冀教版七（下）数学 第九章 因式分解 单元测试基础卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．（2023七下·北海期末）把多项式分解因式等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·零陵期中）下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七上·上海市期中）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（ ）
A． B．
C． D．
4．给出下面四个多项式：①x2-xy； 其中含因式(x-y)的有 ( )
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
5．将 因式分解， 应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025七下·杭州期末） 若多项式因式分解后的结果是，则的值是（ ）
A．10 B． C． D．13
7．（2025七下·诸暨期末）已知（2x-8）（3x-4）-（3x-4）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），则a+2b的值是（ ）
A．1 B．6 C．7 D．8
8．（2025七下·宁波期中）如图，有型、型、型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠、不留空隙），则下列操作可行的是（ ）
A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板
C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板
9．（2025七下·永康期末）n为自然数，计算代数式n3-n的值时，四位同学算出了下列四个结果，其中不可能的是（ ）
A．720 B．1320 C．2729 D．9240
10．（2024七下·江北期末）已知关于 的二次三项式 分解因式的结果为 ， 则 和 的值分别是（ ）
A． B． C． D．
11．对于等式 有下列两种说法： ① 从左向右是因式分解； ②从右向左是整式乘法．关于这两种说法正确的是（ ）
A．①、②均正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①、②均错误
12．（2024七下·临武期中）将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．（2018七下·瑞安期末）因式分解： = .
14．若代数式的值是5，则代数式的值是 。
15．（2023七下·上虞期末）现有下列多项式：①；②；③；④．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有 ．（只需填上题序号即可）
16．（2025七下·鄞州竞赛）已知长方形的周长为180厘米，两邻边长分别为x厘米、y厘米，且x2+x2y-4xy2-4y2=0，则长方形的面积为 .
三、解答题(本大题共8小题，共72分)
17．（2025七下·滨江期末） 分解因式：
（1）．
（2）．
（3）．
18．下列多项式可以用平方差公式分解因式吗 说说你的理由。
19．如图，在一块边长为a(cm)的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时的剩余部分的面积.
20．将 再加上一项，使得到的多项式能化为( 的形式。你有几种方法
21．（2025七下·滨江期末） 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码．
（1）对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码．
（2）对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由．
22．（2025七下·杭州月考）已知a＝4+n，b＝2+n，n为正整数．
（1）求5a÷5b的值．
（2）利用因式分解说明：2a﹣2b能被24整除．
23．（2025七下·上城期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且m>n.(以上长度单位：cm)
（1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线(图中虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 .
（3）若每块小矩形的面积为10cm2四个正方形的面积和为58cm2，试求m-n 的值.
24．（2025七下·象山竞赛）对于多项式x2+2x-3，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+2x-3=0，这是可以确定多项式中有因式（x-1）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x-a），于是我们可以把多项式写成：x2+2x-3=（x-1）（mx+n）.
（1） 求式子中m， n的值：
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式2x2+5x+3：
（3）小东猜想：如果将x=a代入多项式x3-8能使x3-8=0，那么x3-8就一定能分解成如下形式（x-a）（bx+cx+d）.你认为小东的猜想是否正确？若正确，请直接写出a、b、c、d的值：若不正确，请说明理由，
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：=，
故选：B．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；
B、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；
C、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；
D、，符合题意.
故答案为：D．
【分析】一个二项式满足符号相反，且每一项都能写成一个整式的完全平方，这个二项式就能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，
等式右边不是乘积的形式，
∴等式表示的不是因式分解，
∴此选项不符合题意；
B、，等式右边不是几个整式的乘积形式，
∴等式表示的不是因式分解，
∴此选项不符合题意；
C、，是因式分解，
∴此选项符合题意；
D、，
等式右边不是乘积形式，
∴等式表示的不是因式分解，
∴此选项不符合题意.
故选：C．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据分解因式的概念并结合各选项即可判断求解．
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：① x2-xy=x(x-y)；
②x2-y2=(x+y)(x-y)；
③x2-2xy+y2=(x-y)2；
④x2+y2不能因式分解；
其中含因式(x-y)的有①②③，
故选：C.
【分析】把各多项式因式分解，然后逐项判断解答即可.
5．【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：，系数可以提取3，字母可提取ab(x-y)2， 应提取的公因式是.
故答案为：A．
【分析】系数取最大公因数，都含有的字母或式子取最低次，将所得的因数、字母（或式子）相乘就是公因式.
6．【答案】C
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵是多项式因式分解后的结果
∴
因此，a=2，3-8a=k，解得k=-13，C正确.
故答案为：C.
