冀教版七（下）数学 第九章 因式分解 单元测试提升卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．（初中数学浙教版七下精彩练习4.3用乘法公式分解因式（1））下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 不能分解因式，错误；
B、 ，正确；
C、 不能分解因式，错误；
D、 不能分解因式，错误.
故答案为：B.
【分析】将一个多项式化成几个因式连乘积的形式叫分解因式，根据定义先判断是否是分解因式；平方差公式是：a2-b2=(a+b)(a-b)，依此分解并判断即可.
2．（2025七下·奉化期末） 下列因式分解正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、无法因式分解，A错误；
B、，B错误；
C、， C正确；
D、， D错误.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
3．若 ， 则 的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】因式分解的应用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
∵
∴
∴
∴
∴
∴b+c=2
故答案为：D.
【分析】先把等式左右两边都展开，移项，合并同类项，得到：，则：得出b+c=2
4．（2025七下·嘉兴期末） 若x取正整数，则代数式的值可以是（ ）.
A．2181 B．2182 C．2183 D．2184
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1)
∴x3-x必为三个连续自然数的积
由于三个连续自然数中必有一个为偶数，
∴x3-x必为一个偶数，
∴12×13×14=2184，
故答案为：D.
【分析】首先将x3-x因式分解，转化为x(x-1)(x+1)，可推知x3-x的值是三个连续自然数的乘积，对于三个连续的自然数，最少有一个为偶数，因而x3-x的值必定是一个偶数，分析各选项，找出正确答案.
5．（2025七下·浙江期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：=；
故答案为：D.
【分析】根据提公因式的概念判断即可得出答案.
6．（2025七下·义乌月考）已知多项式a2+ma+n可因式分解为（a-4）（a+5），则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-9 D．9
【答案】A
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：(a-4)(a+5)=a2+a-20
∵多项式a2+ ma+n可因式分解为(a-4)(a+5)
∴a2+ma+n=a2+a-20
∴m=1
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，再根据对应项系数相等列出方程，求解即可得到m的值.
7．（2025七下·上城期中）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果。其中正确的结果是（ ）
A．121 B．210 C．335 D．505
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：原式，
∴为三个连续的正整数的积，
∴可写成三个连续自然数的积，其中有因数必为偶数，也有因数必为3的倍数，
∴是一个偶数．而且是3的倍数，
选项只有B，符合条件，
又∵，
故选：B．
【分析】
代数式因式分解可得，则代数式表示三个连续正整数的积，则其中必有一个数能被3整除，即必然能被3整除．
8．（2025七下·浙江月考）已知矩形的长为，宽为．若是有理数，且该矩形的周长与面积的数值是相等的整数，则满足条件的矩形个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
即：
即：
当时，；则，满足条件；
当时，；则，满足条件；
当时，；则，满足条件；
故答案为：A.
【分析】先对等式移项，再利用添项法等式左边分解因式得，此时再求满足条件的二元一次方程的特殊解即可.
9．（2024七下·慈溪期末） 如图，有 型、 型、 型三种不同的纸板. 其中 型是边长为 的正方形，共有 2 块； 型是长为 ，宽为 的长方形，共有 4 块； 型为边长为 的正方形，共有 3 块. 现用这 9 块纸板去拼出一个大的长方形 (不重叠、不留空隙)， 则下列操作可行的是 ( )
A．用全部 9 块纸板 B．拿掉 1 块 型纸板
C．拿掉 1 块 B 型纸板 D．加上 1 块 型纸板
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：A、假设用全部9块纸板拼出长方形，该长方形的面积为：2x2+4x+3，不能进行因式分解，即构不成长方形，A不符合题意；
B、假设拿掉1块A型纸板，用剩下8块纸板拼出长方形，则该长方形的面积为：x2+4x+3=（x+3）（x+1），B符合题意；
C、假设拿掉1块B型纸板，用剩下8块纸板拼出长方形，则该长方形的面积为：2x2+3x+3，不能进行因式分解，即构不成长方形，C不符合题意；
D、假设加上1块C型纸板，用10块纸板拼出长方形，则该长方形的面积为：2x2+4x+4，不能进行因式分解，即构不成长方形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】逐项进行分析，用多项式表示相应的长方体的面积，若能进行因式分解，则根据长方形的面积公式可知该操作是可行的.
