18.4
相似多边形
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主干知识
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勤于归纳→
认真阅读教材,完成下列各题
1.举几个实际生活中形状相同,大小不一定相同的图形的实例.
答案：如：同一底片洗出的不同尺寸的照片中人物的形状相同,只是大小不同；乒乓球和足球的形状相同,只是大小不同；大小五角星的形状相同,大小不同等等.
2.像这样,______、______的两个多边形叫做相似多边形,相似多边形______叫相似比.
答案：对应角相等
对应边成比例
对应边的比
3.若△ABC与△A'B'C'相似,记作：_______,读作：_______.
答案：△ABC~△A′B′C′
△ABC相似于△A′B′C′
4.若△ABC与△A'B'C',的相似比为2：3,则△A'B'C'与△ABC的相似比为_____.
答案：3：2
解析：两个图形的相似比具有顺序性.
5.如图19－4－1所示,若△ABC～△ADB,则∠ACB=_____,∠A=_____,∠ABC=_______.
答案：∠ABD
∠A
∠D
6.如图19－4－2所示的两个矩形相似吗 若相似,相似比为多少
答案：相似
相似比是3：2.
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查漏补缺→
1.如图19－4－3所示,一块长3米,宽l.5米的矩形黑板,镶在其外围的木质边框宽为7.5厘米,边框的内外边缘所构成的矩形相似吗 为什么
答案：不相似,因为3：1.5=2：1,而(3+0.075×2)：(1.5+0.075×2)=21：11,故对应边不成比例,所以不相似.
2.全等三角形和相似三角形之间有什么关系
答案：全等三角形是特殊的相似三角形,其相似比为1.
3.由相似多边形的定义,我们可以得出相似多边形的哪些性质
答案：相似多边形的对应角相等,对应边成比例.
4.所有的正五边形都相似吗 两个正n边形呢 请说明理由.
答案：相似
相似
因为它们彼此的对应角相等,对应边成比例,前者的对应角为108°,后者的对应角为.18.4
相似多边形
典例分析
例1
下列每组图形形状相同,它们的对应角有怎样的关系 对应边呢
(1)正△ABC与正△DEF；
(2)正方形ABCD与正方形EFGH.
思路分析：相似多边形的本质特征有两点：一是对应角相等；二是对应边成比例,本题可紧扣这两点解答,对于第(1)小题每个对应角均为60°,对于第(2)小题每个对应角均为90°,当然这两组图形的对应边也均成比例.
解：(1)由于正三角形每个角都等于60°,所以∠A=∠D=60°,∠B=∠E=60°,∠C=∠F=60°；由于正三角形三边相等,所以.
(2)由于正方形的每个角都是直角,所以∠A=∠E=90°,∠B=∠F=90°,∠C=∠G=90°,∠D=∠H
=90°；由于正方形四边相等,所以.
例2
写出下列各组相似三角形对应边的比例式.
(1)在图19－4－4①中,已知：△ADE～△ABC,且AD与AB是对应边.
(2)在图19－4－4②中,已知：△ABC～△AED,∠B=∠AED.
思路分析：要写出两个相似三角形的对应边的比例式,首先要确定两个相似三角形的对应边.因为相似三角形是全等三角形的推广,所以要确定两个相似三角形的各组对应边,可以参照确定全等三角形对应边的方法,从确定这两个相似三角形对应的顶点出发.
解：(1)已知△ADE～△ABC,且AD和AB是对应边,它们所对的顶点E和C为对应点,而A是两个三角形的公共顶点,∠BAC为公共角,所以两个三角形另外两组对应边为DE和,BC,EA和CA,得.
(2)已知△ABC～△AED,且∠B=∠AED,A为公共顶点,另一对对应顶点为D和C,三组对应边分别是AD和AC,AE和AB,DE和CB,得.
例3
如图19－4－5所示,Rt△ABC与Rt△CBD相似,AB=4,AC=3,试求CD的长.
思路分析：本题可依据相似三角形的定义去求解,即若两个三角形相似,则对应角相等,对应边成比例；不过本题解答时注意Rt△ABC与Rt△CBD相似有两种情况：①△ABC～△CBD；②△ABC～△CDB.
解：在Rt△ABC中,∠A=90°,∴.
①若△ABC～△CBD,则,即,∴.
②若△ABC～△CDB,则,即,∴.
∴CD的长为或.
突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定方法,也是最本质、最重要的性质,即我们可以用定义来判定两个多边形是否相似,同时如果已知了两个多边形相似,那么这两个多边形的对应角相等,对应边成比例.
2
方法点拨：本题中涉及的两类相似三角形是相似三角形的基本图形,解题的关键仍然是找准对应点、对应边.
相似三角形常见的基本类型有：平行线型和相交线型.
(1)平行线型是由两条平行线和其他直线配合构成的两个相似三角形,它的对应元素比较明显,对应边、对应角、对应顶点有同样的顺序性,对应边平行或重合.基本图形有如图19－4－6两种情况：
(2)相交线型的对应元素不十分明显,对应顺序也不一致,对应边相交,它的基本图形也有两种,一种是有一个公共角,另一种是一组对顶角,如图19－4－7所示：
其他类型的相似多边形可分解成这两种基本类型或转化为这两种基本类型.
3
方法点拨：解决此类问题时一定要注意相似三角形中的对应元素及分类讨论的思想.在相似三角形的判定和性质的运用时,找准他们的对应点是关键.请同学们注意下面问题：当提到△ABC与△ADE相似”,这时对应顶点可以不一一对应：当提到“△ABC～△ADE”时,对应点必须一一对应.
