20.1 锐角三角函数 同步练习（含答案）

20.1
锐角三角函数
基础能力训练
◆锐角三角函数定义
1.如图21－1－5所示,在Rt△ABC中,tanA=_______,tanB=______,tanA·tanB=_______.
2.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,则sinA=_______,cosA=______,tanA=______.
3.已知∠A+∠B=90°,且cosA=,则cosB的值为_____.
4.sin30°+sin45°=_____.
5.在△ABC中,∠C=90°,若3AC=BC,则cosB=_____.
6.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=80
cm,tanB=,则AB=______.
7.在Rt△ABC中,将各边都扩大3倍,锐角的正弦、余
弦、正切(
)
A.没有变化
B.都大3倍
C.都缩小3倍
D.不能确定
8.在Rt△ABC中,斜边AB是直角边BC的5倍,下列各式正确的是(
)
A.sinB=
B.cosB=
C.tanB=
D.tanA=
9.在△ABC中,∠C=90°,如果tanA=,那么sinB等于(
)
A.
B.
C.
D.
10.如图21－1－6所示,在△ABC中,∠C=90°,如果BC>AC.那么cosA与cosB的大小关系是(
)
A.cosAB.cosA=cosB
C.cosA>cosB
D.不能确定
11.如图21－1－7所示,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,下列不表示tanA的值的是(
)
A.
B.
C.
D.
12.如图21－1－8所示,在Rt△ABC中,∠A为锐角,sinA=.求cosA,tanA的值.
13.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,比较sinA+cosA与1的大小.
14.△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,且a=5,b=11,C=12,则∠A的正弦值、正切值分别是,,你认为对吗 请写出完整的解题过程.
15.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果tanA=,BC=10,求AC,AB的长及三角形面积.
16.如图21－1－9所示,在△ABC中,∠C=90°,D是AC边上的一点,且AD=DB=5,CD=3,求tan∠CBD和sinA.
综合创新训练
◆创新应用
17.青岛位于北纬36°30′,通过计算可以求得：在冬至日正午时的太阳入射角为30°30′.因此,在规划建设楼高为20米的小区时,两楼间的距离最小约为_____米,才能保证不挡光.(结果保留四个有效数字)(提示：sin30°30′=0.507
5,tan30°30′=0.5890)
18.交通宾馆在重新装修后,准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯,如果主楼梯的坡度(直角三角形中某一锐角的对边与邻边的比值,即为该角的正切值)为1:,且楼梯的竖直高度为3米,若所铺设的地毯每平方米售价为30元,主楼梯的宽度为2米,如图21－1－11所示,则购买地毯至少需要多少元钱
19.如图21－1－12(1),由直角三角形边角关系,可将三角形面积公式变形,得①,即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半,如图21－1－12(2)所示,在△ABC中,CD⊥AB于D,∠ACD=α,∠DCB=β,∵S△ABC=S△ADC+S△BDC②,你能利用直角三角形中的边角关系,消去②中的AC、BC、CD吗 如果不能,说明理由；如果能,写出解决过程.
参考答案
1答案：或
或
1
2答案：
解析：由勾股定理先求得AB=13，再根据三角函数的定义解答.
3答案：
解析：可把∠A、∠B放在如图所示的直角三角形中，由题意可设AC=k，则AB=5k，由勾股定理可得，所以.
4答案：
5答案：
解析：由条件不妨设，则BE=3k，故，于是.
6答案：100cm
解析：设AC=3a，由tanB=，故CB=4a=80cm，故a=20cm，从而AC=60
cm，故AB=100
cm.
7答案：A
8答案：B
9答案：B
10答案：A
解析：在△ABC中，∠C=90°，，,因为BC>AC，所以.即cosA11答案：D
12答案：解析：设BC=8k，则AB=17k，由勾股定理可得AC=15k.由定义可进一步求得,.
13答案：解析：由三角函数的定义可知:,,所以sinA+cosA，由三角形的三边关系定理可知，所以.
14答案：解析：不对，因为△ABC不是直角三角形，而三角函数是定义在直角三角形中的.
正确解法：
过点C作CD⊥AB，垂足为D.
设AD=x，则DB=12－x，在Rt△ADC中，CD2=AC2－AD2=112－x2；在Rt△CDB中，CD2=CB2－DB2=52－(12－x)2，所以112－x2=52－(12－x)2.
解得：x=10，所以.
所以.
15答案：AC=15，AB=，面积是75.
16答案：tan∠CBD=，sinA=
17答案：33.96
解析：该实际问题可转化为直角三角形的问题，即在直角△ABC中，∠C=90°，tan30°30′=，把AC=20，tan30°30′=0.589
0代入，进一步可求得BC≈33.96米.
18答案：解析：由题意知：，又BC=3米，
所以AB=米≈5.2米.
故AB+BC=3+5.2=8.2(米).
则购买地毯所需钱数至少为30×8.2×2=492(元).
19答案：解析：把AC·BC·sin(α+β)=AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ，两边同除以AC·BC得：
sin(α+β)=,
∵,
∴.