2025-2026学年辽宁省实验中学高一下期初数学试卷（扫描版，含答案）

2025-2026学年高一数学下学期期初数学
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 A x x 2 ， B x N x 2 10 ，则 A B （ ）
A． 2, 1,0,1,2,3 B． 0,1,2 C． 1,2,3 D． 1,2

2．已知向量 a m, 2 ,b 1,m 1 ，若 a 2b / / 3a 4b ，则实数m的值为（ ）
2
A． B．2 C．1或 2 D．2或 1
3
3. 总体由编号为 01，02，…，19，20 的 20 个个体组成．利用下面的随机数表选取 6 个个体，选取方法
是从随机数表第 1行的第 7个数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第 6个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A. 01 B. 02 C. 04 D. 14
4. 下列函数中，在 0, 上是增函数的是（ ）
3 1 1
A. f x x 2 B. f x x C. f x ln x D. f x x 3 x
5．已知不等式 x a x a2 1 0恒成立，则 a的取值范围为（ ）
2 3 2 3 2 3 2 3
A． , B． ,1 C． , 1, D． 1,
3 3

3 3
2 2
x 2mx m m , x≤26. 已知函数 f x 2x 1
，当 x 2时，f x 取得最小值，则m的取值范围为（ ）
, x 2
A. 1,4 B. 2,4 C. 1,2 D. 1,1
7．若函数 f 1 x 在其定义域 1,2 上单调递增，则函数 f 1 x （ ）
A．在其定义域 2, 1 上单调递增 B．在其定义域 2, 1 上单调递减
C．在其定义域 1,0 上单调递增 D．在其定义域 1,0 上单调递减
1
8．已知函数 f x 的定义域为R ，对于任意实数 x，y满足：f x y f x f y 1，当 x 0时，f x 1，
则下列结论错误的是（ ）
A． f 0 1 B． f x 1为偶函数
C． f x 2为R上的减函数 D．若 f a 6 f a 2则 a的取值范围为 3, 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知实数 a，b满足 a 0,b 0且 a 2b 1，则下列说法正确的有（ ）
b 1 b
A．若 a b，则对任意实数 c,ac2 bc2 B．若 a b，则 a 1 a
1 1
C． 的最小值是3 2 2 D． a2 4b2的最小值是 1a b
10．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的 4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，
设事件 A “第一次摸出球的标号小于3”事件 B “第二次摸出球的标号小于3 ”，事件C “第一次摸出球的
标号为奇数”，则（ ）
A．P A P B B． A与 B互为对立事件
C． B与C互斥 D． B与C相互独立
x2 2x 3, x 0
11. 已知函数 f (x) ，若 f (x) k有 3个不等实根x ， x2， x3，且 x x 2 ln x, x 0 1 1 2
x3，则（ ）

