19.6
反比例函数的图象、性质和应用
典例分析
例1
图20－7－2,函数y=kx－1与在同一坐标系下的大致图象可能是(
)
思路分析：在A中,由直线过二、三、四象限知k<0,由反比例函数图象分别在第二、四象限知－k<0,∴k>0,矛盾,故A不正确.在B中,由于直线与y轴交于正半轴,这与y=kx－l矛盾,所以B不正确.在C中,由直线过第一、三、四象限知k>0,由反比例函数的图象在第一、三象限知一k>0,∴k<0,矛盾,∴C不正确.
答案：D
例2
已知点A(0,2)和点B(0,－2),点P在函数的图象上,如果△PAB的面积是6,求P点的坐标.
思路分析:由已知点A、B的坐标,可求得AB=4,再由△PAB的面积是6可知P点到y轴的距离为3,因此,可求P点的横坐标为±3,由于点P在上,故可求其纵坐标.
解：如图20－7－3所示,不妨设P点的坐标为(x0,y0),过P作PC⊥y轴于C.
∵A(0,2),B(0,－2),∴AB=4.
又∵PC=|x0|,且S△PAB=6,∴
∴|x0|=3,∴x0=±3.
又∵P(x0,y0)在的图象上,∴当x0=3时,；当x0=－3时,,
∴P点的坐标为(3,)或(－3,).
例3
为了预防“非典”,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分)成正比例,药物燃烧后,y与x成反比例(如图20－7－4所示).现测得药物8分钟燃烧完毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克,请根据题中所提供的信息,解答下列问题：
(1)药物燃烧时,y与x的函数关系式为：______,自变量x的取值范围是______,药物燃烧后y关于x的函数关系式为：______.
(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于l.6毫克时学生方可进入教室,那么从消毒开始,至少需要经过_______分钟后,学生才能回到教室；
(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效 为什么
思路分析:(1)由(8,6)在正比例函数图象上,也在反比例函数图象上,故不难求出两个函数的解析式；(2)将y=1.6代入反比例函数解析式中即可求出至少需要经过的时间；(3)将y=3分别代入两个函数的解析式中求出相应的两个x值,再求出它们的差值与10比较,若达到或超过10,则此次消毒有效,否则无效.
解：(1)
0y=(x>8)
(2)30
(3)此次消毒有效,因把y=3分别代入,求得x=4和x=16,而16－4=12>10,即空气中的含药量不低于3毫克/米3的持续时间为12分钟,大于10分钟的有效消毒时间.
突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：收集图象提供的信息,结合函数表达式的性质逐个排除,是解此类选择题较常见的方法.
2
方法点拨：通过三角形的面积建立关于x0的方程求解,同时在直角坐标系中,点到),轴的距离等于横坐标的绝对值,点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值.
3
方法点拨：此题是反比例函数与一次函数相结合的应用题,这类题充分体现了数形结合的思想,解这类题的关键是通过观察图象,确定出函数类型,然后用待定系数法确定出相关的解析式,从而进一步求解.19.6
反比例函数的图象、性质和应用
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主干知识
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勤于归纳→
认真阅读教材,完成下列各题
1.反比例函数的图象是________,当k＞0,图象的两个分支分别在______象限,在每个象限内y随x的______；当k<0时,图象的两个分支分别在_____象限,在每个象限内y随x的_____.
答案：双曲线
一、三
增大而减小
二、四
增大而增大
2.反比例函数的图象在______象限,当x＞0时,y随x的增大而_____.
答案：二、四
增大
3.点A(1,
6)在双曲线上,则k=_______.
答案：6
点击思维
←温故知新
查漏补缺→
1.对于反比例函数(k≠0,k为常数)的图象与坐标轴会有交点吗 谈谈你自己的理解.
答案：解析：不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交．实际上，因为x≠0，所以图象不可能与y轴有交点，同样，因为不论x取何值(x≠0)，y永远不为0(因后k≠0)，所以图象与x轴也不可能有交点．
2.你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题
答案：解析：(1)列表时，自变量的取值应选取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于描点；(2)列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于成图；(3)连线必须是光滑的曲线；(4)图象应是越来越靠近坐标轴，但与坐标轴不相交．
3.现有一水池,容积为50米3,如果每小时注水x米3,则经过y小时可以注满,小明画出了如图20－7－1所示的图象来表示y与x之间的函数关系,你认为正确吗
答案：解析：本题函数的关系式为，但这里是实际问题，定义域为x>0,因此只能画出第一象限的图像，所以小明画的图象不正确.
