冀教版七（下）数学 第八章 整式的乘法 单元测试提升卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．（2026七上·温州期末）2025年国庆假期，雁荡山景区共接待游客约830000人次，数830000用科学记数法表示为( )
A．83×104 B． C．0.83×106 D．8.3×106
2．（2026·黔南期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2026·黔南期末）下列计算正确的是 ( )
A． B．
C． D．
4．（2026八上·安州期末）将展开，若整理后不含x的二次项，则k的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-1
5．（2026八上·安州期末）若等式（3a+5b）（ ）=9a2-25b2成立，则括号内所填的代数式是（ ）
A．3a+5b B．-3a+5b C．3a-5b D．-3a-5b
6．（2021七下·余姚期中）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025七下·滨江期中）如图1，现有边长为b和a十b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，α的长方形纸片一张。把纸片Ⅰ，Ⅲ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中阴影部分的面积S1和S2满足S1=4S2，则a，b满足的关系式为（ ）
A．b=4a B．b= 3A C．b=2a D．b=1.5a
8．（2025八上·唐山月考）若a，b的值使得成立，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．1
9．（2025八上·唐山月考）运用简便方法计算正确的是（ ）
A．103×103 B．
C． D．
10．（2025八上·唐山月考）已知有A，B，C三种类型的纸片若干张，现用这些纸片拼成相邻边长分别为、的矩形，对于拼接条件，甲、乙两名同学分别提出了自己的看法．
甲：需要C型纸片4张；
乙：需要三种类型的纸片合计41张；
则下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
11．（2023七下·镇海区期末）如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条件（ ）
A．（1）与（2）的周长之差 B．（3）的面积
C．（1）与（3）的面积之差 D．长方形的周长
12．（2025七下·温州期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（ ）
A．10 B． C．11 D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．（2024八上·丰城开学考）若，则 ．
14．（2026八上·望城期末）如果a+3b-2=0，那么3a×27b的值为 .
15．（2025七下·瑞安期中）如图，左边是一个张长方形卡片，把五张相同的小长方形卡片放入一个大长方形中，若阴影部分的面积为5，大长方形的周长为12，则一张小长方形卡片的面积为 .
16．（2025七下·巴州月考）已知，，，则代数式的值为 ．
三、解答题(本大题共8小题，共72分)
17．（2026七上·宁波期末） 计算与求解：
（1）计算：
（2）解方程：
（3）先化简，再求值： 其中x=1，y=-2.
18．（2026八上·二道期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以．
请你也利用逆向思考的方法解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）计算：
19．（2026八上·九台期末）已知，，求的值．
【例题讲解】
小亮探究出解题方法如下：
已知，，求的值．
∵ ∴ ∵，， ∴ ∴．
【方法运用】
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）小亮发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你直接写出的值．
（2）若，，求和的值．
【拓展提升】
（3）如图，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为，正方形和正方形面积和为，直接写出的长．
20．（2022七下·昭平期中）如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形.解答下列问题：
（1）根据图中条件.试通过两种方法求出该图形的总面积，并用公式的形式将两种关系表达出来；
（2）当图中的满足，.求的值.
21．（2025七上·宝安月考）
（1）已知 则求 的值；
（2）若 求 的值.
22．（2023七下·宝安期中）如图所示，有一块长宽为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．
（1）请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）
（2）若，求休息区域的面积.