A． f (x)的单调递增区间为[ 1,0]， (0, ) B． k的取值范围是 ( 4, 3)
C． x1 x
1
2 x

3的取值范围是 2 2,
1
2 D．方程 f f x 0有 5个根
e e
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12． log2 8 2lg5 lg 4 3
log3 2 log9 3 .
x a, x 1
13．已知函数 f (x) 2 ，g(x) 3
x 1，对任意的 x1 [0,3]，总存在 x2 [0,2]，使 f x1 g x
x 2x a, x 1
2
成立，则实数 a的取值范围是 .
e2025 2m e5 ln 2
14 m,n m lnn ln(2e 2020．已知实数 满足 ) 0，则mn .
2 n
2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 x 1．（本小题满分 13分）已知集合 A x 1≤ 2 ≤8 ， B x | x a x a 1 0 ， a R .
（1）若1 B，求实数 a取值范围；
（2）若“ x B”是“ x A”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.
16．（本小题满分 15分）象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统
文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛
分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有 500名学生参加，从中随机抽取了 100名学生，记录
他们的分数，将数据分成 5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如图频率分
布直方图：
(1)根据直方图，求 a的值，并估计这次知识能力竞赛的众数和中位数；
(2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局
2
两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为 ，且各轮比赛结果相互独立.求乙最终获胜的概率.
3
17．（本小题满分 15分）已知函数 f x lg ax 2 2x 3 （ a为常数）
(1)若函数 f x 的定义域为R ，求实数 a的取值集合：
(2)当 a 0时，是否存在正整数 k，使得关于 x的不等式 2 f x 1 lg kx2 在区间 2,3 上有解 若存在，求
出 k的最大值，若不存在，请说明理由.
3
ax b 1
18．（本小题满分 17分）已知定义在 1,1 上的奇函数 f x 2 ，且 f 1 ．x 1 2
(1)求 a,b的值，判断 f x 在 1,1 上的单调性，并用定义证明；
(2)解关于实数 t的不等式 f 2t 1 f t 0
(3)若 f x m2 2km 1 对 x 1,1 ， k 1,1 恒成立，求实数m的取值范围．
2
19．（本小题满分 17分）定义在 I 上的函数 F x ，如果满足：对任意 x I，存在常数M 0，都有
M F x M 成立，则称函数 F x 是 I 上的有界函数，其中M 称为函数 F x 在 I 的上界．
(1)判断函数 f x 4 x2 在其定义域内是否属于有界函数；
x
(2) 1 m 2若函数 f x x ，且m 1，则函数 f x 在区间 0, 上是否存在上界M ，若存在，求出M 的1 m 2
取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)若函数 g x 1 ae x e 2 x在 0, 上是以 3为上界的有界函数，求实数 a的取值范围．
4
2025-2026学年高一数学下学期期初数学答案
1.【详解】由 | x |≤2得 2 x 2，所以 A { x | 2≤ x≤2}，因为 x N且 x2 10，满足条件
的自然数 x为0,1,2,3，即 B {0,1,2,3}，
所以 A B {0,1,2}，
故选：B．

2.【详解】因为 a m, 2 ,b 1,m 1 ，

所以 a 2b m 2,2m ,3a 4b 3m 4,10 4m ，

因为 a 2b / / 3a 4b ，
所以 m 2 10 4m 2m 3m 4 0，整理得m2 m 2 0，解得m 2或m 1
所以实数m的值为 2或 1
故选：D
3. C
3
4.【详解】对于选项A，函数 f x x 2 的定义域为 0, ，在定义域为单调递增函数，
则A正确；
1 1
x

对于选项B，函数 f x 在定义域 上单调递减，则 错误；
3x
R B
3
对于选项C，函数 f x ln x可以看成 y t和 t ln x的复合函数，由此可知函数
f x 在定义域 0, 上单调递减，则C错误；
1
对于选项C，函数 f x x 在区间 0,1 上单调递减，在区间 1, 上单调递增，则D
x
错误；
故选：A .
5. C
【详解】令 t x 0，
则不等式变为 t 2 at a2 1 0在 0, 上恒成立，
设 f t t 2 at a2 1 a，对称轴 t ，
2
a
0 a 0 2当 时，函数 f t 在 0, 上单调递增，最小值为 f 0 a 1 0 a 1或
2
a 1，所以 a 1；
a 2
0 a 0 f a a a a 当 时，最小值在对称轴处取得，即 a
2 1 0，解
2 2 2 2
得 a 2 3 2 3 2 3 或 a ，所以 a ，
3 3 3

, 2 3

综上，a的取值范围为 3
1, .

