8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵点O到直线PA的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
OA=…..
∴…
∴△POA的面积=…
20．已知圆C：（x﹣3）2+（y+1）2=25，过点M（0，4）作直线l与圆C交于点A，B，
（1）若AB=8，求直线l的方程．
（2）当直线l的斜率为﹣2时，在直线l上求一点P，使过点P的切线长等于PM．
（3）AB的中点为E，在平面上找一定点F，使EF的长为定值，并求出这个定值．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）考虑斜率存在与否的情况，根据弦长的中点与圆心的连线、圆心与交点A到构成直角三角形，利用勾股定理求k．即可得到直线方程．
（2）当斜率为﹣2时，直线过M点，求出直线方程，设出P的坐标，过点P的切线长等于PM．求解即可．
（3）根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得答案．
【解答】解：由题意：圆C：（x﹣3）2+（y+1）2=25，圆心为（3，﹣1），半径r=5．
过点M（0，4）的直线l与圆C交于点A，B，AB=8，设直线方程为：kx﹣y+4=0（k存在），
圆心到直线的距离d=，
∵弦长AB=2
∴4=
解得：d2=9
那么：
=3
解得：k=﹣
所以直线方程为：8x+15y﹣60=0．
当k不存在时，直线方程为x=0，
圆心到直线的距离d=3，由弦长AB=2，
解出来AB=8
故AB=8时，直线l的方程为：x=0或8x+15y﹣60=0．
（2）当斜率为﹣2时，直线过M点，可得直线方程为：y=﹣2x+4．
点P在直线上，设P（x，﹣2x+4），由点P的切线长等于PM．
解得：x=，y=
故P的坐标为（，）．
（3）根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半有：定点M
的坐标为（，）．
2016年11月7日
一．填空题（每小题5分，共70分）
1．角α的终边上有一点M（﹣2，4），则tanα= ．
2．已知圆（x﹣2）2+（y+1）2=3，圆心坐标为 ．
3．函数f（x）=2+sin3x的最大值是 ．
4．已知直线x﹣y+b=0与圆x2+y2=25相切，则b的值是 ．
5．已知函数f（x）=atanx﹣bsinx+1，且，则= ．
6．已知tanx=3，则的值为 ．
7．已知锐角三角形ABC，下列三角函数值为负数的有
个．
①，②，③tan（A+B），④cos（﹣B）
8．计算：cos150°+cos（﹣150°）= ．
9．函数的值域是 ．
10．α为第四象限角，则= ．
11．如图，写出终边落在阴影部分的角α的集合（含边界） ．
12．动圆x2+y2+2nx﹣6y+6n=0恒过定点，写出这个定点的坐标 ．
13．有下列四种说法，其中正确的有 个．
甲：在△ABC中，若，则∠A=30°
乙：cos（2π﹣A）=cosA
丙：任何一个角都存在正（余）弦值和正切值
丁：sin2130°+sin2140°=1．
14．若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，则a2+b2= ．
二．解答题
15．（1）化简：，其中α是第四象限角
（2）化简：．
16．已知方程x2+y2+2x﹣6y+n=0表示圆C．
（1）写出此圆的圆心C的坐标和n的范围；
（2）若圆C与圆M：（x﹣3）2+y2=1相切，求n的值．
17．如图，用一根长为10m绳索围成了一个圆心角小于x且半径不超过3m的扇形场地，设扇形的半径为xm，面积为Scm2．
（1）写出S关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；
（2）当半径x和圆心角α分别是多少时，所围扇形场地的面积S最大，并求S的最大值．
18．（1）已知（α是第三象限角），求sinα cosα及sinα+cosα的值
（2）已知，且﹣180°＜x＜﹣90°，求cos+cos2（50°﹣x）的值．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），圆C以线段AB为直径
（1）求圆C的方程；
（2）设点P是圆C上与点A不重合的一点，且OP=OA，求直线PA的方程和△POA的面积．
20．已知圆C：（x﹣3）2+（y+1）2=25，过点M（0，4）作直线l与圆C交于点A，B，
（1）若AB=8，求直线l的方程．
（2）当直线l的斜率为﹣2时，在直线l上求一点P，使过点P的切线长等于PM．
（3）AB的中点为E，在平面上找一定点F，使EF的长为定值，并求出这个定值．
2015-2016学年江苏省南京师范大学灌云附中高一（下）3月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（每小题5分，共70分）
1．角α的终边上有一点M（﹣2，4），则tanα= ﹣2 ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，可得tanα的值．
【解答】解：∵已知角α的终边上有一点M（﹣2，4），
∴x=﹣2，y=4，
∴tanα==﹣2．
故答案为：﹣2．
2．已知圆（x﹣2）2+（y+1）2=3，圆心坐标为 （2，﹣1） ．
【考点】圆的标准方程．
【分析】根据圆的标准方程的形式即可写出圆心坐标．
【解答】解：∵圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=3，
∴它的圆心坐标为（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）．
3．函数f（x）=2+sin3x的最大值是 3 ．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据正弦函数的图象与性质，即可得出当sin3x=1时函数取得最大值．
