18.5 相似三角形的判定 同步练习（含答案）

18.5
相似三角形的判定
基础能力训练
◆相似三角形的判定
1.已知菱形ABCD的边长是6,点E在直线AD上,DE=3,联结BE与对角线AC相交于点M,则的值是______.
2.如图19－5－4所示,E是平行四边形ABCD的一边BA延长线上的一点,CE交AD于点F,图中共有______对相似三角形,按对应顶点写出图中的相似三角形____________________.
3.如图19－5－5所示,已知△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,则BD=_______=_______.
4.如图19－5－6所示,∠l=∠2,若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立,则这个条件可以是_______.
5.如图19－5－7所示,△ACD和△ABC具备下列哪个条件时,它们相似(
)
A.
B.
C.CB2=AD·BD
D.AC2=AD·AB
6.用—个放大镜看一个直角三角形,该直角三角形的边长放大到原来的5倍后,下列结论正确的是(
)
A.每个内角是原来的5倍
B.周长是原来的5倍
C.面积是原来的5倍
D.两条直角边的比值是原来的5倍
7.下列条件能判别△ABC～△DEF的是(
)
A.AB=4
cm,AC=3.2
cm,DE=2
cm,DF=1.6
cm,∠B=∠E=50°
B.AB=6
cm,BC=9
cm,AC=7.5
cm,DE=8
cm,EF=12
cm.DF=10
cm
C.∠A=∠D=70°,∠B=50°,∠E=60°
D.∠B=∠E=90°,
8.某班在布置新年联欢会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条,如图19－5－8所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=30
cm,AB=50
cm,依次裁下宽为1
cm的纸条a1、a2、a3、…,若使裁得的矩形纸条长度不小于5
cm,则每张直角三角形彩纸能裁成矩形纸条的条数为(
)
A.24
B.25
C.26
D.27
9.已知,如图19－5－9,Rt△∠ABC和Rt△A′B′C′中∠C=∠C′=90°,.△ABC与△A′B′C′是否相似,并说明理由.
10.如图19－5－10所示,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠1=∠2,∠3=∠4,指出图中哪些三角形相似,并说明理由.
11.如图19－5－11所示,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形.(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时,△ACP~△PDB (2)当△ACP～△PDB时,求∠APB.
12.如图19－5－12所示,在△ABC中,AH是BC边上的高,四边形DEFG是△ABC的内接矩形,DG交AH于点I,则图中相似的三角形共有多少对 分别表示出来.
13.如果两个三角形中有两边和其中一边上的高对应成比例,则这两个三角形相似吗
综合创新训练
◆创新训练
14.已知：如图19－5－13,在平面直角坐标系中,矩形AOBC有两个顶点的坐标分别是A(0,6),C(8,6),x轴的正半轴上有一动点E(E与B不重合),作直线AE交对角线OC于D,或AE与BC相交于点F.
当点E在O、B间运动到某些位置时,作直线AE后,图中会出现相似不全等的三角形,请你把这个相似三角形写出来：_______；当E点运动到B点的右边时,请你写出此时图中三对相似而不全等的三角形：__________________.
15.如图19－5－14所示,在△ABC中,AB=8
am,BC=16
cm,点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4
cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒钟△PBQ与原△ABC相似
16.一个圆柱形油桶,半径为1米,高为1.5米,用一根2米长的木棒从桶盖小口斜插桶内,另一端在小口处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,试求：
(1)油面的高度是多少
(2)桶内有油多少升 (1立方分米=1升,取3.14,取后结果精确到1升)
◆开放探索
17.如图19－5－15,在△ABC中,∠C=90°,P为AB上一点且点不与点A重合.过点P作PE⊥AB交AC边于E,点E不与点C重合.若AB=10,AC=8,设AP的长为x,四边形PECB的周长为y,试用x的代数式表示y.
参考答案
1答案：2或
解析：当点E在线段AD上时，如图(1)，因为AB∥CD，所以△ABE～△DFE.所以，故DF=6.又因为△AMB～△CMF，所以.