6. B
7．B【详解】因为函数 f 1 x 的定义域为1 x 2，所以 2 1 x 3，即函数 f x 的定义
域为 2,3 ；
对于函数 f 1 x ，由 2 1 x 3可得 2 x 1，即函数 f 1 x 的定义域为 2, 1 ，故
CD错误；
对于函数 f 1 x 在 1,2 上单调递增，由于其内层函数u 1 x为单调增函数，所以可得
f x 在 2,3 上单调递增；
对于函数 f 1 x ，由于其内层函数 v 1 x为单调减函数，所以可得 f 1 x 在 2, 1 上
单调递减.
故选：B
8. 【详解】对于 A，令 x y 0，则 f 0 2 f 0 1，所以 f 0 1，所以 A正确；
对于 B，令 y x，则 f 0 f x f x 1，所以 f x 1 f x 1 .
又因为函数 f x 的定义域为R ，所以函数 f x 1的定义域为R ，所以 f x 1是奇函数，
所以 B错误；
对于 C，设任意 x1, x2 R 且 x1 x2，则 x1 x2 0 .由题意得 f (x1 x2 ) 1，即 f x1 x2 1 0 .
因为 f (x1) f ((x1 x2 ) x2 ) f (x1 x2 ) f (x2 ) 1，
所以 f x1 f x2 f x1 x2 1 0，即 f (x1) f (x2 ) .
所以函数 f (x)为R上的减函数，所以 C正确；
对于 D，由B选项的分析可知，函数 f x 1是奇函数，由 C选项可知函数 f x 1是R上
的减函数.
若 f a 6 f a2 2，则 f a 6 1 1 f a2 2 2 f a 1 f a 1 .
所以 a 6 a2 ，即 a2 a 6 0， a 3 a 2 0，解得 3 a 2，所以 D正确.
故选：B.
9. 【解答】A：当 c 0，此时 ac2 bc2 ，错；
b 1 b ab a ab b a b
0 b 1 bB：由 a b，则 a 1 a a(a 1) a(a 1) ，即 ，对； a 1 a
C 1 1 1 1 2b a 2b a： (a 2b) 3 3 2 3 2 2 ，a b a b a b a b
当且仅当 a 2 1,b 2 2 时取等号，对；
2
1 2
D：由 a 1 2b 0，则0 b ，故 a2 4b2 1 1 8b2 4b 1 8 b ，2 4 2
1 1
当b 时， a2 4b2 取得最小值 2 ，错误；4
故选：BC
10. 【详解】事件 A：“第一次摸出球的标号小于3”，
2 1
第一次摸球时，总共有 4个球，标号小于3的是1、 2，共 2种情况，因此 P(A) ；
4 2
事件 B：“第二次摸出球的标号小于3”，
采用不放回摸两次，总基本事件数为 4 3 12种，
若第一次摸的是1或 2，第二次剩下3个球，其中小于3的有1个，情况数为 2 1 2；
若第一次摸的是3或 4，第二次剩下3个球，其中小于3的有 2个，情况数为 2 2 4；
6 1
因此事件 B的情况数为 2 4 6，故 P(B) ；
12 2
由此， P(A) P(B)
1
，选项 A正确；
2
对立事件要求“两个事件不能同时发生，且必有一个发生”即 A B为必然事件， A B ，
但存在情况：第一次摸1，第二次摸 2，此时 A和 B同时发生，因此 A与 B不是对立事件，
选项 B错误；
互斥事件要求“两个事件不能同时发生”，
事件C：“第一次摸出球的标号为奇数”，
存在情况：第一次摸1，第二次摸 2，此时 B和C同时发生，因此 B与C不是互斥事件，选
项 C错误；
相互独立的定义是 P(B C) P(B)P(C)，
6 1
事件C：第一次摸奇数，情况数为 2 3 6，因此P(C) ，
12 2
事件 B C：“第一次摸奇数，且第二次摸小于3”，
情况包括： 1, 2 、 3,1 、 3, 2 ，共3种，因此 P(B C) 3 1 ，
12 4
P(B)P(C) 1 1 1 ，满足P(B C) P(B)P(C)，因此 B与C相互独立，选项 D正确.
2 2 4
故选：AD.
11. 【详解】作函数 f x 草图如下：
由图可知： f (x)的单调递增区间为[ 1,0]， (0, )，故 A正确；
f (x) k有 3个不等实根，则 4 k 3，故 B错误；
x 1 1因为 1 x2 2，由 2 ln x 4 x e2 ；由 2 ln x 3
x .
e
1 1
所以 x3 ，所以 x1 x2 x
1
2 3的取值范围是 2 2,
1
2 ，故 C正确；
e e e e
由 x2 2x 3 0 x 3 x 1 0，且 x 0，所以 x 3；
由 2 ln x 0 x e2 .
所以，由 f t 0 t 3或 t e2 .
因为方程 f x 3有 3个不同的实根，方程 f x e2有 2个不同的实根，且两方程的根互