23．（2025七下·张家口期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作：：如果，那么
例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：______；
（2）若，，且，求的值；
（3）①若，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算：_____．
24．（2025八上·韶关期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化．
【问题解决】
（1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________；
（2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值；
【拓展应用】
（3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：830000=8.3×105
故答案为：B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10”，其中1≤<10，n为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数绝对值小于1时，n是负数。
2．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：在方案①中，可得：a2 b2＝（a＋b）（a b），可以验证平方差公式；
在方案②中，可得：a2 b2＝（a＋b）（a b），可以验证平方差公式；
在方案③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积（a＋b）2 （a b）2＝4ab，右边阴影部分面积＝2a 2b＝4ab，
可得：（a＋b）2 （a b）2＝2a 2b，不可以验证平方差公式．
能验证平方差公式的是①②，
故答案为：B．
【分析】利用不同的表示方法分别求出三种方案中的阴影部分的面积，再判断即可.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 6a3×2a2＝ 12a5，选项计算错误，不符合题意；
B、a4与a2不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、（3xy2）2＝9x2y4，选项计算错误，不符合题意；
D、（ m）7÷（ m）2＝（ m）5＝ m5，选项计算正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：(x-k)(x2-2x+5)=x2-kx2-2x2+2kx+5x-5k=x2-(k+2)x2+(2k+5)x-5k.
∵整理后不含x的二次项，
∴-k-2=0，解得k=-2
故答案为：C.
【分析】将两个多项式相乘展开，合并同类项后，令x2项的系数为零，解出k的值.
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：(3a+5b)(3a-5b)=9a2-25b2，
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式进行计算，即可解答.
6．【答案】B
【知识点】有理数大小比较；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：a=344=（34）11=8111，
b=255=（25）11=3211，
c=433=（43）11=6411，
∵3211＜6411＜8111，
∴a>c>b.
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方法则可得a=(34)11=8111，b=(25)11=3211，c=(43)11=6411，据此进行比较.
7．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可得S1=(a+b)2-b2-(a+b-b)a=a2+2ab+b2-b2-a2=2ab，S2=a(b+b-a-b)=ab-a2，
∵S1=4S2
∴2ab=4(ab-a2)
∴2ab=4a2，
∴b=2a.
故答案为：C.
【分析】结合图形根据正方形及长方形面积计算公式，由S1=边长为(a+b)的正方形的面积-边长为b的正方形的面积-长为a、宽为(a+b-b)的矩形面积，S2=长为a、宽为(b+b-a-b)的矩形的面积，分别列出式子，结合整式混合运算顺序计算出S1与S2，再结合S1=4S2建立等式，整理化简即可.
8．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】本题需通过完全平方公式展开与同类项系数对应求解。首先将左边的按完全平方公式展开，得到。由于等式两边的多项式相等，对应的同类项系数必须相等，因此将展开式与右边的对比，可得关于的一次项系数满足，常数项满足。先求解的值，再代入求出，最后计算的值。
9．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：D
【分析】本题考查完全平方公式的简便应用，核心是将复杂数字拆分为易计算的两个数的和或差。观察到可拆分为，而一个数的平方等于这个数拆分后两数和的平方，此时可运用完全平方公式展开计算，相比直接相乘更简便。B选项忽略了完全平方公式中的中间项，C选项是平方差公式的形式，结果与不相等，因此D选项是正确的简便计算方法。
10．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意，可知A型纸片面积为，B型纸片面积为，C型纸片面积为，
∵，
∴拼成相邻边长分别为、的矩形，需要A型纸片15张，B型纸片4张，C型纸片23张，
∴需要三种类型的纸片合计张，
综上所述，甲、乙都错．
故答案为：D
【分析】本题需结合多项式乘多项式与图形面积对应关系解题，先明确A、B、C型纸片的面积分别对应、、。根据矩形面积公式，矩形的面积等于长乘宽，即，按照多项式乘多项式法则展开该式子，得到，合并同类项后为。式子中各项的系数分别对应所需A、C、B型纸片的数量，即15张A型、23张C型、4张B型，三种纸片总数为张，据此判断甲、乙的说法均错误。
11．【答案】D
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，长方形的宽为，长方形的长为，
则长方形面积为：，
∵①②是两个面积相等的梯形，
∴，
∴，即，
∴长方形面积为：，
∵①与②的周长之差为：，
∴A选项的条件不能求出长方形面积；
∵③的面积为：，
∴B选项的条件不能求出长方形面积；
∵①与②的面积之差为：，
∴C选项的条件不能求出长方形面积；
长方形的周长为：，
∴D选项的条件能求出长方形面积．
故答案为：D.