10．（2022七下·港北期中）已知，，，则代数式的值为（ ）
A．4 B．10 C．8 D．6
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴a-b=m+2020-m-2021=-1，a-c=m+2020-m-2022=-2，b-c=m+2021-m-2022=-1，
∴
=
=
=
=1+4+1
=6，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件利用整式的加减法先算出a-b，a-c及b-c的值，进而将待求式子前三项拆项后分为三组，每组利用完全平方公式分解因式，然后整体代入计算即可.
11．（2024七下·温州期中）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②无论取何实数，多项式总能分解成两个一次因式积的形式；
③若，则可以取的值有2个；
④关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是．其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；零指数幂；平行公理及推论；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：①：只有在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①不符合题意；
②：只有当时，在实数范围内可表示成的形式，故②不符合题意；
③：因为任意非零数字的0次幂等于1，所以此时；又因为1的任意次幂都等于1，所以此时，故③符合题意；
④：由题意知，，则当时，总有，因为是任意实数，则有，即有方程组，解得：，故④符合题意；
综上，③④符合题意．
故选：D．
【分析】①平行公理的前提是在同一平面内；②实数范围内无法对平方和公式进行因式分解；③注意一些特殊的乘方运算，如正负1的乘方，0次幂等；④理解题意是关键，本题突破口是先求出关于的二元一次方程的特殊解，从而得到关于的二元一次方程组，解这个方程组即可．
12．（2023七上·大埔期中）有n个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为；将第二项与相加作为第三项；将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论：
①；②当时，第三项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则；④第2022项为；⑤当时，；以上结论正确的是（ ）
A．①②④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．①③⑤
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：根据题意得：，
，
，
，
，故①正确；
……，
∴，
∴
，故⑤正确；
第一项是，
第二项是，
第三项是，
第四项是，
第五项是，
……，
第n项是，
∴第2022项为，故④错误；
∴当时，第三项的值是，故②错误；
∵第5项与第4项之差为15，
∴，
解得：，故③正确；
故选：D
【分析】根据题意求出，，，，，……，据此找出规律，继而得出，可判断①⑤；然后再求出第一项，第二项，第三项，第四项，……，由此找出规律，即得第n项是，可判断②③④．
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．（2017七下·平谷期末）因式分解： =
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即 =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）.
【分析】分解因式能提公因式先提公因式然后运用其他因式分解彻底即可。
14．（2025七下·诸暨期中）已知3a+1+3a=108，3b+1-3b=54，则a+b的值为 .
【答案】6
【知识点】因式分解﹣提公因式法；整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：∵3a+1+3a=108，3b+1-3b=54，
∴（3+1）3a=108，(3-1)3b=54，
∴3a=27，3b=27，
解得a=3，b=3，
∴a+b=6
故答案为：6.
【分析】 逆用同底数幂的乘法将3a+1+3a，3b+1-3b转换为（3+1）3a和(3-1)3b，从而可得3a和3b的值，进而可解.
15．（2025七下·嘉兴期末） 若多项式 有一个因式为 ，则 a 的值为 .
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：设另一个因式为(mx+k)，
则(x-1)(mx+k)
=mx2+kx-mx-k
=mx2+(k-m)x-k
=ax2-6x+3，
则-k=3，k-m=-6，
解得：k=-3，m=3，
那么a=m=3，
故答案为：3.
【分析】根据因式定理，若多项式有因式(x-1)，则当=1时多项式的值为0，代入x=1后解方程即可求出a的值.
16．（2024七下·东阳期末）如果一个两位正整数，（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为，若为2376，那么我们称这个数为“最美数”，则这个“最美数”为 ．
【答案】57或15
【知识点】因式分解的应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
∴，
∵，x，y为自然数，
∴，，且
∴或，，
解得或，，
∵x，y为自然数，
∴或，
∴这个“最美数”是57或15．
故答案为：57或15.
【分析】根据题意得到，，根据题意得到，然后利用，求得符合条件的x、y的值即可解题．
三、解答题(本大题共8小题，共72分)
17．（2025七下·德清期末） 因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)利用平方差公式因式分解即可；
(2)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可.
18．（2025七下·永康期末）从a2，2ab，b2这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解（写出两种情况）。
【答案】解：a2±2ab=a(a±2b)，
2ab±b2=b(2a±b)，
a2±2ab+b2=(a±b)2等
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】从所给出的单项式中可发现，存在有公因式的单项式，另外，结构上也与完全平方式的项相同，因此可以从提取公因式、完全平方式等角度组成多项式并分解.