【分析】将多项式因式分解是将其分解成几个整式相乘的形式，因此只需将分解后的结果相乘展开便能得到原多项式。
7．【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：(2x-8)(3x-4)-(3x-4)(x-13)=(3x-4)[(2x-8)-(x-13)]=(3x-4)(2x-8-x+13)=(3x-4)(x+5)= (3x+a)(x+b)
对照得a=-4，b=5，故a+2b=-4+25=6
故答案为：6.
【分析】用提公因式法可将原式化为，再对照即可得a、b的值，代入即可得结果.
8．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，A不符合题意；
，B不符合题意；
，C不符合题意；
，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由题意可得A型正方形的面积为，B型正方形的面积为4，C型长方形的面积为2x，故原有7张纸板的面积为，利用因式分解法对各选项的面积代数式进行分解，即可判定加上1块型纸板可拼出大长方形.
9．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，即必为偶数，因此只有C选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将进行因式分解，可发现其为三个连续自然数的乘积，其结果也必为偶数，据此可判断.
10．【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵
∴m=-6，-n=8
∴m=-6，n=-8
故答案为：B.
【分析】根据题意，先把进行展开，得到：，故=，得出：.
11．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：因式分解是将一个多项式化为若干个多项式的乘积的形式，而整式乘法则是将若干个多项式相乘得到一个新多项式的过程，观察等式，左边是多项式形式，右边是乘积形式，因此从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法，即①与②说法均正确.
故答案为：A.
【分析】根据因式分解与整式乘法的定义判断即可.
12．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：如图：
∴，
故选：C．
【分析】利用面积相等，得出因式分解式子．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： = 。
故答案为： 。
【分析】此三项式中，有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积2倍的差，故可以用完全平方差公式直接分解。
14．【答案】1
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】∵，
∴．
【分析】此题可以直接把作为一个整体代入即可求得代数式的值．
15．【答案】①③④
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ① 1-a2=(1-a)(1+a)，用到平方差公式；
② a2-2ab+b2=（a-b）2，未用到平方差公式；
③4a2-9b2=（2a+b）（2a-3b），用到平方差公式；
④ 3a3-12a=3a（a2-4）=3a（a+2）（a-2），用到平方差公式.
故答案为：①③④.
【分析】能用平方差公式分解的二项式一般是二项式，二项式满足两项能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，据此一一判断得出答案.
16．【答案】1800
【知识点】因式分解﹣提公因式法；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵x3+x2y-4xy2-4y3=0，
∴x2(x+y)-4y2(x+y)=0，
∴(x+y)(x+2y)(x-2y)=0，
∵x+y>0，x+2y>0，
∴x=2y.
又由题意可得x+y= 90，
解方程组
解得
∴长方形的面积=60×30=1800(平方厘米)，
故答案为：1800.
【分析】把x3+x2y-4xy2-4y3=0化简成(x+y)(x+2y)(x-2y)，可得x=2y，由题意可得x+y=90，解方程组即可.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
(3)先变形，再提公因式即可.
18．【答案】解：（1）（3）（6）不能用平方差公式分解因式，因为它们不是两数的平方差的形式；
（2）（4）（5）能用平方差公式分解因式，（2）可以看成2x与（或）的平方差，（4）可以看成与2x的平方差，（5）可以看成与2的平方差。
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】根据平方差公式的特点逐一分析每个多项式是否符合其形式。平方差公式为，需满足两项符号相反且均为完全平方项，进而分析即可.
19．【答案】解：阴影部分面积为：a2-4b2=(a-2b)(a+2b)
∵ a=13.2，b=3.4 ，
∴阴影部分面积为：(13.2-6.8)(13.2+6.8)=20×6.4=128cm2.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】分别用含a和b的式子表示出大正方形和4个小正方形的面积，最后根据题意结合平方差公式计算即可.
20．【答案】解：有3种方法。；。
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】根据完全平方公式的结构分析可能的项。完全平方展开式为，因此需要确定原式中的项如何对应公式中的、 或，并找出缺失的项。
21．【答案】（1）解：
=x(3x-y)(3x+y)，
当x=10， y=10时，
3x-y=3×10-10=20，
3x+y=3×10+10=40，
这个个六位数密码是102040.（答案不唯一）
（2）解：能，理由为：
因为x = 25， 这个六位数密码为242527，
24=25-1，
所以其中一个因式是(x-1)，
27=25+2，
所以另外一个因式是(x+2)，
所以 -2x，
所以p=1， q=-2.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】(1)先提取公因式x，然后利用平方差公式将式子进行因式分解，将x=10，y=10代入求出三个因式的值，表示出密码即可；
(2)当x = 25时， 六位数密码为242527， 即另外两个因式的结果分别是24、27，所以另外两个因式表示为x﹣1、x+2， 所以这个因式表示为x(x﹣1)(x+2)， 据此求出p、q.
