第20章《勾股定理》--利用勾股定理解决与面积有关问题 同步练习（含答案）八年级数学下册人教版

第20章《勾股定理》--利用勾股定理解决与面积有关问题
一、单选题
1．已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
2．将两个大小不同的含有角的三角板和按如图所示的方式放置．已知，则四边形的面积为（ ）
A．24 B． C．48 D．
3．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．点到直线的距离是2
4．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（ ）
A． B．C． D．
5．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．24
二、填空题
6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为 ．
7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为 ．
8．了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为 ．
9．如图，在 ABC中，，以，，向外作正方形，面积依次分别记为，，，若阴影部分面积为，则的值为 ．
10．如图，在中，，，，是的平分线，若P、Q分别是和的动点，则的最小值是 ．
三、解答题
11．如图，在四边形中，，求四边形的面积．
12．如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离．
(1)判断支架，是否垂直；
(2)求点C到的距离
13．问题情境：
勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题：
(1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______；
(2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，．
①求证：
②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______．
14．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．
(1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个；
(2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系；
(3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________．
15．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点、、在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．
【问题解决】
（1）如图1，，，直角边分别为，，斜边为，证明勾股定理．
（2）如图2，，，，，，求阴影部分的面积．
【知识应用】
（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上，并新修一条路，使，现测得千米，千米，千米，则新修路的长为______千米．
参考答案
一、单选题
1．A
解：∵直角三角形的两条直角边分别为和，
∴斜边长为.
设斜边上的高为，
∵面积相等，即，
解得，
故选A．
2．A
解：含有角的三角板和，，
，，，，
设，
由勾股定理可得：，即，
解得：或（舍去），
，
四边形的面积
，
故选：A．
3．C
解：∵，，，
，
，故A，B选项的结论正确，不符合题意；
，故C选项的结论错误，符合题意；
设点到直线的距离是，则，
，故D选项的结论正确，不符合题意．
故选：C．
4．D
解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
即，
故A不符合；
，
所以，
即，
故B不符合；
，
所以，
即，
故C不符合；
图D不能推导出勾股定理，
故D符合，
故选：D．
5．B
解：如图所示，设，交于点M
∵，，，
∴，
∴，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴得，
∴
∴正方形的面积．
故选：B．
二、填空题
6．8
解：如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
根据题意可得，，，
∴，
∴正方形的面积为3，即正方形的面积是正方形的面积和，
同理，正方形的面积是正方形的面积和，即正方形的面积为，
∴同理可得，正方形的面积为，
故答案为：8．
7．
解：如图，作，
由勾股定理得，
∵，
，
解得：．
故答案为：．
8．114
解：如图，连接．在中，，
．
∵CD=17cm，，，
．
为直角三角形，且．．
故答案为：．
9．
解：∵在 ABC中，，
由勾股定理得，,
结合正方形的面积可知，即，
又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
解：如图，作，垂足为E，交于P点，过P点作，垂足为Q，如图．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是点C到直线的最短距离，
∴就是的最小值，
∵，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
三、解答题
11．解：如图，连接．
在中，，
，则．
∵AD=5,CD=5，
．
为直角三角形，且．
．
12．（1）解：，
理由：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴ ABC是直角三角形，
∴．
（2）解：如图，过C作于D，
∵，
∴，解得，
即点C到的距离为．
13．（1）解：根据勾股定理，得，
正方形E的面积是16，
同理可得，
，
正方形G的边长为5．
故答案为：16，5．
（2）①证明：∵正方形和正方形，
，，
，
在和中，
，
．
②解：正方形，正方形的面积分别为16，9，
，，，
．
由①可知：．
14．（1）解：设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，
在图1中，，，，
∵直角三角形中，，
∴；
在图2中，，，，
∵直角三角形中，，
∴；
在图3中，，，，
∵直角三角形中，，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
（2）证明：∵的边长为、面积为，
∴，
∵的边长为、面积为，
∴，
∵的边长为、面积为，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：如图，由题意得：，， ABC是直角三角形，，且，为正数，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，
设，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，即，解得：（负值已舍去），
将代入，得：，
∴，
令，则，
解得：（负值已舍去），
∴，
故答案为：．
15．（1）证明：∵，
∴∠AEB=∠DCE，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
梯形的面积为，
∴，即．
（2）解：∵，，，
由勾股定理可得，
∵，，
满足，即，
∴阴影部分的面积为．
（3）解：设千米，则千米，
∵，即，
在中，，
在中，，
∴，即，
整理可得，
解得，
∴千米，
∴（千米），
则新修路的长为1.2千米．
故答案为：1.2．