19．（2025七下·上城期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小长方形，且．（以上长度单位：）
（1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______
（3）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值．
【答案】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为，
∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：；
（2）
（3）解：依题意得，，，
，
，
．
∵，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】（2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得，
∴
即可以因式分解为：，
故答案为：；
【分析】
（1）由平移的性质可得虚线部分长度和实则为大长方形的周长，先分别表示出大长方形的长和宽，再利用周长公式计算即可；
（2）根据图形的面积的不同的表示方法解答；
（3）变形完全平方公式，代入计算即可．
（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为，
∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：；
（2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得，
∴
即可以因式分解为：，
故答案为：；
（3）解：依题意得，，，
，
，
．
∵，
∴．
20．（2025七下·柯桥月考）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法．
（1）填空：因式分解3x2﹣6x+3＝ ．
（2）【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“x2﹣y2+3x+3y”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为
x2﹣y2+3x+3y＝（x2﹣y2）+（3x+3y）＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）＝（x+y）（x﹣y+3）．
请在上述方法的启发下，分解下列因式：
①x2﹣xy+6x﹣6y；
②m2﹣n2+6m+9．
（3）【应用尝试】已知实数a，b满足2a2﹣4a+4+2ab+b2＝0，求a﹣b的值．
【答案】（1）3（x-1）2
（2）解：① x2-xy+6x-6y =x（x-y）+6（x-y）=（x+6）（x-y）；
② m2-n2+6m+9 =m2+6m+9-n2=（m+3）2-n2=（m+n+3）（m-n+3）
（3）解：∵2a2-4a+4+2ab+b2＝0，即(a2-4a+4)+(a2+2ab+b2)＝0
∴（a-2）2+（a+b）2＝0，
∴a=2，b=-2，
则a-b=2-（-2）=4.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：（1） 3x2-6x+3=3（x2-2x+1）=3（x-1）2
故答案为：（1）3（x-1）2。
【分析】本题主要考查因式分解的步骤，需要利用提公因式法、完全平方公式、平方差公式等知识。
（1）利用提公因式法，先提取公因数3，然后利用完全平方公式将x2-2x+1变为（x-1）2即可；
（2）①先提取公因数x和6，将原式变为x（x-y）+6（x-y），然后进一步计算即可；②先利用完全平方公式将m2+6m+9进行变形，然后再利用平方差公式进行分解即可；
（3）先将2a2拆分，原式变为(a2-4a+4)+(a2+2ab+b2)=0，这样可以分别利用完全平方公式进行进一步因式分解，最后求出a和b的值之后，减法计算即可。
21．（2024七下·金东期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________；
（2）若可配方成（、为常数），则__________；
【探究问题】
（3）已知，则__________；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【拓展结论】
（5）已知实数、满足，求的最小值．
【答案】解：（1）；
（2）-12；
（3）-1；
（4）当时，为“完美数”，理由如下：
，
当时，，则，为完美数；
（5）∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）；
∴，，
∴；
故答案为：-12.
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴；
故答案为：-1.
【分析】（1）分析10以内各自然数平方的尾数特征，发现2与5的平方和恰好是29；
（2）当一个二次三项式的二次项系数为1时，可把常数项表示成一次项系数一半的平方与另一个常数的和，从而把这个整式表示成一个完全平方式与常数和的形式；
（3）先把常数项5表示成1与4的和，则恰好能把等式左边表示成两个完全平方式的和，由于两个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0，可分别求出的值，则可求；
（4）由于完全平方公式的展开式是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍，可先把常数表示成的形式，则由“完美数”的概念知，S是两个完全平方式的和，则（k－13）等于0 ；
（5）由于等于，由平方式的非负性可知其有最小值1．
22．我们知道： 二次三项式 可以运用完全平方公式分解因式成 的形式． 若一个二次三项式 (．如 ) 不能直接写成两数和 (或差)的平方的形式，我们可以采用下面的方法分解因式：
仿照上面的方法， 将下列各式因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】实数范围内分解因式；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）将前两项揍成完全平方再减去36，再用平方差公式分解因式；
（2）将前两项揍成完全平方再减去b2，再用平方差公式分解因式；
（3）将两项揍成完全平方再减去2x2，再用平方差公式分解因式.