22．【答案】（1）解：∵a＝4+n，b＝2+n，n为正整数，
∴a﹣b＝2，
∴5a÷5b＝5a﹣b＝52＝25
（2）解：∵a＝4+n，b＝2+n，n为正整数，
∴2a﹣2b
＝24+n﹣22+n
＝24 2n﹣22 2n
＝16×2n﹣4×2n
＝（16﹣4）×2n
＝12×2n，
∵n为正整数，
∴12×2n一定能被24整除，
∴2a﹣2b能被24整除
【知识点】同底数幂的除法；因式分解的概念
【解析】【分析】(1)根据a=4+n，b=2-n，可以得到a-b=2，然后计算5a÷5b，再将a-b=2整体代入计算即可；
(2)将a、b的值代入2a-2b，然后计算，观察结果，即可说明结论成立.
23．【答案】（1）解：图中所有裁剪线 (虚线部分)长度之和为：
（2）
（3）解：依题意得：
∴，
∵m>n，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】 可以因式分解为
故答案为：
【分析】(1)结合图像，求得所有裁剪线(虚线部分)的长度之和；
(2)根据最大长方形的面积可知，代数式可因式分解为
(3)根据每块小长方形的面积和四个正方形的面积和列式得到，mn=10，然后根据完全平方公式的变形解答即可.
24．【答案】（1）解：∵(x-1)(mx+n)=mx2+(n-m)x-n=x2+2x-3，
∴m=1， n=3；
（2）解：把x=-1代入多项式2x2+5x+3=0，
则(x+1)(ax+b)=ax2+(a+b)x+b=2x2+5x+3，
a=2，b=3，
因此 2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)
（3）解：∵将x=2代入多项式x3-8能使x3-8=0，
∴(x-2)(bx2+cx+d)=bx3+(c-2b)x2+(d-2c)x-2d= x3-8，
∴b=1， c=2， d=4，
∴a=2， b=1，c=2， d=4.
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用
【解析】【分析】(1)把多项式的乘法展开、合并，根据对应系数相等得出答案即可；
(2) 把 1代入多项式 得出 进一步展开对应的出a、b的数值即可；
(3) 将 代入多项式 能使 得出 进一步整理 得出答案即可.
1 / 1冀教版七（下）数学 第九章 因式分解 单元测试基础卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．（2023七下·北海期末）把多项式分解因式等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：=，
故选：B．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
2．（2023七下·零陵期中）下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；
B、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；
C、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；
D、，符合题意.
故答案为：D．
【分析】一个二项式满足符号相反，且每一项都能写成一个整式的完全平方，这个二项式就能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
3．（2024七上·上海市期中）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，
等式右边不是乘积的形式，
∴等式表示的不是因式分解，
∴此选项不符合题意；
B、，等式右边不是几个整式的乘积形式，
∴等式表示的不是因式分解，
∴此选项不符合题意；
C、，是因式分解，
∴此选项符合题意；
D、，
等式右边不是乘积形式，
∴等式表示的不是因式分解，
∴此选项不符合题意.
故选：C．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据分解因式的概念并结合各选项即可判断求解．
4．给出下面四个多项式：①x2-xy； 其中含因式(x-y)的有 ( )
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：① x2-xy=x(x-y)；
②x2-y2=(x+y)(x-y)；
③x2-2xy+y2=(x-y)2；
④x2+y2不能因式分解；
其中含因式(x-y)的有①②③，
故选：C.
【分析】把各多项式因式分解，然后逐项判断解答即可.
5．将 因式分解， 应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：，系数可以提取3，字母可提取ab(x-y)2， 应提取的公因式是.
故答案为：A．
【分析】系数取最大公因数，都含有的字母或式子取最低次，将所得的因数、字母（或式子）相乘就是公因式.
6．（2025七下·杭州期末） 若多项式因式分解后的结果是，则的值是（ ）
A．10 B． C． D．13
【答案】C
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵是多项式因式分解后的结果
∴
因此，a=2，3-8a=k，解得k=-13，C正确.
故答案为：C.
【分析】将多项式因式分解是将其分解成几个整式相乘的形式，因此只需将分解后的结果相乘展开便能得到原多项式。
7．（2025七下·诸暨期末）已知（2x-8）（3x-4）-（3x-4）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），则a+2b的值是（ ）
A．1 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：(2x-8)(3x-4)-(3x-4)(x-13)=(3x-4)[(2x-8)-(x-13)]=(3x-4)(2x-8-x+13)=(3x-4)(x+5)= (3x+a)(x+b)
对照得a=-4，b=5，故a+2b=-4+25=6
故答案为：6.