不相同，所以方程 f f x 0有 5个不同实根，故 D正确.
故选：ACD
3 1
12.原式 log2 2 2 2lg5 2lg 2 2 log 9 29
3 1
2 lg5 lg 2 2
2 2
3 2lg10 2 1
2 2
3
2 2 1 2．
2 2
13【详解】当0 x 1时， a x + a a +1，
当1 x 3时， x2 2x a x 1 2 a 1 a 1,a 3 ，
则 x 0,3 时， f x a 1,a 3 ；
g(x) 3x 1在 0,2 上单调递增，则 g(x) 0,8 ，
因对任意的 x1 [0,3]，总存在 x2 [0,2]，使 f x1 g x2 成立，
则 a 1,a 3 0,8 ，
则 a 1 0且 a 3 8，得1 a 5，
则实数 a的取值范围是 1, 5 .
故答案为： 1, 5
e5
14.
4
15.解：（1）若1 B，则 a 1 a 0，得 0 a 1…………………………………4分
（2）由1 2 x 1 8，得0 x 1 3，即 1 x 2，
所以 A x 1 x 2 ………………………………………………………………6分
B x x a x a 1 0 x a x a 1 …………………………………8分
因为“ x B”是“ x A”的充分不必要条件，所以 B 是 A 的真子集，
a 1
即 ”……………………………………………………………10 分
a 1 2
解得 1 a 1.…………………………………………………………………………12 分
即实数 a的取值范围是 1,1 …………………………………………………………13 分
16.【详解】（1）由频率分布直方图，[50,60)的频率为0.08,[60,70)的频率为0.12,[80,90)的
频率为 0.42， 90,100 的频率为 0.08，
所以[70,80)
0.3
的频率为1 0.08 0.12 0.42 0.08 0.30，可得a 0.030，
10
众数：最高矩形对应区间为[80,90)，中点即为众数：85
中位数：因为0.08 0.12 0.3 0.5，由频率分布直方图知中位数为 80.
（2）因为乙最终获胜，比分可能是 2 : 0， 2 :1，
设乙 2 : 0获胜为事件 A， 2 :1获胜为事件 B，
2
若乙 2 : 0 获胜，则概率为 P(A) 1
2 1
3
，
9
2 1 2
若乙 2 :1获胜，则概率为P(B) 1 2 1 4 ，3 3 3 3 3 27
7
又 A，B两个事件互斥，则乙最终获胜的概率为 P(A) P(B) ．
27
17. 【详解】（1）由题意函数 f x 的定义域为R，
则 ax2 2x 3 0对于 x R恒成立，
当 a 0时， 2x 3 0，不恒成立；
a 0
当 a 0时， ，无解；
4 12a 0
综上所述，实数 a的取值范围为 .
（2）存在； k的最大值为 2，理由如下：
当 a 0时， f x lg 2x 3 ，则 f x 1 lg 2 x 1 3 lg 2x 1 ，
则不等式 2 f x 1 lg kx2 2可化为 lg 2x 1 lg kx2 ，
则 2x 1 2 kx2，即 k 2x 1
2
在区间 2,3 上有解，
x2
2x 1
2
令 h x ， x 2,3 ，则 k h x ，
x2 max
h x 2x 1
2
4x2 4x 1 1 4 2 1 1 1 1
因为 2 2 2 4 2 ， , ，x x x x x x 3 2
可得： h x 在区间 2,3 上单调递增.
k h x h 3 25所以 max ，9
又因为 k为正整数，所以 k的最大值为 2 .
ax b
18. 【详解】（1） f x 为定义在 1,12 上的奇函数，x 1
故 f
ax b ax b
x f x ，即 2 2 ，故 ax b ax b，b 0，x 1 x 1
f 1 1 a 0 1又 ，故 2 ，解得 a 1，......................................................................................................... 2分2 1 1 2
f x 在 1,1 上单调递增，证明如下：
f x x 2 ，任取 x1, x2 1,1 ，且 x1 x2，x 1
x x x1 x22 1 x x2 1
故 f x 1 2 2 1 x2 x1 x1x2 1 1 f x2 2 x 1 x2 1 2 1 x21 1 x2 1 x2 2
，
2 1 1 x2 1
因为 x1, x2 1,1 ，且 x1 x2，所以 x2 x1 0， x1x2 1 0，