23．（2024七下·南海期末）在学习《整式的乘除》时，对于整式乘法公式的验证，我们经常采用“算两次”的思想．现在有两张大小不一的正方形卡片，边长分别为a、b，小明同学通过用它们进行不同的拼接，验证了两个常见的整式乘法公式，具体拼接方法如下：
（1）若拼接方法如图1所示，阴影部分的面积可以表示为______________，还可以表示为______________，用这两次算面积的结果可以验证哪个等式？____________________________．
（2）若拼接方法如图2所示，阴影部分的面积可以表示为______________，还可以表示为______________，用这两次算面积的结果可以验证哪个等式？____________________________．
（3）拓展应用（下列两题，请任意选择一题作答即可）：
①若拼接方法如图3所示，且，则与的面积之和为______________．
②若拼接方法如图4所示，且，则与的面积之差为______________．
【答案】（1）a2﹣b2；（a﹣b）（a+b）；a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；
（2）（a+b）2﹣2ab；a2+b2；（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
（3）①12；②12
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）阴影部分面积为：a2﹣b2，
还可以表示为：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b），
则有：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；
故答案为：a2﹣b2；（a﹣b）（a+b）；a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；
（2）阴影部分面积为：（a+b）2﹣2ab，
还可以表示为：a2+b2，
则有：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
故答案为：（a+b）2﹣2ab；a2+b2；（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
（3）①阴影部分面积为：
a2+b2﹣[a（a+b）+b2]
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2）﹣ab
＝（a+b）2﹣ab﹣ab
＝（a+b）2﹣ab，
∵a+b＝6，ab＝4，
∴原式＝×62﹣×4
＝18﹣6
＝12；
即△ABC与△ACD的面积之和为12．
故答案为：12；
②S△BEF＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）+b（a﹣b）＝，
S△ACD＝a2+b2﹣a（a﹣b）﹣a（a+b）﹣b2＝b2，
∴△BEF与△ACD的面积之差为：a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝（a+b）（a﹣b），
∵a+b＝6，a﹣b＝4，
∴原式＝×6×4
＝12．
故答案为：12．
【分析】
（1）分别用不同的方法表示出阴影部分的面积，从而可求解；
（2）分别用不同的方法表示出阴影部分的面积，从而可求解；
（3）①所求的面积可看成是两个正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和；
②分别表示出△BEF的面积，△ACD的面积，再相减得到（a+b）（a﹣b），再整体代入求值即可解答．
（1）解：阴影部分面积为：a2﹣b2，
还可以表示为：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b），
则有：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；
故答案为：a2﹣b2；（a﹣b）（a+b）；a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；
（2）解：阴影部分面积为：（a+b）2﹣2ab，
还可以表示为：a2+b2，
则有：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
故答案为：（a+b）2﹣2ab；a2+b2；（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
（3）解：①阴影部分面积为：
a2+b2﹣[a（a+b）+b2]
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2）﹣ab
＝（a+b）2﹣ab﹣ab
＝（a+b）2﹣ab，
∵a+b＝6，ab＝4，
∴原式＝×62﹣×4
＝18﹣6
＝12；
即△ABC与△ACD的面积之和为12．
故答案为：12；
②S△BEF＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）+b（a﹣b）＝，
S△ACD＝a2+b2﹣a（a﹣b）﹣a（a+b）﹣b2＝b2，
∴△BEF与△ACD的面积之差为：a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝（a+b）（a﹣b），
∵a+b＝6，a﹣b＝4，
∴原式＝×6×4
＝12．
故答案为：12．
24．阅读下列因式分解的过程， 再回答所提出的问题：
（1） 上述因式分解的方法是 法，共应用了 次；
（2） 若分解 ，分解因式得到的结果是
（3）用上述方法分解因式： (其中 为正整数)， 所得的结果是
【答案】（1）提取公因式；2
（2）
（3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1） 上述因式分解的方法是提取公因式法，第1次提取公因式1+x，第2次提取公因式也是1+x，共应用了2次，
故答案为：提取公因式；2．
(2)
…
=
故答案为：.
(3)
=
=[]
=[]
…
=
故答案为：.
【分析】（1）根据提取公因式法的意义解析；
（2）、（3）先将1+x用括号括起来，再提取公因式1+x，…，根据规律，写出分解因式结果.