【分析】 设正方形的边长为a，长方形的宽为a+x，长方形的长为2a+y，根据①②面积相等结合梯形面积公式建立等式得y=2x，根据长方形面积计算公式表示出长方形的面积为2(a+x)2，然后再根据图形周长及面积计算公式逐项判断得出答案.
12．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：图2中，右下角阴影部分为正方形，边长为(a－b)，面积为9，
，
（负值舍去），
，
图3中，大正方形的边长为(a+b)，
面积为：，
（负值舍去），
∴，.
∴，，
，
故答案为：B．
【分析】由图2可得，结合，得出，可得，.再用含a，b的式子表示并计算和，相见即可得到答案．
13．【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴方程两边同时除以
得
∴
则
故答案为：
【分析】本题考查完全平方公式，已知式子的值，求代数式的值.先将方程两边同时除以可推出，利用完全平方公式的变形可得：，再将进行整体代入可求出答案．
14．【答案】9
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵a+3b-2=0，
∴a+3b=2，
∴3a·27b=3a×33b=3a+3b=32=9
故答案为：9
【分析】首先由条件得a+3b=2，再逆用幂的乘方公式，结合同底数幂的乘法公式求解。
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设小长方形的长为a、宽为b，
根据题意和题图可得：
大长方形的面积：，解得①
大长方形的周长：，解得，
进而可得，
即②
将①代入②可得
解得
∴ 一张小长方形卡片的面积=ab=.
故填：.
【分析】设小长方形的长为a、宽为b，用a、b列式分别表示大长方形的面积和周长，可得①和②，将将①代入②代入即可求解.
16．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，，，
，，，
，，，
原式
．
故答案为：3．
【分析】通过观察可发现a，b，c都有，只需要将其两两作差就可以得到a，b，c之间的关系式，再将原式进行变形，构造出完全平方式，再代入求解即可.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：两边同乘6：2(4x-5)=3(3+x)+6
去括号：8x-10=9+3x+6
移项：8x-3x=9+6+10
合并同类项：5x=25
解得：x=5
（3）解：2(x2y+xy)-3(x2y-y)-3x2y
=2x2y+2xy-3x2y+3xy-3x2y
=(2x2y-3x2y-3x2y)+(2xy+3xy)
=-4x2y+5xy
当x=1，y=-2时：
-4x2y+5xy
=-4×12×(-2)+5×1×(-2)
=-4×1×(-2)+5×(-2)
=8-10
=-2
答：化简结果为-4x2y+5xy，值为-2.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的混合运算化简求值；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】(1)先算乘方和括号里面的，再算乘法，由此顺序计算即可；
(2)先通过去分母消除方程中的分母，再去括号展开式子，接着移项将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，然后合并同类项化简方程，最后系数化为1求出方程的解；
(3)直接去括号进而合并同类项，再把已知代入求出答案.
18．【答案】（1）解：，，，
.
.
（2）解：
.
【知识点】同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】(1)根据同底数幂的除法逆向公式am-n=am÷an，将已知条件代入求解an的值；
(2)根据同底数幂的乘法逆向公式am+n=am·an，将变形为，然后利用积的乘方逆向公式(ab)n=anbn进行计算.
19．【答案】解：（1）(a+b)2=49；
（2）∵，
∴；
；
（3）．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵，且，
∴；
（3）设，，则
由题意可得：，，
即，
∴．
∵，
∴，
即．
【分析】（1）利用完全平方公式变形为，代入数据求解即可；
（2）利用完全平方公式变形为，，从而整体代入计算可得答案；
（3）设，，则，根据，然后整体代入计算后再开方运算即可得出答案.
20．【答案】（1）解：∵，
，
∴.
（2）解：∵，，
∴，
即，
∵，
∴，即的值为9.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）方法一，根据正方形的面积等于边长的平方列式计算；方法二，根据大正方形的面积= 两个小正方形的面积+两个长方形的面积列式计算，根据两个式子表示的是同一个图形的面积可建立等式；
（2）由（a+b）2=a2+b2+2ab算出（a+b）2的值，然后再开平方并结合a、b都是正数可求出a+b的值.