x x
2 2 f x f x 2 1
x1x2 1
又 x1 1 0， x2 1 0，所以 1 2 0 x2 1 x21 2 1 ，
故 f x1 f x2 ，所以 f x 在 1,1 上单调递增；......................................................................................5分
f x x（2） 2 为定义在 1,1 上的奇函数，x 1
f 2t 1 f t 0 f 2t 1 f t f t ，........................................................................................ 7分
1 2t 1 1
又 f x 在 1,1 上单调递增，故 1 t 1 ，解得0 t 1 ，
3
2t 1 t
故不等式 f 2t 1 f t 0 1 的解集为 0, ；............................................................................................ 10分 3
（3）令 g k 2mk m2 1 ，
2
f x m2 2km 1 对 x 1,1 ， k 1,1 恒成立，
2
故只需 f x gmax k min ，............................................................................................................................. 12分
1
其中 f x 在 1,1 上单调递增，故 f x f 1 max ，2
1
若m 0，则 g k ，满足 f x g k
2 max
min ；
若m 0， g k 2mk m2 1 在 k 1,1 上单调递减，
2
g k g 1 2m m2 1 2m m2 1 1故 min ，故 ，解得m≥ 2或m 0（舍去）；.......................15分2 2 2
若m 0， g k 2mk m2 1 在 k 1,1 上单调递增，
2
故 g k g 1 2m m2 1 2m m2 1 1，故 min ，解得m 2或m 0（舍去）；2 2 2
综上，m的取值范围是m≥ 2或m 2或m 0 .
19.
2
【详解】（1）令 y 4 x y 0 ，则 f x y ，
当 x 0 2时，函数 y 4 x y 0 的最大值为 ymax 4，
所以 y 0,4 ，即 f x 0, 2 , f x 2，所以 f x 为有界函数．.........................................................4分
2 f x 1 m 2
x 2
（ ） x 1 x ，1 m 2 m 2 1
m 1, x 0, ， y m 2x 1在 0, 上递增，
1 1
m 2 x 1 m 1， 0 x , 1 f x
1 m
，................................................................ 6分
m 2 1 m 1 1 m
m 1, 1 m 0，所以 f x 1，
1 m
f x 存在上界M ,M的范围是M 1．....................................................................................................... 8分
（3）由题意知， g x 3在 0, 上恒成立，
3 g x 3， 3 1 ae x e 2 x 3，
因此 4ex e x a 2ex e x 在 0, 上恒成立，
4ex e x a 2ex e x ，............................................................................................................ 11分
max min
设 t ex ,h t 1 1 4t , p t 2t ，由 x 0, 知 t 1，
t t
设1 t1 t2，则
t t
h t h t 2 1
4t1t2 1 t1 t2 2t1t2 1
1 2 0, p t1 p t2 0，.................................................14分t1t2 t1t2
h t 在 1, 上单调递减， p t 在 1, 上单调递增，
h t 在 1, 上的最大值为 h 1 5, p t 在 1, 上的最小值为 p 1 1，
5 a 1． a的取值范围 5,1 ．...........................................................................................................17分