1 / 1冀教版七（下）数学 第九章 因式分解 单元测试提升卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．（初中数学浙教版七下精彩练习4.3用乘法公式分解因式（1））下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·奉化期末） 下列因式分解正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．若 ， 则 的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
4．（2025七下·嘉兴期末） 若x取正整数，则代数式的值可以是（ ）.
A．2181 B．2182 C．2183 D．2184
5．（2025七下·浙江期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025七下·义乌月考）已知多项式a2+ma+n可因式分解为（a-4）（a+5），则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-9 D．9
7．（2025七下·上城期中）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果。其中正确的结果是（ ）
A．121 B．210 C．335 D．505
8．（2025七下·浙江月考）已知矩形的长为，宽为．若是有理数，且该矩形的周长与面积的数值是相等的整数，则满足条件的矩形个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2024七下·慈溪期末） 如图，有 型、 型、 型三种不同的纸板. 其中 型是边长为 的正方形，共有 2 块； 型是长为 ，宽为 的长方形，共有 4 块； 型为边长为 的正方形，共有 3 块. 现用这 9 块纸板去拼出一个大的长方形 (不重叠、不留空隙)， 则下列操作可行的是 ( )
A．用全部 9 块纸板 B．拿掉 1 块 型纸板
C．拿掉 1 块 B 型纸板 D．加上 1 块 型纸板
10．（2022七下·港北期中）已知，，，则代数式的值为（ ）
A．4 B．10 C．8 D．6
11．（2024七下·温州期中）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②无论取何实数，多项式总能分解成两个一次因式积的形式；
③若，则可以取的值有2个；
④关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是．其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
12．（2023七上·大埔期中）有n个依次排列的整式：第一项是；第二项是；用第二项减去第一项，所得之差记为，将加2记为；将第二项与相加作为第三项；将加2记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论：
①；②当时，第三项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则；④第2022项为；⑤当时，；以上结论正确的是（ ）
A．①②④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．①③⑤
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．（2017七下·平谷期末）因式分解： =
14．（2025七下·诸暨期中）已知3a+1+3a=108，3b+1-3b=54，则a+b的值为 .
15．（2025七下·嘉兴期末） 若多项式 有一个因式为 ，则 a 的值为 .
16．（2024七下·东阳期末）如果一个两位正整数，（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为，若为2376，那么我们称这个数为“最美数”，则这个“最美数”为 ．
三、解答题(本大题共8小题，共72分)
17．（2025七下·德清期末） 因式分解
（1）
（2）
18．（2025七下·永康期末）从a2，2ab，b2这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解（写出两种情况）。
19．（2025七下·上城期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小长方形，且．（以上长度单位：）
（1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______
（3）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值．
20．（2025七下·柯桥月考）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法．
（1）填空：因式分解3x2﹣6x+3＝ ．
（2）【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“x2﹣y2+3x+3y”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为
x2﹣y2+3x+3y＝（x2﹣y2）+（3x+3y）＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）＝（x+y）（x﹣y+3）．
请在上述方法的启发下，分解下列因式：
①x2﹣xy+6x﹣6y；
②m2﹣n2+6m+9．
（3）【应用尝试】已知实数a，b满足2a2﹣4a+4+2ab+b2＝0，求a﹣b的值．
21．（2024七下·金东期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________；
（2）若可配方成（、为常数），则__________；
【探究问题】
（3）已知，则__________；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【拓展结论】
（5）已知实数、满足，求的最小值．
22．我们知道： 二次三项式 可以运用完全平方公式分解因式成 的形式． 若一个二次三项式 (．如 ) 不能直接写成两数和 (或差)的平方的形式，我们可以采用下面的方法分解因式：
仿照上面的方法， 将下列各式因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
23．（2024七下·南海期末）在学习《整式的乘除》时，对于整式乘法公式的验证，我们经常采用“算两次”的思想．现在有两张大小不一的正方形卡片，边长分别为a、b，小明同学通过用它们进行不同的拼接，验证了两个常见的整式乘法公式，具体拼接方法如下：
（1）若拼接方法如图1所示，阴影部分的面积可以表示为______________，还可以表示为______________，用这两次算面积的结果可以验证哪个等式？____________________________．
（2）若拼接方法如图2所示，阴影部分的面积可以表示为______________，还可以表示为______________，用这两次算面积的结果可以验证哪个等式？____________________________．
（3）拓展应用（下列两题，请任意选择一题作答即可）：
①若拼接方法如图3所示，且，则与的面积之和为______________．
②若拼接方法如图4所示，且，则与的面积之差为______________．
24．阅读下列因式分解的过程， 再回答所提出的问题：
（1） 上述因式分解的方法是 法，共应用了 次；
（2） 若分解 ，分解因式得到的结果是
（3）用上述方法分解因式： (其中 为正整数)， 所得的结果是
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 不能分解因式，错误；
B、 ，正确；
C、 不能分解因式，错误；
D、 不能分解因式，错误.