21．【答案】（1）解：
的值为12
（2）解：
的值为72.
【知识点】幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用
【解析】【分析】（1）根据题干直接可得的值；
（2）先将代数式变形为，再将代入计算即可.
22．【答案】（1）解：由题意可得：
休息区域的面积是：，
即休息区域的面积是：平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
即若，，则休息区域的面积是平方米。
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
（1）结合图形，根据长方形的面积计算公式，可得出休息区域的面积=；
（2）根据（1）计算的结果，将，代入式子进行计算，即可得出答案。
（1）解：由题意可得，
休息区域的面积是：，
即休息区域的面积是：平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
即若，，则休息区域的面积是平方米；
23．【答案】（1）
（2）解：，，
，，
，
；
（3）解：①，，，
，，，
，
，
，
；
②2
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】（1）解：，
，
故答案为：；
（3）②，，
，
，，
，
设，
则，
故，
故答案为：
【分析】（1）根据新运算法则进行计算即可；
（2）根据新运算法则可得，，代入待求式子后根据同底数幂的乘法法则计算，嘴鸥整体代入按有理数的乘方运算法则进行计算即可；
（3）①根据新运算法则得，，，根据等式性质得，进而由同底数幂的运算法则得，据此可得结论；
②由乘方运算法则得，，再根据将原式变形为，进而可设，根据题干给的新运算法则得，从而即可得出答案.
（1）解：，
，
故答案为：；
（2），，
，，
，
；
（3）①，，，
，，，
，
，
，
；
②，，
，
，，
，
设，
则，
故，
故答案为：
24．【答案】解：（1）；
（2）∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，
∴，，
又∵
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，，
∴，，
∵，
∴，；
∴
．
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）从整体方面：图1中大正方形的边长为，因此面积为，
从部分方面：拼成图1的四个部分的面积和为，
所以有，
故答案为：；
【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积，得到即可；
（2）由题意可得：，，再根据，代入计算即可；
（3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可．
1 / 1冀教版七（下）数学 第八章 整式的乘法 单元测试提升卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．（2026七上·温州期末）2025年国庆假期，雁荡山景区共接待游客约830000人次，数830000用科学记数法表示为( )
A．83×104 B． C．0.83×106 D．8.3×106
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：830000=8.3×105
故答案为：B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10”，其中1≤<10，n为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数绝对值小于1时，n是负数。
2．（2026·黔南期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：在方案①中，可得：a2 b2＝（a＋b）（a b），可以验证平方差公式；
在方案②中，可得：a2 b2＝（a＋b）（a b），可以验证平方差公式；
在方案③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积（a＋b）2 （a b）2＝4ab，右边阴影部分面积＝2a 2b＝4ab，
可得：（a＋b）2 （a b）2＝2a 2b，不可以验证平方差公式．
能验证平方差公式的是①②，
故答案为：B．
【分析】利用不同的表示方法分别求出三种方案中的阴影部分的面积，再判断即可.
3．（2026·黔南期末）下列计算正确的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 6a3×2a2＝ 12a5，选项计算错误，不符合题意；
B、a4与a2不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、（3xy2）2＝9x2y4，选项计算错误，不符合题意；
D、（ m）7÷（ m）2＝（ m）5＝ m5，选项计算正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
4．（2026八上·安州期末）将展开，若整理后不含x的二次项，则k的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-1
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：(x-k)(x2-2x+5)=x2-kx2-2x2+2kx+5x-5k=x2-(k+2)x2+(2k+5)x-5k.
∵整理后不含x的二次项，
∴-k-2=0，解得k=-2
故答案为：C.
【分析】将两个多项式相乘展开，合并同类项后，令x2项的系数为零，解出k的值.
5．（2026八上·安州期末）若等式（3a+5b）（ ）=9a2-25b2成立，则括号内所填的代数式是（ ）
A．3a+5b B．-3a+5b C．3a-5b D．-3a-5b
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：(3a+5b)(3a-5b)=9a2-25b2，
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式进行计算，即可解答.
