19.1
二次函数
典例分析
例1
下列哪些式子表示y是x的二次函数
(1)x+y2－1=0；
②y=(x+1)(x－1)－(x－1)2；
③；
④x2+3y－2=0
思路分析：先将函数进行恒等变形,转化为用含x的代数式表示y的形式,再根据二次函数的定义进行判断.
解：①y2=－x+1,自变量x的次数不是2,y的次数不是1,所以①不是二次函数：
将②变形为y=2x－2,自变量x的次数不是2,所以②不是二次函数；
③的右边不是整式,所以③不是二次函数；
将④变形为,符合二次函数的定义,所以④是二次函数
例2
将一根长20厘米的铁丝折成一个矩形,设矩形的一边长为x厘米,矩形的面积为y平方厘米.
(1)写出y(平方厘米)与x(厘米)之间的关系式,并指出它是一个什么函数
(2)当边长x=1,2时,矩形的面积分别是多少
思路分析：(1)矩形的周长为20厘米,则长+宽=10厘米,一边长为x厘米,则另一边长为(10－x)厘米,长×宽=面积；
(2)直接把x的值代入(1)中的关系式,便能求出y的值.
解：(1)y=x(10－x)=10x－x2=－x2+10x(0(2)当x=1时,y=－x2+10x=－1+10=9(厘米2)；
当x=2时,y=－x2+10x=－4+10×2=16(厘米2).
突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：判别一个函数是否是二次函数可以从三个方面来考虑：(1)看它是否是整式,如果不是整式,则必不是二次函数；(2)当它是整式时,再看它是否是一个二次式的整式；(3)考虑其二次项系数是否为0.只有综合考虑上述三点,才可作出正确判断,当然这里的二次式应是某一个字母的二次式,而不是多个字母的二次式,如：y=x2+3xz+z2,不是y关于x、z的二次函数.
2
方法点拨：借助几何图形特征和几何计算的相关知识是解答本题的关键,通过本例还可以看出,二次函数在实际问题中是广泛存在的,因而把握二次函数的意义,可以帮助解决许多实际问题.19.1
二次函数
自主学习
主干知识
←提前预习
勤于归纳→
认真阅读教材,完成下列问题
1.一般地,我们把形如______的函数叫二次函数,其中的二次项为_______,一次项系数为______,常数项是_______.
答案：y=ax2+bx+c(a≠0)
ax2
b
c
2.函数①；②；③；④；⑤y=x(1－x)中,是二次函数的是________.(填序号)
答案：①⑤
解析：②整理后不存在二次项了，③展开后是4次函数，④不是，因为二次函数是定义在整式基础上的，只有①⑤符合二次函数的定义.
3.二次函数y=5－x2中的a=______,b=______,c=______.
答案：－1
0
5
点击思维
←温故知新
查漏补缺→
1.在二次函数的表达式中,为什么规定a≠0
答案：因为若a=0，则变为一次函数了.
2.当m的取值范围是______时,函数y=(m－2)x2+4x－5(m是常数)是二次函数.
答案：m≠2
解析：紧扣定义中的a≠0的条件.