故答案为：B.
【分析】将一个多项式化成几个因式连乘积的形式叫分解因式，根据定义先判断是否是分解因式；平方差公式是：a2-b2=(a+b)(a-b)，依此分解并判断即可.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、无法因式分解，A错误；
B、，B错误；
C、， C正确；
D、， D错误.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的应用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
∵
∴
∴
∴
∴
∴b+c=2
故答案为：D.
【分析】先把等式左右两边都展开，移项，合并同类项，得到：，则：得出b+c=2
4．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1)
∴x3-x必为三个连续自然数的积
由于三个连续自然数中必有一个为偶数，
∴x3-x必为一个偶数，
∴12×13×14=2184，
故答案为：D.
【分析】首先将x3-x因式分解，转化为x(x-1)(x+1)，可推知x3-x的值是三个连续自然数的乘积，对于三个连续的自然数，最少有一个为偶数，因而x3-x的值必定是一个偶数，分析各选项，找出正确答案.
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：=；
故答案为：D.
【分析】根据提公因式的概念判断即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：(a-4)(a+5)=a2+a-20
∵多项式a2+ ma+n可因式分解为(a-4)(a+5)
∴a2+ma+n=a2+a-20
∴m=1
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，再根据对应项系数相等列出方程，求解即可得到m的值.
7．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：原式，
∴为三个连续的正整数的积，
∴可写成三个连续自然数的积，其中有因数必为偶数，也有因数必为3的倍数，
∴是一个偶数．而且是3的倍数，
选项只有B，符合条件，
又∵，
故选：B．
【分析】
代数式因式分解可得，则代数式表示三个连续正整数的积，则其中必有一个数能被3整除，即必然能被3整除．
8．【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
即：
即：
当时，；则，满足条件；
当时，；则，满足条件；
当时，；则，满足条件；
故答案为：A.
【分析】先对等式移项，再利用添项法等式左边分解因式得，此时再求满足条件的二元一次方程的特殊解即可.
9．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：A、假设用全部9块纸板拼出长方形，该长方形的面积为：2x2+4x+3，不能进行因式分解，即构不成长方形，A不符合题意；
B、假设拿掉1块A型纸板，用剩下8块纸板拼出长方形，则该长方形的面积为：x2+4x+3=（x+3）（x+1），B符合题意；
C、假设拿掉1块B型纸板，用剩下8块纸板拼出长方形，则该长方形的面积为：2x2+3x+3，不能进行因式分解，即构不成长方形，C不符合题意；
D、假设加上1块C型纸板，用10块纸板拼出长方形，则该长方形的面积为：2x2+4x+4，不能进行因式分解，即构不成长方形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】逐项进行分析，用多项式表示相应的长方体的面积，若能进行因式分解，则根据长方形的面积公式可知该操作是可行的.
10．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴a-b=m+2020-m-2021=-1，a-c=m+2020-m-2022=-2，b-c=m+2021-m-2022=-1，
∴
=
=
=
=1+4+1
=6，
故答案为：D.
【分析】根据已知条件利用整式的加减法先算出a-b，a-c及b-c的值，进而将待求式子前三项拆项后分为三组，每组利用完全平方公式分解因式，然后整体代入计算即可.
11．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；零指数幂；平行公理及推论；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：①：只有在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①不符合题意；
②：只有当时，在实数范围内可表示成的形式，故②不符合题意；
③：因为任意非零数字的0次幂等于1，所以此时；又因为1的任意次幂都等于1，所以此时，故③符合题意；
④：由题意知，，则当时，总有，因为是任意实数，则有，即有方程组，解得：，故④符合题意；
综上，③④符合题意．
故选：D．
【分析】①平行公理的前提是在同一平面内；②实数范围内无法对平方和公式进行因式分解；③注意一些特殊的乘方运算，如正负1的乘方，0次幂等；④理解题意是关键，本题突破口是先求出关于的二元一次方程的特殊解，从而得到关于的二元一次方程组，解这个方程组即可．
12．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：根据题意得：，
，
，
，
，故①正确；
……，
∴，
∴
，故⑤正确；
第一项是，
第二项是，
第三项是，
第四项是，
第五项是，
……，
第n项是，
∴第2022项为，故④错误；
∴当时，第三项的值是，故②错误；
∵第5项与第4项之差为15，
∴，
解得：，故③正确；
故选：D
【分析】根据题意求出，，，，，……，据此找出规律，继而得出，可判断①⑤；然后再求出第一项，第二项，第三项，第四项，……，由此找出规律，即得第n项是，可判断②③④．
13．【答案】2（x+3）（x﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即 =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）.