【解答】解：当sin3x=1，即自变量x的集合为：
{x|3x=2kπ+，k∈∈z}
时，
函数y取得最大值为2+1=3．
故答案为：3．
4．已知直线x﹣y+b=0与圆x2+y2=25相切，则b的值是 ±5 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意知圆心（0，0）到直线x﹣y+b=0的距离等于半径，代入点到直线的距离公式求出b的值．
【解答】解：由题意知，直线x﹣y+b=0与圆x2+y2=25相切，
∴=5，解得b=±5．
故答案为：±5．
5．已知函数f（x）=atanx﹣bsinx+1，且，则= ﹣5 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】利用f（x）=atan﹣bsin+1，构造方程，即可得出结论．
【解答】解：由，得atan﹣bsin+1=7，
∴f（﹣）=﹣atan+bsin+1=﹣（atan﹣bsin）+1=﹣6+1=﹣5．
故答案为：﹣5．
6．已知tanx=3，则的值为 ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得的值．
【解答】解：∵已知tanx=3，则====，
故答案为：．
7．已知锐角三角形ABC，下列三角函数值为负数的有 ②③
个．
①，②，③tan（A+B），④cos（﹣B）
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】由条件利用诱导公式判断各个式子的符号，可得结论．
【解答】解：在锐角三角形ABC，①由于B为锐角，故+B为钝角，故＞0，
②=﹣sinB＜0，
③tan（A+B）=﹣tanC＜0，
④cos（﹣B）=cosB＞0，
故答案为：②③．
8．计算：cos150°+cos（﹣150°）= ．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．
【解答】解：cos150°+cos（﹣150°）=﹣cos30°﹣cos30°=．
故答案为：﹣．
9．函数的值域是 [，1] ．
【考点】余弦函数的图象．
【分析】直接利于余弦函数的图象及性质即可得到答案．
【解答】解：由余弦函数图即性质，
可得：x是增函数，是减函数．
当x=o时，f（x）=cosx取得最大值为1．
当x=时，f（x）=cosx取得最小值值为﹣．
所以：函数f（x）的值域为[，1]
故答案为：[，1]
10．α为第四象限角，则= ﹣1 ．
【考点】三角函数值的符号．
【分析】由α为第四象限角，判断得出sinα、cosα以及tanα的符号，然后化简求值．
【解答】解：∵α为第四象限角，
∴sinα＜0，cosα＜0，tanα＜0，
∴==﹣1+1﹣1=﹣1．
故答案是：﹣1．
11．如图，写出终边落在阴影部分的角α的集合（含边界） {α|k 360°≤α≤45°+k 360°，k∈Z} ．
【考点】象限角、轴线角．
【分析】由图象写出角在0°～360°间的取值范围，再由终边相同的角的概念写出角的集合
【解答】解：如图，终边落在阴影部分的角在0°～360°内为：0°≤α≤45°，
∴终边落在阴影部分的角的集合为：
{α|k 360°≤α≤45°+k 360°，k∈Z}．
故答案为：{α|k 360°≤α≤45°+k 360°，k∈Z}．
12．动圆x2+y2+2nx﹣6y+6n=0恒过定点，写出这个定点的坐标 （﹣3，3） ．
【考点】圆的一般方程．
【分析】由已知得x2+y2﹣6y=（2x+6）n，从而，由此能求出定点的坐标．
【解答】解：x2+y2+2nx﹣6y+6n=0，
∴x2+y2﹣6y=（2x+6）n，
∴，
解得x=﹣3，y=3，
∴定点的坐标是（﹣3，3）．
故答案为（﹣3，3）．
13．有下列四种说法，其中正确的有 2 个．
甲：在△ABC中，若，则∠A=30°
乙：cos（2π﹣A）=cosA
丙：任何一个角都存在正（余）弦值和正切值
丁：sin2130°+sin2140°=1．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：甲：在△ABC中，若，则∠A=30°或150°，不正确；
乙：cos（2π﹣A）=cosA，正确；
丙：任何一个角都存在正（余）弦值和正切值，不正确，终边在y轴上的角不满足；
丁：sin2130°+sin2140°=sin250°+cos250°=1，正确．
故答案为：2．
14．若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，则a2+b2= 18 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据直线将圆分成长度相等的四段弧，转化为圆心C到直线l1：y=x+a或l2：y=x+b的距离相等，且为2，利用点到直线的距离公式进行求解即可．
【解答】解：∵直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b为平行线，
∴若直线l1：y=x+a和直线l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相等的四段弧，
则圆心为C（1，2），半径为=2，
则圆心C到直线l1：y=x+a或l2：y=x+b的距离相等，且为2，
即d===2，
即|a﹣1|=2，
则a=2+1或a=1﹣2，
即a=2+1，b=1﹣2或b=2+1，a=1﹣2，
则a2+b2=（2+1）2+（1﹣2）2=9+4+9﹣4=18，
故答案为：18
二．解答题
15．（1）化简：，其中α是第四象限角
（2）化简：．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）理用同角三角函数关系和sin2α+cos2α=1进行解答．注意角的取值范围．
（2）利用诱导公式和同角三角函数公式进行化简求值．
【解答】解：（1）∵α是第四象限角，
∴tanα＜0，
原式=tanα++2（sin2α+cos2α），
=tanα+|tanα|+2，
=tanα﹣tanα+2，