【分析】用提公因式法可将原式化为，再对照即可得a、b的值，代入即可得结果.
8．（2025七下·宁波期中）如图，有型、型、型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠、不留空隙），则下列操作可行的是（ ）
A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板
C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，A不符合题意；
，B不符合题意；
，C不符合题意；
，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由题意可得A型正方形的面积为，B型正方形的面积为4，C型长方形的面积为2x，故原有7张纸板的面积为，利用因式分解法对各选项的面积代数式进行分解，即可判定加上1块型纸板可拼出大长方形.
9．（2025七下·永康期末）n为自然数，计算代数式n3-n的值时，四位同学算出了下列四个结果，其中不可能的是（ ）
A．720 B．1320 C．2729 D．9240
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，即必为偶数，因此只有C选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将进行因式分解，可发现其为三个连续自然数的乘积，其结果也必为偶数，据此可判断.
10．（2024七下·江北期末）已知关于 的二次三项式 分解因式的结果为 ， 则 和 的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵
∴m=-6，-n=8
∴m=-6，n=-8
故答案为：B.
【分析】根据题意，先把进行展开，得到：，故=，得出：.
11．对于等式 有下列两种说法： ① 从左向右是因式分解； ②从右向左是整式乘法．关于这两种说法正确的是（ ）
A．①、②均正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①、②均错误
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：因式分解是将一个多项式化为若干个多项式的乘积的形式，而整式乘法则是将若干个多项式相乘得到一个新多项式的过程，观察等式，左边是多项式形式，右边是乘积形式，因此从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法，即①与②说法均正确.
故答案为：A.
【分析】根据因式分解与整式乘法的定义判断即可.
12．（2024七下·临武期中）将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：如图：
∴，
故选：C．
【分析】利用面积相等，得出因式分解式子．
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．（2018七下·瑞安期末）因式分解： = .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： = 。
故答案为： 。
【分析】此三项式中，有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积2倍的差，故可以用完全平方差公式直接分解。
14．若代数式的值是5，则代数式的值是 。
【答案】1
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】∵，
∴．
【分析】此题可以直接把作为一个整体代入即可求得代数式的值．
15．（2023七下·上虞期末）现有下列多项式：①；②；③；④．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有 ．（只需填上题序号即可）
【答案】①③④
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ① 1-a2=(1-a)(1+a)，用到平方差公式；
② a2-2ab+b2=（a-b）2，未用到平方差公式；
③4a2-9b2=（2a+b）（2a-3b），用到平方差公式；
④ 3a3-12a=3a（a2-4）=3a（a+2）（a-2），用到平方差公式.
故答案为：①③④.
【分析】能用平方差公式分解的二项式一般是二项式，二项式满足两项能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，据此一一判断得出答案.
16．（2025七下·鄞州竞赛）已知长方形的周长为180厘米，两邻边长分别为x厘米、y厘米，且x2+x2y-4xy2-4y2=0，则长方形的面积为 .
【答案】1800
【知识点】因式分解﹣提公因式法；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵x3+x2y-4xy2-4y3=0，
∴x2(x+y)-4y2(x+y)=0，
∴(x+y)(x+2y)(x-2y)=0，
∵x+y>0，x+2y>0，
∴x=2y.
又由题意可得x+y= 90，
解方程组
解得
∴长方形的面积=60×30=1800(平方厘米)，
故答案为：1800.
【分析】把x3+x2y-4xy2-4y3=0化简成(x+y)(x+2y)(x-2y)，可得x=2y，由题意可得x+y=90，解方程组即可.
三、解答题(本大题共8小题，共72分)
17．（2025七下·滨江期末） 分解因式：
（1）．
（2）．
（3）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
(3)先变形，再提公因式即可.
18．下列多项式可以用平方差公式分解因式吗 说说你的理由。
【答案】解：（1）（3）（6）不能用平方差公式分解因式，因为它们不是两数的平方差的形式；
（2）（4）（5）能用平方差公式分解因式，（2）可以看成2x与（或）的平方差，（4）可以看成与2x的平方差，（5）可以看成与2的平方差。
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】根据平方差公式的特点逐一分析每个多项式是否符合其形式。平方差公式为，需满足两项符号相反且均为完全平方项，进而分析即可.
19．如图，在一块边长为a(cm)的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时的剩余部分的面积.