6．（2021七下·余姚期中）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数大小比较；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：a=344=（34）11=8111，
b=255=（25）11=3211，
c=433=（43）11=6411，
∵3211＜6411＜8111，
∴a>c>b.
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方法则可得a=(34)11=8111，b=(25)11=3211，c=(43)11=6411，据此进行比较.
7．（2025七下·滨江期中）如图1，现有边长为b和a十b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，α的长方形纸片一张。把纸片Ⅰ，Ⅲ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中阴影部分的面积S1和S2满足S1=4S2，则a，b满足的关系式为（ ）
A．b=4a B．b= 3A C．b=2a D．b=1.5a
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可得S1=(a+b)2-b2-(a+b-b)a=a2+2ab+b2-b2-a2=2ab，S2=a(b+b-a-b)=ab-a2，
∵S1=4S2
∴2ab=4(ab-a2)
∴2ab=4a2，
∴b=2a.
故答案为：C.
【分析】结合图形根据正方形及长方形面积计算公式，由S1=边长为(a+b)的正方形的面积-边长为b的正方形的面积-长为a、宽为(a+b-b)的矩形面积，S2=长为a、宽为(b+b-a-b)的矩形的面积，分别列出式子，结合整式混合运算顺序计算出S1与S2，再结合S1=4S2建立等式，整理化简即可.
8．（2025八上·唐山月考）若a，b的值使得成立，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】本题需通过完全平方公式展开与同类项系数对应求解。首先将左边的按完全平方公式展开，得到。由于等式两边的多项式相等，对应的同类项系数必须相等，因此将展开式与右边的对比，可得关于的一次项系数满足，常数项满足。先求解的值，再代入求出，最后计算的值。
9．（2025八上·唐山月考）运用简便方法计算正确的是（ ）
A．103×103 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：D
【分析】本题考查完全平方公式的简便应用，核心是将复杂数字拆分为易计算的两个数的和或差。观察到可拆分为，而一个数的平方等于这个数拆分后两数和的平方，此时可运用完全平方公式展开计算，相比直接相乘更简便。B选项忽略了完全平方公式中的中间项，C选项是平方差公式的形式，结果与不相等，因此D选项是正确的简便计算方法。
10．（2025八上·唐山月考）已知有A，B，C三种类型的纸片若干张，现用这些纸片拼成相邻边长分别为、的矩形，对于拼接条件，甲、乙两名同学分别提出了自己的看法．
甲：需要C型纸片4张；
乙：需要三种类型的纸片合计41张；
则下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意，可知A型纸片面积为，B型纸片面积为，C型纸片面积为，
∵，
∴拼成相邻边长分别为、的矩形，需要A型纸片15张，B型纸片4张，C型纸片23张，
∴需要三种类型的纸片合计张，
综上所述，甲、乙都错．
故答案为：D
【分析】本题需结合多项式乘多项式与图形面积对应关系解题，先明确A、B、C型纸片的面积分别对应、、。根据矩形面积公式，矩形的面积等于长乘宽，即，按照多项式乘多项式法则展开该式子，得到，合并同类项后为。式子中各项的系数分别对应所需A、C、B型纸片的数量，即15张A型、23张C型、4张B型，三种纸片总数为张，据此判断甲、乙的说法均错误。
11．（2023七下·镇海区期末）如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条件（ ）
A．（1）与（2）的周长之差 B．（3）的面积
C．（1）与（3）的面积之差 D．长方形的周长
【答案】D
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，长方形的宽为，长方形的长为，
则长方形面积为：，
∵①②是两个面积相等的梯形，
∴，
∴，即，
∴长方形面积为：，
∵①与②的周长之差为：，
∴A选项的条件不能求出长方形面积；
∵③的面积为：，
∴B选项的条件不能求出长方形面积；
∵①与②的面积之差为：，
∴C选项的条件不能求出长方形面积；
长方形的周长为：，
∴D选项的条件能求出长方形面积．
故答案为：D.
