21.4 圆周角 同步练习（含答案）

21.4
圆周角
基础能力训练
1.如图22－4－6,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC、BD相交于点E,则图中相似三角形有(
)
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
2.如图22－4－7,AB、AC是⊙O的两条弦,延长CA到D,使AD=AB.若∠D=20°,则∠BOC=(
)
A.20°
B.40°
C.80°
D.120°
3.如图22－4－8,B、C、D是⊙A上三点,∠DAC=3∠CAB.则的值等于(
)
A.3
B.6
C.
D.12
4.如图22－4－9,已知AB为⊙O的直径,弦AD、BC的延长线相交于点P,若∠P=60°,则(
)
A.
B.
C.
D.
5.如图22－4－10,已知AB是半圆O的直径,∠BAC=32°,D是的中点,那么∠DAC的度数是(
)
A.25°
B.29°
C.30°
D.32°
6.已知⊙O的半径为6
cm,⊙O的一条弦AB的长为cm,则弦AB所对的圆周角是(
)
A.30°
B.60°
C.30°或150°
D.60°或120°
7.如图22－4－11,A、B、C为⊙O上的点,AD⊥BC于D,AE为⊙O的直径,若AB=3,AC=5,AD=2.5,则AE=______.
8.若圆周角所对的弦长为,则此圆的半径r为______.
9.如图22－4－12,A、B、C为⊙O上三点,如果∠OAB=46°,则∠ACB=______.
10.如图22－4－13,A、B、C、D都是圆上的点,且AB=BC=CD,若∠COD=46°,则∠ADO=______.
11.如图22－4－14,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,联结AC交⊙O于点F,试判断AB与AC的大小有什么关系 为什么 (至少用两种方法完成本题)
12.如图22－4－15,∠ABC的三个顶点在⊙O上,D是⊙O上一点,联结BD、CD,AC与BD相交于点E.
(1)找出图中的相似三角形,并加以证明；
(2)若∠D=45°,BC=2,求⊙O的面积.
综合创新训练
◆创新应用
13.已知如图22－4－16,A、B、C三点在⊙O上,AB=AC,D是BC边上的一点,E是直线AD与圆的交点.
(1)试说明：AB2=AD·AE.
(2)当D为BC延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗 如果成立,请证明；不成立,请说明理由.
14.如图22－4－17,AB为⊙O的直径,D为的中点,联结BC,交AD于E,DG⊥AB交AB于G.
(1)试证明：BD2=AD·DE.
(2)如果,DG=6,求加的长.
◆开放探索
15.如图22－4－18,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD上AB于D,联结OC,CE平分∠DCO,交⊙O于E,联结OE.
(1)请判断OE与AB的位置关系.
(2)当C在上运动时,其他条件不变,试问OE与AB的位置关系是否变化
16.如图22－4－19所示,BC是⊙O的直径,点A在圆上,且AB=AC=4,P为AB上一点,过点P作PE⊥AB,分别交BC、OA于点E、F.
(1)设AP=l,求△OEF的面积；
(2)设AP=a(0①若S1=S2,求a的值；
②若S=S1+S2,是否存在一个实数a,使S< 争若存在'求出一个a的值.若不存在,说明理由.
参考答案
1答案：B
2答案：C
解析：∵∠D=20°，AB=AD，∴∠ABD=∠D=20°，∴∠CAB=∠D+∠ABD=40°，∴∠BOC=2∠BAC=80°.
3答案：A
4答案：A
解析：联结BD，则∠BDP=90°，∴cosP=，∵∠P=60°，∴.
5答案：B
解析：联结OC、OD，∵∠BAC=32°，∴∠BOC=64°，
∴∠AOC=180°－64°=116°，∵D是的中点，
∴∠DOC=116°÷2=58°,∴∠DAC==29°.
6答案：D
解析：求圆周角，我们可以画特殊位置的圆周角，如图，由AB=，AC=12，∠B=90°，可得∠C=60°.
又由同一条弦所对的圆周角有两个，∠D也是AB弦所对的圆周角，且∠D=180°－60°=120°，故答案选择D.
7答案：6
解析：联结CE，则∠ACE=90°.又由∠B=∠E，
∴△ABD∽△AEC，∴,
∴,∴AE=6.
8答案：
解析：如图，，
∴,∴.
9答案：44°
解析：联结OB得∠AOB=180°－46°－46°=88°，所以∠ACB=44°.
10答案：21°
解析：法一：由AB=BC=CD，所以，又由∠COD=46°，所以的度数为46°，所以的度数为2×46°=92°.所以∠ADC=46°，又由上COD=46°，所以∠CDO=67°，所以∠ADO=∠CDO－∠ADC=67°－46°=21°.
法二：延长DO与⊙O交于点E，则的度数为180°－3×46°=42°，所以∠ADO==21°.
11答案：解析：AB=AC
证法一：如图①，联结OD，
∵O为AB的中点，D为BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠C=∠ODB，
又∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC
证法二：如图②，联结AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵BD=DC，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC，
∴AB=AC.
12答案：解析：(1)△ABE∽△DCE.
证明：∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等)
∠ABD=∠DCA(同一段弧所对的圆周角相等)，
∴△ABE∽△DCE.
(2)如图，联结CO并延长与⊙O相交于点F，联结BF，
则CF为⊙O的直径，
∴∠FBC=90°，
又∵∠F=∠D=45°，
∴△FBC为等腰直角三角形.
又∵BC=2，∴FC=，
∴⊙O的半径为，
∴S⊙O=2π.
13答案：解析：(1)如图①联结BE，
∵AB=AC，
∴,
∴∠B=∠E.
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴,
即AB2=AD·AE.
(2)第(1)题的结论仍然成立.
证明：如图②联结BE、EC
则∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠4=∠ABC－∠2，
∴∠3=∠ABC－∠1.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠5=∠ACB－∠1，
∴∠3=∠5.
又∵∠1=∠1，
∴△ACE∽△ADC，
∴,
∴AC2=AD·AE，
即AB2=AD·AE.
14答案：(1)证明：∵D为的中点，∴.
∴∠CBD=∠DAB.
又∵∠ADB=BDE，∴△ADB∽△BDE，
∴，即BD2=AD·DE.
(2)解：∵DG⊥AB，∴△ADG为直角三角形.
又∵tanA=，DG=6，tanA=，
∴AG=8，∴AD=10.
又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴在Rt△ADB中有tanA=，
∴BD=，
又由(1)知BD2=AD·DE，
∴DE=.
15答案：解析：(1)OE⊥AB，理由如下：
∵CE为上∠DCO的角平分线，
∴∠DCE=∠ECO.
又∵OC=OE，
∴∠ECO=∠CEO，
∴∠DCE=∠CEO，
∴CD∥OE.
又∵CD⊥AB，
∴OE⊥AB，
(2)不变化.
16答案：解析：(1)∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，∵OA=OB=OC，∴∠B=∠l=45°.
∵PE⊥AB，∴∠2=∠1=45°，∴∠4=∠3=45°.
则△OEF与△OAB均为等腰直角三角形.
∵AP=1，AB=4，∴AF=，OA=.
∴OE=OF=.∴△OEF的面积为OE·OF=1.
(2)①∵PF=AP=a，∴，且AF=，∴OE=OF=，
∴.
∵，∴,.
∵0②
.
当时，S取得最小值.∵，∴不存在这样的实数a，使.