【答案】解：阴影部分面积为：a2-4b2=(a-2b)(a+2b)
∵ a=13.2，b=3.4 ，
∴阴影部分面积为：(13.2-6.8)(13.2+6.8)=20×6.4=128cm2.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】分别用含a和b的式子表示出大正方形和4个小正方形的面积，最后根据题意结合平方差公式计算即可.
20．将 再加上一项，使得到的多项式能化为( 的形式。你有几种方法
【答案】解：有3种方法。；。
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】根据完全平方公式的结构分析可能的项。完全平方展开式为，因此需要确定原式中的项如何对应公式中的、 或，并找出缺失的项。
21．（2025七下·滨江期末） 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码．
（1）对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码．
（2）对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：
=x(3x-y)(3x+y)，
当x=10， y=10时，
3x-y=3×10-10=20，
3x+y=3×10+10=40，
这个个六位数密码是102040.（答案不唯一）
（2）解：能，理由为：
因为x = 25， 这个六位数密码为242527，
24=25-1，
所以其中一个因式是(x-1)，
27=25+2，
所以另外一个因式是(x+2)，
所以 -2x，
所以p=1， q=-2.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】(1)先提取公因式x，然后利用平方差公式将式子进行因式分解，将x=10，y=10代入求出三个因式的值，表示出密码即可；
(2)当x = 25时， 六位数密码为242527， 即另外两个因式的结果分别是24、27，所以另外两个因式表示为x﹣1、x+2， 所以这个因式表示为x(x﹣1)(x+2)， 据此求出p、q.
22．（2025七下·杭州月考）已知a＝4+n，b＝2+n，n为正整数．
（1）求5a÷5b的值．
（2）利用因式分解说明：2a﹣2b能被24整除．
【答案】（1）解：∵a＝4+n，b＝2+n，n为正整数，
∴a﹣b＝2，
∴5a÷5b＝5a﹣b＝52＝25
（2）解：∵a＝4+n，b＝2+n，n为正整数，
∴2a﹣2b
＝24+n﹣22+n
＝24 2n﹣22 2n
＝16×2n﹣4×2n
＝（16﹣4）×2n
＝12×2n，
∵n为正整数，
∴12×2n一定能被24整除，
∴2a﹣2b能被24整除
【知识点】同底数幂的除法；因式分解的概念
【解析】【分析】(1)根据a=4+n，b=2-n，可以得到a-b=2，然后计算5a÷5b，再将a-b=2整体代入计算即可；
(2)将a、b的值代入2a-2b，然后计算，观察结果，即可说明结论成立.
23．（2025七下·上城期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且m>n.(以上长度单位：cm)
（1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线(图中虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 .
（3）若每块小矩形的面积为10cm2四个正方形的面积和为58cm2，试求m-n 的值.
【答案】（1）解：图中所有裁剪线 (虚线部分)长度之和为：
（2）
（3）解：依题意得：
∴，
∵m>n，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】 可以因式分解为
故答案为：
【分析】(1)结合图像，求得所有裁剪线(虚线部分)的长度之和；
(2)根据最大长方形的面积可知，代数式可因式分解为
(3)根据每块小长方形的面积和四个正方形的面积和列式得到，mn=10，然后根据完全平方公式的变形解答即可.
24．（2025七下·象山竞赛）对于多项式x2+2x-3，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+2x-3=0，这是可以确定多项式中有因式（x-1）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x-a），于是我们可以把多项式写成：x2+2x-3=（x-1）（mx+n）.
（1） 求式子中m， n的值：
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式2x2+5x+3：
（3）小东猜想：如果将x=a代入多项式x3-8能使x3-8=0，那么x3-8就一定能分解成如下形式（x-a）（bx+cx+d）.你认为小东的猜想是否正确？若正确，请直接写出a、b、c、d的值：若不正确，请说明理由，
【答案】（1）解：∵(x-1)(mx+n)=mx2+(n-m)x-n=x2+2x-3，
∴m=1， n=3；
（2）解：把x=-1代入多项式2x2+5x+3=0，
则(x+1)(ax+b)=ax2+(a+b)x+b=2x2+5x+3，
a=2，b=3，
因此 2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)
（3）解：∵将x=2代入多项式x3-8能使x3-8=0，
∴(x-2)(bx2+cx+d)=bx3+(c-2b)x2+(d-2c)x-2d= x3-8，
∴b=1， c=2， d=4，
∴a=2， b=1，c=2， d=4.
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用
【解析】【分析】(1)把多项式的乘法展开、合并，根据对应系数相等得出答案即可；
(2) 把 1代入多项式 得出 进一步展开对应的出a、b的数值即可；
(3) 将 代入多项式 能使 得出 进一步整理 得出答案即可.
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