19.2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
自主学习
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勤于归纳→
认真阅读教材,完成下列各题
1.填空：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
a<0
y=ax2
y=ax2+c
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
y=ax2+bx+c
答案：从左向右依次为：
y=ax2：向上
向下
y轴
(0，0)
y=ax2+c：向上
向下
y轴
(0，c)
y=a(x－h)2：向上
向下
x=h
(h，0)
y=a(x－h)2+k：向上
向下
x=h
(h，k)
y=ax2+bx+c：向上
向下
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是______.
答案：一条抛物线
3.二次函数的图象可以看作是的图象向_____平移_____个单位长度,再向______平移______个单位长度而得到的.
答案：左
3
下
5
4.画函数图象的步骤是______、______、_______.
答案：列表
描点
连线
点击思维
←温故知新
查漏补缺→
1.如何根据c的大小确定抛物线与y轴的交点(0,c)与x轴的位置关系
答案：解析：c>0抛物线与y轴的交点在x轴上方；
c=0抛物线与y轴的交点是原点；
c<0抛物线与y轴的交点在x轴下方.
2.如何根据“b2－4ac的值”确定抛物线与x轴的交点个数
答案：解析：b2－4ac>0抛物线与x轴有两个不同的交点，此时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根.
b2－4ac=0抛物线与x轴有且只有一个交点，此时一元二次方程ax2+b+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.
b2－4ac<0抛物线与，轴没有交点，此时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
3.当a>0时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最______点；当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最_____点.(填“高”或“低”)
答案：低
高19.2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
典例分析
例1
已知一次函数y=ax－c的图象如图20－2－1所示,则二次函数y=ax2+c的图象大致为图20－2－2中的(
)
思路分析:由一次函数y=ax－c的图象可知a<0,c<0.由a<0可知,抛物线y=ax2+c的开口向下,由c<0可知,抛物线y=ax2+c与y轴的交点在x轴下方,且抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴,故应选D.
答案：D
例2
把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象的表达式是y=x2－3x+5,则有(
)
A.b=3.c=7
B.b=－9,c=－15
C.b=3.c=3
D.b=－9,c=21
思路分析：可把问题转化成：将抛物线y=x2－3x+5的图象向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,所得抛物线的解析式是什么 先确定抛物线的顶点坐标为,经过先向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,顶点平移到了,因此,所得抛物线的表达式为,这时b=3,c=7,故应选A.
答案：A
例3
已知二次函数.
(1)试确定函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)作出函数及的草图；
(3)根据函数图象说出抛物线与抛物线的关系.
思路分析：(1)利用配方法将化为的形式即可作出正确解答；(3)中可结合图形的形状和位置予以说明.
解：(1)∵,
∴抛物线的开口向上,对称轴为x=－6,顶点坐标为(－6,－8).
(2)在同一直角坐标系内作出及的图象,如图20－2－3所示.
(3)由图象可以看出,抛物线可看作是抛物线向左平移6个单位长度后,再向下平移8个单位长度得到的,两条抛物线的形状和大小完全相同.只是位置不同.
突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：解此类题目的关键是熟知一次函数与二次函数的图象特点,特别是理解a、b、c对抛物线形状及开口方向、位置的影响.
2
方法点拨：本题考查的是抛物线经过平移后所得表达式的变化规律,抛物线平移前后开口方向和a的值不变,解决此类题可采用逆向思维的方式.
3
方法点拨：从本例可以看出,确定一条抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标时,宜将抛物线的表达式化为y=a(x－h)2+k的形式为好.同时,由图象可以看出两条抛物线的形状和大小以及开口方向完全相同,由此我们可以反过来作一个猜想：如果两条抛物线的形状和大小及开口方向完全相同,则其表达式中y=a1x2+b1x+c1与y=a2x2+b2x+c2的a1=a2.
