10.5用二元一次方程组解决问题 同步练习（含答案）七年级数学下册苏科版

10.5用二元一次方程组解决问题
一、单选题
1．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（ ）
A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁
2．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”若设绳尺，竿尺，请你列出符合题意的二元一次方程组应该是（ ）
A． B． C． D．
3．某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（ ）．
A．1 B．3 C．5 D．7
二、填空题
5．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组 ．
6．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为 万元．
7．小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息，你认为图④中纸杯有 个．
8．幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为 ．
x 1 y
5
三、解答题
9．从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米．
10．如图，在长方形中放入个形状大小相同的小长方形（不重叠），其中，求小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答）
11．踩高跷是中国先秦时期起源的传统民俗表演形式，汉代被纳入“百戏”，每逢春节、庙会等节庆，表演者会踩着高跷演绎民俗故事．某流派高跷有“身高半数”的传统规制（即高跷高度为表演者实际身高的一半）．在一场庙会高跷表演中，一位演员踩着符合该规制的高跷，已知脚踏处距离高跷顶端，演员踩上高跷后的总“身高”（含高跷）为，请利用二元一次方程组求出演员的实际身高以及高跷的高度．
12．某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？
13．春节临近，某干果店老板购进甲，乙两种坚果，若每次进价不变，第一次购进甲坚果袋和乙坚果袋，共花费元；第二次购进甲坚果袋和乙坚果袋，共花费元．
(1)求甲，乙两种坚果的进价分别是多少元/袋？
(2)若该干果店老板计划再用元购进甲，乙两种坚果（两种坚果都购买），只能购进整数袋，请问这次进货有哪几种方案？说明理由．
14．某学校计划采购60副乒乓球拍与盒乒乓球．调查了解的情况如下：
信息1：甲、乙两家商店中，同一品牌的每幅乒乓球拍的销售价格相同，同一品牌的每盒乒乓球的销售价格也相同．
信息2：已知每副乒乓球拍的单价比每盒乒乓球的单价多30元，且购买2副乒乓球拍的费用，恰好与购买5盒乒乓球的费用相等．
【信息运用】
（1）根据调查信息，求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别是多少？
【方案优化】
经过与甲、乙两家商店洽谈后，两商店分别给出了优惠方案：
甲商店：每购买3副乒乓球拍，就赠送2盒乒乓球；
乙商店：购买乒乓球拍和乒乓球均享受八折优惠．
（2）请用含的式子分别表示在甲、乙两商店采购所需的费用．
（3）当为何值时，在甲、乙两家商店采购所需费用相同？
15．根据情境信息，探索并完成任务：
我为车间设计招聘方案
素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装．
素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资．
问题解决
任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？
16．为完善城市功能，提升人居品质，铜仁锦江沿江步道某路段建设项目正式于年月动工．为了加快施工进度，施工方引进甲、乙两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨；用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨．
(1)求辆甲型车和辆乙型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？
(2)现有吨施工材料需要运送，计划同时租用甲型车辆，乙型车辆（每种车辆至少辆，且甲型车数量少于乙型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料，请设计出所有租车方案；
(3)若甲型车每辆需费用元/次，乙型车每辆需费用元/次，从第（2）题设计的方案中选出最省钱的租车方案，求出最少费用．
参考答案
一、单选题
1．B
解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁
由①得：
把③代入②，得
把代入③
故方程组的解为
即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁；
故选：B ．
2．B
解：设绳尺，竿尺，
由题意得，，
故选：．
3．C
解：∵按定价销售，每件获利45元，
∴.
∵按定价八折销售，每件利润为，销售8件利润为.
∵定价降低35元销售，每件利润为，销售12件利润为.
∵两者利润相同，
∴.
∴方程组为，
故选：C.
4．A
解：观察图3得，
解得，
．
故选：A．
二、填空题
5．
解：设人数为人，货物总价为钱，
由题意可列方程组．
故答案为：
6．34
解：设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元，
由题意，得方程组
解得
故甲柜台去年十二月份的营业额为万元．
故答案为：．
7．
解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯（除去增高部分）的高度为，
由题意得：，
解得：，
∴设个纸杯叠放在一起的高度为，
则，
解得：，
故答案为：．
8．20
解：∵幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，
∴由第一行和主对角线之和相等得：，
化简得：，
解得：．
由第三列和第一行之和相等得：，
代入得：，
解得：．
∴，
故答案为：．
三、解答题
9．解：设平路的长为，山路的长为．
由题意，得，
解得，
答：平路的长为，山路的长为．
10．解：设小长方形的长为，宽为，
由题意可得，
解得，
答：小长方形的长为，宽为．
11．解：设演员的实际身高为，高跷的高度为，
则，
解得，
答：演员的实际身高为，高跷的高度为．
12．解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米，
原计划120天合作施工，
故可得方程，
实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天；
乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天；
由此可得方程，
可得方程组，
化简得，
解得，
故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米．
13．（1）解：设甲坚果的进价为元/袋，乙坚果的进价为元/袋，
根据题意，得
解得
答：甲坚果的进价为元/袋，乙坚果的进价为元/袋．
（2）解：这次进货有种方案，理由如下：
设购进甲坚果袋，乙坚果袋，
根据题意，得，
整理，得，
、均为正整数，
或或
答：这次进货有种方案，分别是：
①购进甲坚果袋，乙坚果袋；
②购进甲坚果袋，乙坚果袋；
③购进甲坚果袋，乙坚果袋．
14．解：（1）设每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别为x元、y元，
由题意可得：，解得：，
答：每副乒乓球拍和每盒乒乓球的单价分别是50元和20元．
（2）甲商店采购所需的费用：；
乙商店采购所需的费用：；
（3）当，解得：．
所以当时，在甲、乙两家商店采购所需费用相同．
15．解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，
根据题意得，，
解得，
答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车；
任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，
由题意得，，
整理得，，
∵为正整数，且，
∴或，
∴工厂有种方案：
①抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元；
②抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元；
∵，
∴抽调熟练工名，招聘新工人名，此方案应付工资较低．
16．（1）解：设辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨，
依题意得：，
解得：，
答：辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨；
（2）解：由（1）可知辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨，
依题意得：，
整理得：，
，均为正整数，
解得：或或或，
又，
共有种租车方案，
方案1：租用4辆甲型车，12辆乙型车，
方案2：租用8辆甲型车，9辆乙型车；
（3）解：方案所需租金为（元），
方案所需租金为（元），
，
最省钱的租车方案是：租甲型车辆，乙型车辆，
答：租甲型车辆，乙型车辆，最少租车费是元．