19.3
二次函数的性质
典例分析
例1
已知,二次函数y=x2－5x+4的图象如图20－4－2所示,
(1)观察图象,回答：x取何值时,y值随x值的增大而增大；x取何值时,y值随x值的增大而减小
(2)如果将图中的抛物线向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,试确定所得到的抛物线的表达式.
(3)设(2)中的抛物线与x轴交于A、B两点,试在x轴下方的抛物线上确定一点P,使△PAB的面积最大.
思路分析:(1)、(2)可依据图象或已知的表达式解决；在(3)中应注意P点的可能位置,以便确定出P点坐标.
解：(1)由图20－4－2可知,抛物线的对称轴为,故当x<时,y值随着x值的增大而减小,当x>时,y值随着x值的增大而增大.
(2)二次函数y=x2－5x+4的表达式可变为,若将此抛物线向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,则所得抛物线的表达式是
,即;
(3)抛物线,与x轴的交点A(－3,0),B(2,0),所以AB=5.
∵抛物线y=x2+x－6的开口向上,故抛物线的顶点是图象的最低点,∴在x轴下方的抛物线上确定一点P,使△PAB的面积最大,需P点到x轴距离最大,此时P点只能是此抛物线的顶点了,即P点坐标为,此时△PAB的面积为：.
例2
图20－4－3所示,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB=x米,面积为S米2.
(1)求S与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为45米2的花圃,AB的长是多少米
(3)能围成面积比45米2更大的花圃吗 如果能,请求出最大面积,并说明围法；如果不能,请说明理由.
思路分析：根据长方形的面积公式建立S与x之间的函数关系式,再利用题设要求和二次函数的相关性质去进一步求解.
解：(1)∵AB=x米,∴BC=(24－3x)米,所以S=x·(24－3x)=－3x2+24x.
(2)由题意知,－3x2+24x=45,整理得x2－8x+15=0,
解得xl=3,x2=5,当x1=3时,BC=24－3×3=15>10,不合题意,舍去,当x2=5时,BC=24－3×5=9,满足题意,故AB的长为5米.
(3)能围成面积比45米2更大的花圃.
由(1)知,S=－3x2+24x=－3(x－4)2+48
∵0<24－3x≤10,∴.
由抛物线y=－3(x－4)2+48知,当x<4时,y随x的增大而增大,当x>4时,y随x的增大而减小.
∴当时,S=－3(x－4)2+48有最大值,且最大值为(米2),此时AB=米,BC=10米,即围成长为10米,宽为米的长方形ABCD花圃时,其最大面积为米2.
突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：本题是一道二次函数的图象与性质的小综合题,解这类题目的关键在于准确识图,能从图形中挖掘出有价值的信息,并借助二次函数的有关性质获得解题思路.
2
方法点拨：在确定函数S=－3(x－4)2+48的最大值时,应根据实际情况及二次函数的相关性质来综合说明,切忌不加分析而误认为当x=4时,其最大面积为48米2.理解题意,把握其几何特征,熟知一些几何图形的面积公式,建立正确的函数关系式是解这类题的关键.另外,应当注意的是,在利用数学方法求出的结论中,必须检验该结果的合理性.19.3
二次函数的性质
自主学习
主干知识
←提前预习
勤于归纳→
认真阅读教材,完成下列各题
1.抛物线y=ax2的对称轴是_____.顶点是_______；当a>0时,抛物线y=ax2的开口________顶点是它的_____点；在对称轴左侧,y随x的增大而______,在对称轴右侧,y随x的增大而_____；当a＜0时y抛物线y=ax2的开口_____,顶点是它的______点,在对称轴左侧,y随x的增大而______,在对称轴右侧,y随x的增大而______.
答案：y轴
(0，0)
向上
最低
减小
增大
向下
最高
增大
减小
2.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当a＞0时,抛物线开口______,此时有最_____值,最______值为_____；当a＜0时,抛物线开口_____,此时有最_____值,最_____值为_____对于以上两种情况,函数取得最值时,对应的x的取值均为______.
答案：向上
小
小
向下
大
大
点击思维
←温故知新
查漏补缺→
1.已知函数y=－5x2的图象上有两个点(x1,y1)、(x2,y2),若x1>x2>0,则y1与y2的大小关系为_____.
答案：y1解析：抛物线y=－5x2的对称轴是y轴，即直线x=0，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，所以，当x1>x2>0时，有y12.用长8米的铝合金材料制成如图20－4－1所示的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是(
)
A.米2
B.米2
C.米2
D.4米2
答案：C
解析：设窗框的宽为x米，则高为米，
则面积,当米时，y有最大值米2，故应选C.