当点E在线段AD的延长线上时，如图(2)，容易得到△BCM～△EAM，
∴.
2答案：3
△EAF～△EBC，△EAF～△CDF，△EBC～△CDF
3答案：BC
AD
4答案：∠B=∠D，或∠C=∠AED，或AD：AB=AE：AC
解析：本题实质就是构造使△ADE与△ABC相似的条件.
5答案：D
解析：由AC2=AD·AB可得.又∠A=∠A，所以△ACD～△ABC.
6答案：B
7答案：B
解析：因为，三边对应成比例，所以两三角形相似.
8答案：C
解析：设第n条的长度恰好为5cm，且该矩形纸条与AC的交点为P点，与AB的交点为Q点，则PQ=5cm，设AP=x
cm，则△APQ～△ACB,得，即，解得：x=3.75，
∴CP=30－x=26.25.∵矩形宽为1
cm，取整数，可知矩形纸条为26条.
9答案：解析：相似，理由如下：∵,∴，两边平方，得，所以，由勾股定理得，因为，均为正数，则，即，而∠C=∠C′=90°，故Rt△ABC～Rt△A'B'C'.
10答案：解析：(1)△ABO～△DCO，因为∠1=∠2，∠AOB=∠DOC，所以△ABO～△DCO.
(2)△AOD～△BOC，由(1)知△ABO～△DCO，则.又因为∠AOD=∠BOC，所以△AOD～△BOC.
(3)△ACD～△BCE，由(2)知△AOD～△BOC，则∠DAO=∠CBO，又因为∠3=∠4，所以△ACD～△BCE.
(4)△ABC～△DEC，因为∠3=∠4，所以∠3+∠ECO=∠4+∠ECO，即∠BCA=∠ECD.又因为∠1=∠2，所以△ABC～△DEC.
11答案：解析：(1)∵△PCD是等边三角形，∴PC=CD=PD，∠PCD=∠PDC=60°，即∠PCA=∠PDB=120°，∴只要满足，就有△ACP～△PDB，∴关系式为或CD2=AC·BD.
(2)∵△ACP～△PDB，∴∠1=∠A，∠2=∠B.又∵∠PDC=∠1+∠B=60°，∴∠1+∠2=60°，∴∠APB=∠1+∠2+∠CPD=60°+60°=120°
12答案：解析：7对，分别是△ADG～△ABC，△BDE～△BAH，△ADI～△ABH，△ADI～△DBE，△AIG～△AHC，△AIG～△GFE，△GFC～△AHC.
13答案：解析：(1)当△ABC和△A′B′C′都是锐角三角形时，可得△ABC～△A′B′C′，如图①.
(2)当两个三角形都是直角三角形时，也可得△ABC～△A'B'C'.
(3)当两个三角形都是钝角三角形时，如图②，可得△ABC～△A'B'C'.
(4)当△ABC为锐角三角形，△A′B′C′为钝角三角形.虽然两个三角形有两边和其中一边上的高对应成比例，但两个三角形不相似.如图③.
14答案：△ADC～△EDO
△ADC～△EDO，△AOD～△FCD，△BEF～△OEA，△AFC～△EAO等等
15答案：解析：分两种情况，设经过x
s△PBQ与原△ABC相似.
(1)△BPQ～△BAC，则，即得t=2s；
(2)△BQP～△BAC，则，即得t=0.8s.
∴经过0.8s或2s时，△PBQ与原△ABC相似.
16答案：(1)0.6米
(2)1
884升
17答案：解析：∵PE⊥AB，∠C=90°，∴∠EPA=∠C=90°.又∵∠A为公共角，∴△AEP~△ABC，∴.又∵∠C=90°,AB=10，AC=8，可知BC=6.
∴，∴，，，
BP=10－x，∴,
∴.
设点E与点C重合，有CP⊥AB.又∠ACB=90°，∴CA2=AP·AB，即82=10AP，解之，得，故由P点与A点不重合，点E与点C不重合知x的取值范围是0∴y与x之间的关系式为:.