18.6
相似三角形的性质
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认真阅读教材,完成下列各题
1.若两个三角形相似,则它们的对应角_______,对应边______.
答案：相等
成比例
2.相似三角形对应高的比等于______,相似三角形的周长比等于______,面积比等于_______.
答案：相似比
相似比
相似比的平方
3.相似多边形的周长比等于________,面积比等于________.
答案：相似比
相似比的平方
4.△ABC～△A'B'C',且AB=4,BC=5,AC=7,△A'B'C'的最大边长为10.5,则它们的相似比为_______,△A'B'C'的周长为______.
答案：2：3
24
5.如果△ABC～△A'B'C'.相似比
为2：3.△ABC与△A'B'C的面积比为_______.
答案：4：9
解析：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
点击思维
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1.两个三角形相似时,它们对应角平分线的比,对应中线的比是否也等于相似比
答案：等于
2.判断正误：
(1)如果把一个三角形的三边的长同时扩大为原来的10倍,那么它的周长也扩大为原来的10倍.(
)
(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍,那么它三边的长都扩大为原来的9倍(
)
答案：(1)√
(2)×18.6
相似三角形的性质
典例分析
例1已知：如图19－6－1,矩形ABCD中,E、F、K分别是AB、CD、BC的中点,AK交EF于G,交BF于H.
求：(1)△AEG与矩形ABCD的面积比；
(2)GH：AK的值.
思路分析:(1)△AEG是直角三角形,面积为AE·EG.若设AE=a,EG=b,则△AEG的面积为,而矩形ABCD的面积为AB·BC,AB=2AE=2a,BC=2BK=4EG=4b,则可求得△AEG与矩形ABCD的面积比.
(2)由△BKH～△FGH,BK=2b,GF=3b,得.而AG=GK,因此也可以求得GH:AK的值.
解：(1)因为四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、CD的中点,所以EF∥AD,EF⊥AB.设AE=a,EG=b,则Rt△AEG的面积为,AB=2a,BK=2EG=2b,所以BC=2BK=4b,矩形ABCD的面积为8ab,所以,△AEG与矩形ABCD的面积比为l：16.
(2)FG=3b,BK=2b,而△BKH～△FGH,所以.又AG=GK,∴.
例2
如图19－6－2所示,AD是∠BAC的角平分线,它的垂直平分线EF和BC的延长线交于E,垂足是F.
请问：成立吗 说明理由.
思路分析：由表示两条线段的比的平方,这一点在相似三角形的有关性质中涉及过,因此本题可从这一点入手,通过证△ACE~△BAE,使问题得到解决.
解：联结AE.
∵EF是AD的垂直平分线,∴AE=DE,∴∠ADE=∠DAE.
∵∠2+∠3=∠DAE,∠l+∠B=∠ADE,又∵AD是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2.∴∠B=∠3.
又∵∠BEA=∠AEC,∴△ACE～△BAE.
∴又∵△ACE和△BAE是同高三角形,∴,
∴.
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：熟练掌握有关三角形、矩形的面积公式是解决本题的关键,在进行有关计算时,常用一个辅助未知数表示边长,有助于使问题简单、明朗化.
2
方法点拨：在解决三角形中有关平方的问题时,应马上联想到勾股定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方等方面的知识,然后以此人手,进一步寻找解答的途径.