=2；
（2）原式=+cos，
=﹣cosα+0，
=﹣cosα．
16．已知方程x2+y2+2x﹣6y+n=0表示圆C．
（1）写出此圆的圆心C的坐标和n的范围；
（2）若圆C与圆M：（x﹣3）2+y2=1相切，求n的值．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．
【分析】（1）化成标准方程得出圆心坐标，令半径大于零解出n的范围；
（2）判断两圆外切，得出|CM|=1+，即可解出n．
【解答】解：（1）方程化为标准方程为（x+1）2+（y﹣3）2=10﹣n，
∴圆心坐标为（﹣1，3），由10﹣n＞0得n＜10．
（2）∵C（﹣1，3）在圆M外部，且圆C与圆M：（x﹣3）2+y2=1相切，
∴|CM|=1+，
即=1+，
解得n=﹣6．
17．如图，用一根长为10m绳索围成了一个圆心角小于x且半径不超过3m的扇形场地，设扇形的半径为xm，面积为Scm2．
（1）写出S关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；
（2）当半径x和圆心角α分别是多少时，所围扇形场地的面积S最大，并求S的最大值．
【考点】三角函数的最值；扇形面积公式．
【分析】（1）设扇形的弧长为l，则l=10﹣2x，由题意可得，可得函数解析式和定义域；
（2）由（1）和基本不等式可得S=（5﹣x）x≤（）2=，由等号成立的条件可得．
【解答】解：（1）设扇形的弧长为l，则l=10﹣2x，
由题意可得，
解得＜x≤3，
∴S=（5﹣x）x=﹣x2+5x，＜x≤3；
（2）由（1）和基本不等式可得S=（5﹣x）x≤（）2=，
当且仅当5﹣x=x即x=时取等号，此时l=5，圆心角α==2，
∴当半径x和圆心角α分别为和2时，所围扇形场地的面积S最大，且最大值
18．（1）已知（α是第三象限角），求sinα cosα及sinα+cosα的值
（2）已知，且﹣180°＜x＜﹣90°，求cos+cos2（50°﹣x）的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．
【解答】解：（1）已知（α是第三象限角），
平方可得1﹣2sinα cosα=，∴sinα cosα=．
∵sinα+cosα＜0，（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+，∴sinα cosα=﹣．
（2）∵，且﹣180°＜x＜﹣90°，
cos+cos2（50°﹣x）=﹣cos（40°+x）+sin2（40°+x）=﹣+1﹣cos2（40°+x）
=﹣=．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，4），圆C以线段AB为直径
（1）求圆C的方程；
（2）设点P是圆C上与点A不重合的一点，且OP=OA，求直线PA的方程和△POA的面积．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（1）确定圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）利用点斜式可得直线PA的方程，求出PA，点O到直线PA的距离，可求△POA的面积．
【解答】解：（1）设圆C的圆心C（a，b），半径为r，则a=1，b=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）∵OP=OA，CP=CA，∴OC是线段PA的垂直平分线﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又OC的斜率为3，∴PA的斜率为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴直线PA的方程为，即x+3y﹣8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵点O到直线PA的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
OA=…..
∴…
∴△POA的面积=…
20．已知圆C：（x﹣3）2+（y+1）2=25，过点M（0，4）作直线l与圆C交于点A，B，
（1）若AB=8，求直线l的方程．
（2）当直线l的斜率为﹣2时，在直线l上求一点P，使过点P的切线长等于PM．
（3）AB的中点为E，在平面上找一定点F，使EF的长为定值，并求出这个定值．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）考虑斜率存在与否的情况，根据弦长的中点与圆心的连线、圆心与交点A到构成直角三角形，利用勾股定理求k．即可得到直线方程．
（2）当斜率为﹣2时，直线过M点，求出直线方程，设出P的坐标，过点P的切线长等于PM．求解即可．
（3）根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得答案．
【解答】解：由题意：圆C：（x﹣3）2+（y+1）2=25，圆心为（3，﹣1），半径r=5．
过点M（0，4）的直线l与圆C交于点A，B，AB=8，设直线方程为：kx﹣y+4=0（k存在），
圆心到直线的距离d=，
∵弦长AB=2
∴4=
解得：d2=9
那么：
=3
解得：k=﹣
所以直线方程为：8x+15y﹣60=0．
当k不存在时，直线方程为x=0，
圆心到直线的距离d=3，由弦长AB=2，
解出来AB=8
故AB=8时，直线l的方程为：x=0或8x+15y﹣60=0．
（2）当斜率为﹣2时，直线过M点，可得直线方程为：y=﹣2x+4．
点P在直线上，设P（x，﹣2x+4），由点P的切线长等于PM．
解得：x=，y=
故P的坐标为（，）．
（3）根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半有：定点M
的坐标为（，）．
2016年11月7日
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