20.4 解直角三角形 同步练习（含答案）

20.4
解直角三角形
基础能力训练
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若,那么tanB等于______.
2.已知直角三角形的两条直角边的比为3:7,则最小角的正弦值是_______.
3.在Rt△ABC中,∠C
=90°,tanA=3,AC=10,则S△ABC=_______.
4.在Rt△ABC中,
∠C
=90°,tanA=,则sinB等于______.
5.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=1,则tanA=______.
6.已知△ABC中∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a：b：c=3：4：5,则sinB=____,tanA____.
7.如图21－4－3所示,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为(
)
A.
B.
C.
D.1
8.△ABC中,∠A、∠B为锐角,且有|tanB－|+(2sinA－)2=0,则△ABC的形状是(
)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且c=287.4,∠B=42°6′,求a、b.
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=25.64,b=32.48,求c,∠A.
11.根据下列条件解直角三角形：
(1)AB=10,∠C=90°,∠A=30°；
(2)BC=15,∠C=90°,∠B=45°.
12.如图21－4－4所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°,AD=,
BC=,求DC的长.
综合创新训练
◆创新应用
13.新华中学打算把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园,如图21－4－5所示,∠ACB=90°,BC=60米,∠A=36°.
(1)若入口E在边AB上,且与A、B等距离,请你在图中画出入口E到C点的最短路线,并求出最短路线CE的长(精确到1米).
(2)若线段CD是一条水渠,并且D点在边AB上,已知水渠造价为50元/米,求水渠路线应如何设计才能使造价最低 请你画出水渠路线,并求出最低造价.(参考数据：sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)
14.“金升实验学校”有一块三角形形状的花圃。ABC,现可直接测得∠A=30°,AC=40米,BC=25米,请你求出这块花圃的面积
◆开放探索
15.某片草坪的形状如图21－4－6所示,其中∠A=60°,AB⊥BC,AD⊥CD,AB=200米,CD=100米,求AD、BC的长.(精确到1米,)
参考答案
1答案：
2答案：
3答案：150
解析：因为AC=10，tanA=3，所以CB=10tanA=10×3=30，所以S△ABC=AC·BC
=×10×30=150.
4答案：
5答案：1
解析：由题意可判断△ABC为等腰直角三角形，所以∠A=∠B=45°，所以tanA=tan45°=1.
6答案：
解析：由a：b：c=3：4：5，可判断△ABC为直角三角形，再进一步利用边角关系求解.
7答案：A
8答案：C
解析：由题意可得：,所以,∠B=60°，，得，所以∠A=60°，所以∠C=180°－∠A－∠B=60°，所以△ABC为等边三角形.
9答案：a≈213.2，b≈192.7
10答案：c≈41.38，∠A=38°17′
11答案：(1)∠B=60°BC=5，AC=
(2)∠A=45°，AC=BC=15，AB=
12答案：解析：过点D作DF∥AB，分别交AC、BC于点E、F.
∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90°，∵AD∥BC，
∴∠DAE=180°－∠B－∠BAC=45°.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°BC=,
∴AC=BC·sin45°=.
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=∴DE=AE=1，∴CE=AC－AE=3，在Rt△DEC中，∠CED=90°，
∴.
13答案：解析：(1)取AB的中点E，联结CE，CE的长即为E点到C点的最短距离，则(米)，
(2)水渠CD应与AB垂直，造价为：
50·BC·cos36°≈2430(元).
14答案：解析：分两种情况计算：
(1)如图①，过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=40，
∴CD=20，AD=AC·cos30°=，在Rt△CDB中，CD=20，CB=25，
∴,
∴S△ABC=AB·CD=(AD+BD)·CD=(米2).
(2)如图②，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，由(1)可得CD=20，AD=，BD=15，
∴S△ABC=AB·CD=(AD－BD)·CD(米2)
15答案：解析：延长AD，交BC的延长线于点E，在Rt△ABE中，由AB=200，∠A=60°，得BE=AB·tanA=..
在Rt△CDE中,∵CD=100,∠CED=90°－∠A=30°,得CE=2CD=200,
,∴AD=AE－DE=400－≈227(米)，BC=BE－CE=－200≈146(米).