【分析】分解因式能提公因式先提公因式然后运用其他因式分解彻底即可。
14．【答案】6
【知识点】因式分解﹣提公因式法；整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：∵3a+1+3a=108，3b+1-3b=54，
∴（3+1）3a=108，(3-1)3b=54，
∴3a=27，3b=27，
解得a=3，b=3，
∴a+b=6
故答案为：6.
【分析】 逆用同底数幂的乘法将3a+1+3a，3b+1-3b转换为（3+1）3a和(3-1)3b，从而可得3a和3b的值，进而可解.
15．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：设另一个因式为(mx+k)，
则(x-1)(mx+k)
=mx2+kx-mx-k
=mx2+(k-m)x-k
=ax2-6x+3，
则-k=3，k-m=-6，
解得：k=-3，m=3，
那么a=m=3，
故答案为：3.
【分析】根据因式定理，若多项式有因式(x-1)，则当=1时多项式的值为0，代入x=1后解方程即可求出a的值.
16．【答案】57或15
【知识点】因式分解的应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
∴，
∵，x，y为自然数，
∴，，且
∴或，，
解得或，，
∵x，y为自然数，
∴或，
∴这个“最美数”是57或15．
故答案为：57或15.
【分析】根据题意得到，，根据题意得到，然后利用，求得符合条件的x、y的值即可解题．
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)利用平方差公式因式分解即可；
(2)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可.
18．【答案】解：a2±2ab=a(a±2b)，
2ab±b2=b(2a±b)，
a2±2ab+b2=(a±b)2等
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】从所给出的单项式中可发现，存在有公因式的单项式，另外，结构上也与完全平方式的项相同，因此可以从提取公因式、完全平方式等角度组成多项式并分解.
19．【答案】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为，
∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：；
（2）
（3）解：依题意得，，，
，
，
．
∵，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】（2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得，
∴
即可以因式分解为：，
故答案为：；
【分析】
（1）由平移的性质可得虚线部分长度和实则为大长方形的周长，先分别表示出大长方形的长和宽，再利用周长公式计算即可；
（2）根据图形的面积的不同的表示方法解答；
（3）变形完全平方公式，代入计算即可．
（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为，
∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：；
（2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得，
∴
即可以因式分解为：，
故答案为：；
（3）解：依题意得，，，
，
，
．
∵，
∴．
20．【答案】（1）3（x-1）2
（2）解：① x2-xy+6x-6y =x（x-y）+6（x-y）=（x+6）（x-y）；
② m2-n2+6m+9 =m2+6m+9-n2=（m+3）2-n2=（m+n+3）（m-n+3）
（3）解：∵2a2-4a+4+2ab+b2＝0，即(a2-4a+4)+(a2+2ab+b2)＝0
∴（a-2）2+（a+b）2＝0，
∴a=2，b=-2，
则a-b=2-（-2）=4.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：（1） 3x2-6x+3=3（x2-2x+1）=3（x-1）2
故答案为：（1）3（x-1）2。
【分析】本题主要考查因式分解的步骤，需要利用提公因式法、完全平方公式、平方差公式等知识。
（1）利用提公因式法，先提取公因数3，然后利用完全平方公式将x2-2x+1变为（x-1）2即可；
（2）①先提取公因数x和6，将原式变为x（x-y）+6（x-y），然后进一步计算即可；②先利用完全平方公式将m2+6m+9进行变形，然后再利用平方差公式进行分解即可；
（3）先将2a2拆分，原式变为(a2-4a+4)+(a2+2ab+b2)=0，这样可以分别利用完全平方公式进行进一步因式分解，最后求出a和b的值之后，减法计算即可。
21．【答案】解：（1）；
（2）-12；
（3）-1；
（4）当时，为“完美数”，理由如下：
，
当时，，则，为完美数；
（5）∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）；
∴，，
∴；
故答案为：-12.
