18.5
相似三角形的判定
典例分析
例1
如图19－5－1所示,P是Rt△ABC斜边BC上异于B,C的一点,过P点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线共有(
)
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
思路分析：依据相似三角形的判定定理,可知过BC上异于B、C的点P,只能作AB,AC,BC三边的垂线,所截得的三角形必与△ABC相似,这样的直线可作三条,故选C.
答案：C
例2
如图19－5－2所不,在两直角二角形中,∠ACB=∠ADC=90°,AC=3,AD=1,试求AB的长为多少时,这两个直角三角形相似
思路分析：由已知条件可知,Rt△ABC和Rt△ACD中,除直角顶点C,D外,另两组顶点不能确定对应关系,所以解答时应分类讨论.
(1)△ACB～△ADC
(2)△ACB～△CDA.
解：当Rt△ACB～Rt△ADC时,得,∴,∴AB=9.
当Rt△ACB～Rt△CDA时,得,在Rt△ACD中,AC=3,AD=1,
∴CD=,∴,∴.
∴当AB=9或时,两直角三角形相似.
例3
如图19－5－3所示,三角形纸片ABC,∠C=90°,AB=2BC,将纸片折叠使点A总是落在BC边上,记为点D,EF是折痕.
问：在BC边上是否存在一点D,使以D、E、F为顶点的三角形和以D、E、B为顶点的三角形相似 若存在,求出相似比；若不存在,请说明理由.
思路分析：假设存在这样的点D,使以D、E、F为顶点的三角形与以D,E,B为顶点的三角形相似.因为∠EDF=∠A=30°,∠B=60°,这时∠BDE和∠BED中必有一个等于30°.如果这两个角中有一个能等于30°,则假设成立,即这样的点D存在,否则这样的点D不存在.
解：不存在.
理由如下：在Rt△ABC中,∵AB=2BC,∴∠A=30°,∴∠B=90°－30°=60°.
因为∠EDF=30°,如果△DEF和△BDE相似,则∠BDE和∠BED必须有一个等于30°.显然,当D点与C点重合的时候∠BDE最小,此时∠BDE=60°,所以∠BDE不可能等于30°.如果∠BED=30°,那么∠BDE=90°,则∠DEF=(180°－30°)=75°,所以△DEF和△BDE不能相似.
所以,在BC边上不存在点D,使以D,E,F为顶点的三角形和以D,E,B为顶点的三角形相似.
突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：这类题的特征是,要得到某个结论,还缺少条件,需要去补充、去完善、去探究,使得结论成立,就本题而言,解答的主要依据是相似三角形的判定.
2
方法点拨：解答此类题容易出现没有分类求解而造成漏解的现象,因而在解答时应注意：(1)在两三角形相似但顶点不对应时,应注意分情况分别计算边长.
(2)分类后.注意对应边或比例式不能写错.
3
方法点拨：这类题若从正面不好论证,我们不妨从结论的反面出发,得出与已知条件或有关公理、定理相违背的矛盾,从而论证结论的正确性,这就是几何中常用的反证法.18.5
相似三角形的判定
自主学习
主干知识←提前预习
勤于归纳→
认真阅读教材,完成下列各题
1.判定两个三角形全等的主要依据有哪些
答案：主要有：边角边公理，角边角公理，角角边定理，边边边公理，若两个三角形为直角三角形，则还有“HL”定理.
2.判定两个三角形相似的主要依据有哪些
答案：主要依据有：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似.
3.平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原三角形______.
答案：相似
4.以下选项中不正确的是(
)
A.所有的等边三角形都相似
B.含30°角的直角三角形都相似
C.所有的直角三角形都相似
D.顶角相等的两等腰三角形相似
答案：C
点击思维←温故知新
查漏补缺→
1.对于说法：
①都含有80°角的两个等腰三角形相似；②都含有100°角的两个等腰三角形相似.
下列结论正确的是(
)
A.只有①对
B.只有②对
C.①、②均对
D.①、②均不对
答案：B
解析：对于①，如图所示，显然不相似.但对于②，由内角和定理知，显然100°的角只能是顶角，由判定定理可知，②是正确的.
2.一个钢筋三脚架A的三边长分别是20
cm、60
cm、50
cm,现在要做一个与其相似的钢筋三脚架B,已知三脚架B的一边长为30
cm,试确定三脚B的另外两边长.
答案：解析：设三脚架B的另外两边长分别为x
cm，y
cm.
(1)当30
cm的边长为最长边时，，解得x=10
cm，y=25
cm；
(2)当30
cm的边长为最短边时，，解得x=75
cm，y=90
cm.
(3)当30
cm的边长为另外一条边时，，解得x=12
cm，y=36
cm；
所以三脚架B的另外两边长为10
cm，25
cm，或12
cm，36
cm，或75
cm,90
cm.