【分析】 设正方形的边长为a，长方形的宽为a+x，长方形的长为2a+y，根据①②面积相等结合梯形面积公式建立等式得y=2x，根据长方形面积计算公式表示出长方形的面积为2(a+x)2，然后再根据图形周长及面积计算公式逐项判断得出答案.
12．（2025七下·温州期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（ ）
A．10 B． C．11 D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：图2中，右下角阴影部分为正方形，边长为(a－b)，面积为9，
，
（负值舍去），
，
图3中，大正方形的边长为(a+b)，
面积为：，
（负值舍去），
∴，.
∴，，
，
故答案为：B．
【分析】由图2可得，结合，得出，可得，.再用含a，b的式子表示并计算和，相见即可得到答案．
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．（2024八上·丰城开学考）若，则 ．
【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴方程两边同时除以
得
∴
则
故答案为：
【分析】本题考查完全平方公式，已知式子的值，求代数式的值.先将方程两边同时除以可推出，利用完全平方公式的变形可得：，再将进行整体代入可求出答案．
14．（2026八上·望城期末）如果a+3b-2=0，那么3a×27b的值为 .
【答案】9
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵a+3b-2=0，
∴a+3b=2，
∴3a·27b=3a×33b=3a+3b=32=9
故答案为：9
【分析】首先由条件得a+3b=2，再逆用幂的乘方公式，结合同底数幂的乘法公式求解。
15．（2025七下·瑞安期中）如图，左边是一个张长方形卡片，把五张相同的小长方形卡片放入一个大长方形中，若阴影部分的面积为5，大长方形的周长为12，则一张小长方形卡片的面积为 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设小长方形的长为a、宽为b，
根据题意和题图可得：
大长方形的面积：，解得①
大长方形的周长：，解得，
进而可得，
即②
将①代入②可得
解得
∴ 一张小长方形卡片的面积=ab=.
故填：.
【分析】设小长方形的长为a、宽为b，用a、b列式分别表示大长方形的面积和周长，可得①和②，将将①代入②代入即可求解.
16．（2025七下·巴州月考）已知，，，则代数式的值为 ．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，，，
，，，
，，，
原式
．
故答案为：3．
【分析】通过观察可发现a，b，c都有，只需要将其两两作差就可以得到a，b，c之间的关系式，再将原式进行变形，构造出完全平方式，再代入求解即可.
三、解答题(本大题共8小题，共72分)
17．（2026七上·宁波期末） 计算与求解：
（1）计算：
（2）解方程：
（3）先化简，再求值： 其中x=1，y=-2.
【答案】（1）解：原式
（2）解：两边同乘6：2(4x-5)=3(3+x)+6
去括号：8x-10=9+3x+6
移项：8x-3x=9+6+10
合并同类项：5x=25
解得：x=5
（3）解：2(x2y+xy)-3(x2y-y)-3x2y
=2x2y+2xy-3x2y+3xy-3x2y
=(2x2y-3x2y-3x2y)+(2xy+3xy)
=-4x2y+5xy
当x=1，y=-2时：
-4x2y+5xy
=-4×12×(-2)+5×1×(-2)
=-4×1×(-2)+5×(-2)
=8-10
=-2
答：化简结果为-4x2y+5xy，值为-2.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的混合运算化简求值；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】(1)先算乘方和括号里面的，再算乘法，由此顺序计算即可；
(2)先通过去分母消除方程中的分母，再去括号展开式子，接着移项将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，然后合并同类项化简方程，最后系数化为1求出方程的解；
(3)直接去括号进而合并同类项，再把已知代入求出答案.
18．（2026八上·二道期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以．
请你也利用逆向思考的方法解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）计算：
【答案】（1）解：，，，
.
.
（2）解：
.
【知识点】同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】(1)根据同底数幂的除法逆向公式am-n=am÷an，将已知条件代入求解an的值；
(2)根据同底数幂的乘法逆向公式am+n=am·an，将变形为，然后利用积的乘方逆向公式(ab)n=anbn进行计算.
