20.1
锐角三角函数
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主干知识
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勤于归纳→
认真阅读教材,完成下列各题
1.在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的_______边与_______边的比,叫做∠A的正弦,记为_______；∠A的_______边与______边的比叫做∠A的余弦,记为______;∠A的______边与_______边的比叫做∠A的正切,记为_______.
答案：对
斜
sinA
邻
斜
cosA
对
邻
tanA
2.锐角的______、_______、_______都是锐角的函数,统称为_______.
答案：正弦
余弦
正切
锐角三角函数
3.已知：如图21－1－1所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,求图中∠A的三角函数值.
答案：.
解析：由勾股定理先求出AB=10，再根据锐角三角函数的定义去求解.
4.若,则∠A等于多少度 若,则∠B等于多少度
答案：∠A=30°，∠B=45°.
点击思维
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查漏补缺→
1.当0°<∠A<90°时,sin
A的值在什么范围内变化 cos
A,tan
A的值又在什么范围内变化
答案：00
2.在直角三角形中,当一个锐角取固定值时,它的锐角三角函数值是否也是一个固定值 与三角形的大小有关系吗
答案：是；没有关系.
3.如图21－1－2所示,AB表示靠在墙上的梯子,移动梯子,当sin
B,tan
B的值越______时,梯子越陡；当cos
B的值越_____时,梯子越陡.(填“大”或“小”)
答案：大
小20.1
锐角三角函数
典例分析
例1
如图21－l－3所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足,AD=2,BD=3.填写下列空格并回答：
(1)CD=______,AC=______,BC=______.
(2)cos
A=______,sin
A=______,sin
B=______,cos
B=______.
(3)观察上面结果,你能发现什么
思路分析：(1)观察发现Rt△ACD和Rt△CBD具有相似关系,从而可通过这两个三角形的相似比来求出CD；(2)在求sinA,cosA,sinB,cosB时应分别在Rt△ACD,Rt△ABC和Rt△BCD中用不同的直角边的比求得sinA和cosA,sinB和cosB的值,都有三种不同的求法；(3)通过观察图形和计算结果,会得出一些规律性的结论.
解：(1).
(2),,,.
(3)在△ABC中,当∠A+∠B=90°时,就有sinA=cosB,cosA=sinB.
例2
a、b、c是△ABC的三边,a、b、c满足等式(2b)2=4(c+a)(c－a),且5a－3c=0,求sinA+sinB的值.
思路分析：由等式(2b)2=4(c+a)(c－a),整理得出a、b、c三边的关系式,进而确定三角形的形状(直角三角形),由等式5a－3c=0,探求两直角边的关系,结合勾股定理表示出斜边,根据三角函数定义便可作出最后的解答.
解：由(2b)2=4(c+a)(c－a),得
b2=c2－a2,即c2=a2+b2.
∴△ABC为直角三角形,且∠C=90°,
由5a－3c=0得:,即sinA=.
设a=3k,c=5k,所以.
∴sinB=.
∴sinA+sinB=.
例3
如图21－1－4所示,△ABC中,D是AB的中点,DC⊥AC,且tan∠BCD=.求sinA,cosA,tanA的值.
思路分析：在本题题设中出现了tan∠BCD=,由于∠BCD所在的三角形并非是直角三角形,而根据三角函数的定义,应想方设法构造出一个与之相关的直角三角形,这也是常见的解题方法和规律.另外,三角形的中位线的判定及性质在本题中得到了充分地利用.
解：过点D作DE⊥CD交BC于点E.在Rt△CDE中,∵tan∠BCD=,故可设DE=k,则CD=3k.又∵CD⊥AC,DE∥AC,D为AB的中点,∴E为BC的中点,∴,
∴AC=2DE=2k,∴在Rt△ACD中,.
所以,.
突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：通过一个锐角正弦、余弦的定义确定相应函数值是解决本题的关键.要深刻领会正、余弦的定义,弄清是哪两边的比的关系.由本胚我们还可以看出,在Rt△ABC中,当∠ACB=90°时,∠A的正弦值与∠B的余弦值是相等的,∠A的余弦值又恰好是∠B的正弦值这一有趣的特征.
2
方法点拨：解题时易出现不能准确地求出相应的两个内角的三角函数的思维障碍,排除障碍的办法是：(1)先由第一个条件(等式)人手,探求三角形的形状.由等式化简可得a2+b2=c2直角三角形.
(2)结合第二个条件(等式)可得直角边与斜边间的关系,这样三边之间的倍分关系便全部明朗化,问题得解.
另外,该类题的做法一般都是通过整理已知条件,进一步明确已知条件和结论之间的关系,而使问题得解.
3
方法点拨：在解涉及三角函数方面的问题时,一般应把它放在直角三角形中去解决.若原题已知条件中没有直角三角形,应通过作辅助线构造出直角三角形,因为锐角的三角函数都是定义在直角三角形中的.