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴；
故答案为：-1.
【分析】（1）分析10以内各自然数平方的尾数特征，发现2与5的平方和恰好是29；
（2）当一个二次三项式的二次项系数为1时，可把常数项表示成一次项系数一半的平方与另一个常数的和，从而把这个整式表示成一个完全平方式与常数和的形式；
（3）先把常数项5表示成1与4的和，则恰好能把等式左边表示成两个完全平方式的和，由于两个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0，可分别求出的值，则可求；
（4）由于完全平方公式的展开式是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍，可先把常数表示成的形式，则由“完美数”的概念知，S是两个完全平方式的和，则（k－13）等于0 ；
（5）由于等于，由平方式的非负性可知其有最小值1．
22．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】实数范围内分解因式；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）将前两项揍成完全平方再减去36，再用平方差公式分解因式；
（2）将前两项揍成完全平方再减去b2，再用平方差公式分解因式；
（3）将两项揍成完全平方再减去2x2，再用平方差公式分解因式.
23．【答案】（1）a2﹣b2；（a﹣b）（a+b）；a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；
（2）（a+b）2﹣2ab；a2+b2；（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
（3）①12；②12
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）阴影部分面积为：a2﹣b2，
还可以表示为：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b），
则有：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；
故答案为：a2﹣b2；（a﹣b）（a+b）；a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；
（2）阴影部分面积为：（a+b）2﹣2ab，
还可以表示为：a2+b2，
则有：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
故答案为：（a+b）2﹣2ab；a2+b2；（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
（3）①阴影部分面积为：
a2+b2﹣[a（a+b）+b2]
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2）﹣ab
＝（a+b）2﹣ab﹣ab
＝（a+b）2﹣ab，
∵a+b＝6，ab＝4，
∴原式＝×62﹣×4
＝18﹣6
＝12；
即△ABC与△ACD的面积之和为12．
故答案为：12；
②S△BEF＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）+b（a﹣b）＝，
S△ACD＝a2+b2﹣a（a﹣b）﹣a（a+b）﹣b2＝b2，
∴△BEF与△ACD的面积之差为：a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝（a+b）（a﹣b），
∵a+b＝6，a﹣b＝4，
∴原式＝×6×4
＝12．
故答案为：12．
【分析】
（1）分别用不同的方法表示出阴影部分的面积，从而可求解；
（2）分别用不同的方法表示出阴影部分的面积，从而可求解；
（3）①所求的面积可看成是两个正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和；
②分别表示出△BEF的面积，△ACD的面积，再相减得到（a+b）（a﹣b），再整体代入求值即可解答．
（1）解：阴影部分面积为：a2﹣b2，
还可以表示为：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b），
则有：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；
故答案为：a2﹣b2；（a﹣b）（a+b）；a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；
（2）解：阴影部分面积为：（a+b）2﹣2ab，
还可以表示为：a2+b2，
则有：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
故答案为：（a+b）2﹣2ab；a2+b2；（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
（3）解：①阴影部分面积为：
a2+b2﹣[a（a+b）+b2]
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2）﹣ab
＝（a+b）2﹣ab﹣ab
＝（a+b）2﹣ab，
∵a+b＝6，ab＝4，
∴原式＝×62﹣×4
＝18﹣6
＝12；
即△ABC与△ACD的面积之和为12．
故答案为：12；
②S△BEF＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）+b（a﹣b）＝，
S△ACD＝a2+b2﹣a（a﹣b）﹣a（a+b）﹣b2＝b2，
∴△BEF与△ACD的面积之差为：a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝（a+b）（a﹣b），
∵a+b＝6，a﹣b＝4，
∴原式＝×6×4
＝12．
故答案为：12．
24．【答案】（1）提取公因式；2
（2）
（3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1） 上述因式分解的方法是提取公因式法，第1次提取公因式1+x，第2次提取公因式也是1+x，共应用了2次，
故答案为：提取公因式；2．
(2)
…
=
故答案为：.
(3)
=
=[]
=[]
…
=
故答案为：.
【分析】（1）根据提取公因式法的意义解析；
（2）、（3）先将1+x用括号括起来，再提取公因式1+x，…，根据规律，写出分解因式结果.
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