19．（2026八上·九台期末）已知，，求的值．
【例题讲解】
小亮探究出解题方法如下：
已知，，求的值．
∵ ∴ ∵，， ∴ ∴．
【方法运用】
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）小亮发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你直接写出的值．
（2）若，，求和的值．
【拓展提升】
（3）如图，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为，正方形和正方形面积和为，直接写出的长．
【答案】解：（1）(a+b)2=49；
（2）∵，
∴；
；
（3）．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵，且，
∴；
（3）设，，则
由题意可得：，，
即，
∴．
∵，
∴，
即．
【分析】（1）利用完全平方公式变形为，代入数据求解即可；
（2）利用完全平方公式变形为，，从而整体代入计算可得答案；
（3）设，，则，根据，然后整体代入计算后再开方运算即可得出答案.
20．（2022七下·昭平期中）如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形.解答下列问题：
（1）根据图中条件.试通过两种方法求出该图形的总面积，并用公式的形式将两种关系表达出来；
（2）当图中的满足，.求的值.
【答案】（1）解：∵，
，
∴.
（2）解：∵，，
∴，
即，
∵，
∴，即的值为9.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）方法一，根据正方形的面积等于边长的平方列式计算；方法二，根据大正方形的面积= 两个小正方形的面积+两个长方形的面积列式计算，根据两个式子表示的是同一个图形的面积可建立等式；
（2）由（a+b）2=a2+b2+2ab算出（a+b）2的值，然后再开平方并结合a、b都是正数可求出a+b的值.
21．（2025七上·宝安月考）
（1）已知 则求 的值；
（2）若 求 的值.
【答案】（1）解：
的值为12
（2）解：
的值为72.
【知识点】幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用
【解析】【分析】（1）根据题干直接可得的值；
（2）先将代数式变形为，再将代入计算即可.
22．（2023七下·宝安期中）如图所示，有一块长宽为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．
（1）请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）
（2）若，求休息区域的面积.
【答案】（1）解：由题意可得：
休息区域的面积是：，
即休息区域的面积是：平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
即若，，则休息区域的面积是平方米。
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
（1）结合图形，根据长方形的面积计算公式，可得出休息区域的面积=；
（2）根据（1）计算的结果，将，代入式子进行计算，即可得出答案。
（1）解：由题意可得，
休息区域的面积是：，
即休息区域的面积是：平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
即若，，则休息区域的面积是平方米；
23．（2025七下·张家口期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作：：如果，那么
例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：______；
（2）若，，且，求的值；
（3）①若，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算：_____．
【答案】（1）
（2）解：，，
，，
，
；
（3）解：①，，，
，，，
，
，
，
；
②2
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】（1）解：，
，
故答案为：；
（3）②，，
，
，，
，
设，
则，
故，
故答案为：
【分析】（1）根据新运算法则进行计算即可；
（2）根据新运算法则可得，，代入待求式子后根据同底数幂的乘法法则计算，嘴鸥整体代入按有理数的乘方运算法则进行计算即可；
（3）①根据新运算法则得，，，根据等式性质得，进而由同底数幂的运算法则得，据此可得结论；
②由乘方运算法则得，，再根据将原式变形为，进而可设，根据题干给的新运算法则得，从而即可得出答案.
（1）解：，
，
故答案为：；
（2），，
，，
，
；
（3）①，，，
，，，
，
，
，
；
②，，
，
，，
，
设，
则，
故，
故答案为：
24．（2025八上·韶关期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化．
【问题解决】
（1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________；
（2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值；
【拓展应用】
（3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）；
（2）∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，
∴，，
又∵
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，，
∴，，
∵，
∴，；
∴
．
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：（1）从整体方面：图1中大正方形的边长为，因此面积为，
从部分方面：拼成图1的四个部分的面积和为，
所以有，
故答案为：；
【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积，得到即可；
（2）由题意可得：，，再根据，代入计算即可；
（3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可．
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