20.4
解直角三角形
典例分析
例1
下表是小明同学填写的实习报告的部分内容：
题目
在两岸近似平行的河段上测量河流
测量目标如图21－4－1所示
测得数据
∠CAD=60°,AB=20米,∠CBD=45°,∠BDC=90°
请你根据以上的条件,计算出河宽CD(结果保留根号).
思路分析:题目中涉及了部分特殊角,把它放在相应的直角三角形中有利于解决问题.
解：设DA为x米,∴DB=DA+AB=(x+20)米.
∵∠CBD=45°,∠CDA=90°,∴DC=DB=x+20,
在Rt△CDA中,∠DAC=60°
∴tan60°=,∴,∴,,
(米).
∴DC=10(+1)+20=10+30(米).
例2
如图21－4－2所示,△ABC中,AB=1,AC=,,求BC的长.
思路分析:过点A作AD⊥BC,垂足为D,从而把原来的斜三角形转化为两个直角三角形的问题,再进一步利用边角关系式求解.
解：如图21－4－2所示,过点A作AD⊥BC,垂足为D.
,
∴.
在Rt△ACD中,
∴
突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拔：在解决涉及特殊角的三角形问题时,一般把特殊角放在相应的直角三角形中,再根据相关的两锐角之间的关系,三边之间的关系或边角之间的关系进一步解出答案.另外,在选择边角关系式时可遵循“有斜选弦,无斜选切”的策略,即已知条件中若涉及斜边的问题,可从正余弦方面考虑求解,若已知条件中未涉及斜边,可从正、余切方面考虑求解.
2
方法点拨：在非直角三角形中求一些未知元素时,我们常通过添加适当的辅助线转化为直角三角形来求解.如本题过顶点作高,将钝角三角形分解成两个直角三角形,再如,常过梯形上底两顶点作高将梯形分解成两个直角三角形和一个矩形.
另外,本题容易错误使用cosC=sinB这一结论,因为公式cosC=sinB成立的前提条件是∠B,∠C互余,而本题△ABC为一般三角形,故cosC=sinB不成立.20.4
解直角三角形
自主学习
主干知识
←提前预习
勤于归纳→
认真阅读教材,完成下列问题
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,除直角C外,其余的两个锐角和三条边之间有什么关系
(1)锐角之间的关系：_________________；
(2)三边之间的关系：_________________；
(3)边角之间的关系：_________________.
答案：(1)∠A+∠B=90°
(2)a2+b2=c2
(3),
2.根据以上直角三角形中边角之间的关系式,在Rt△ABC中,若知道a、b、c、∠A、∠B五个元素中的两个(至少有一个是边),就可求出其余的边和角,这种由已知边和角求未知边和角的过程叫______.
答案：解直角三角形
点击思维
←温故知新
查漏补缺→
举例说明,如何根据已知条件解直角三角形
答案：例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，已知a和b，求其他未知元素.
解析：由勾股定理a2+b2=c2，可求出c，在Rt△ABC中，由tanA=，可求得∠A，然后∠B=90°－∠A.
对于其他情况的已知条件，用类似的方式可求解.
