20.2 30°、45°、60°角的三角函数值 同步练习（含答案）

20.2
30°、45°、60°角的三角函数值
基础能力训练
◆30°、45°、60°角的三角函化值
1.计算：(1)sin230°+cos260°=_____,(2)cos260°+sin260°+tan45°=_____.
2.若tan(90°－A)=,则∠A=_____.
3.在Rt△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,∠C=90°,3a=b,则sinA=_____.
4.在锐角△ABC中,若,则∠C的度数为_____.
5.在△ABC中,如果∠C=90°,∠A=45°,那么tanA+sinB=_____；△ABC为_____对称图形(填“轴”或“中心”).
6.若cos(45°+∠A)=,则sin(45°－∠A)=______.
7.用“<”号联结sin40°,sin41°,cos43°,cos44°是______.
8.下列计算错误的是(
)
A.sin60°－sin30°=sin30°
B.
C.sin245°+cos245°=1
D.sin53°=cos37°
9.已知α为锐角,且,则α的度数为(
)
A.30°
B.60°
C.45°
D.75°
10.已知∠A为锐角,若sinA=,那么(
)
A.0°B.30°C.45°D.60°11.计算：
(1).
(2)tan30°·tan60°+cos230°－sin245°·tan45°.
(3).
12.如图21－2－3所示,在△ABC中,已知,∠B=60°,∠C=45°,求AB的长.
综合创新训练
◆创新应用
13.一个单摆的摆长为120
cm,摆角恰好为30°,且两边的摆动角相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置的高度之差.
14.如图21－2－4所示,一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群,在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向,40分钟后,渔船行至B处,此时看见小岛C在船的北偏东30°方向,已知以小岛C为中心周围10海里以内为某军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区的可能.
◆开放探索
15.要求tan30°的值,可通过构造如图21－2－5所示的直角三角形进行计算:作Rt△ABC,使∠C=90°,斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC=,∠ABC=30°,
∴,在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,可求出tan15°的值,请简要写出你添加的辅助线,并求出tan15°的值.
16.如图21－2－6所示,由于水资源缺乏,B、C两地不得不从黄河上的供水站A处引水,这就需要在A、B、C之间铺设地下输水管道,有人设计了三种铺设方案,如图(a)(b)(c),图中实线表示管道铺设路线,在图(b)中AD上BC于D,在图(c)中,OA=OB=OC,为了减少渗漏,节约水资源,并降低工程造价,铺设路线应尽量缩短.已知△ABC是等边三角形,其边长为a,请你通过计算,判断哪个铺设方案最好.
参考答案
1答案：(1)
(2)2
2答案：30°
3答案：
4答案：75°
解析：由题意知：，得，所以∠A=60°，同理由得∠B=45°，所以∠C=180°－(∠A+∠B)=180°－(60°+45°)=75°.
5答案：
轴
解析：∵∠C=90°,∠A=45°,∴∠B=45°,故tanA+sinB=tan45°+sin45°=；又△ABC为等腰直角三角形，故其为轴对称图形.
6答案：
解析：由cos(45°+∠A)=可得45°+∠A=60°，得∠A=15°，代入sin(45°－∠A)=sin30°=.
7答案：sin40°8答案：A
9答案：B
解析：由已知条件可得：tan(90°－α)=，所以90°－α=30°，解得α=60°.
10答案：C
解析：sin45°≈0.707，sin60°≈0.866，0.707<<0.866，
而在0°和90°之间，正弦值随着角度的增大而增大，所以45°11答案：(1)l
(2)
(3)
12答案：解析：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，在Rt△ADC中，
∵∠C=45°，∴∠DAC=∠C=45°，∴AD=CD=x.又在Rt△ADB中，∠B=60°，
∴BD=，,
∴BD+DC=,∴,∴.
13答案：(120－60)cm
14答案：解析：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，设CD=x(海里).如图所示，由题意，在Rt△BDC中，∵∠CBD=60°，∴BD=，又,
∴在Rt△ADC中，∠CAD=30°，∴tan30°=，解得(海里).
∵>10，
∴渔船继续向东追赶鱼群，不会进入危险区域.
15答案：解析：延长CB到D，使BD=AB=2,联结AD，那么AD=15°，
tan15°=.
16答案：解析：由(a)方案可知，铺设管道长为2a；由(b)方案可知,∠ABD=60°,∠ADB=90°，∴tan∠ABD=,∴AD,
故铺设管道长为;由(c)方案可知，过O作OD⊥BC于点D，∴BD=，∠ODB=90°，由cos∠OBD=,
∴OB=，故OA+OB+OC=≈1.732a，通过比较可以得出，选用(c)铺设方案最好.