人教A版高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布习题课2均值与方差的综合应用课件

(共40张PPT)
[学习目标]　1.会解决与均值、方差有关的求参问题及最值问题.　2.会利用均值、方差解决实际问题中的决策问题.　
一、利用均值与方差求参数
[例1]　已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P a b c
[反思归纳]　利用分布列的性质、均值公式及方差公式建立方程或方程组解决有关参数问题，在具体问题中密切关注参数的范围及实际意义.
1.(多选)已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P m 0.2 0.3
若随机变量Y＝aX＋b(a＞0，b∈R)，E(Y)＝10，D(Y)＝19，则下列选项正确的为(　　)
A.m＝0.5 B.a＝6
C.b＝11 D.P(Y＝16)＝0.3
ACD
解析　依题意，由分布列可得m＋0.2＋0.3＝1，解得m＝0.5，A正确；E(X)＝－1×0.5＋0×0.2＋1×0.3＝－0.2，D(X)＝[－1－(－0.2)]2×0.5＋[0－(－0.2)]2×0.2＋[1－(－0.2)]2×0.3＝0.76，因为Y＝aX＋b(a＞0，b∈R)，所以E(Y)＝aE(X)＋b＝－0.2a＋b＝10，D(Y)＝a2D(X)＝0.76a2＝19，解得a＝5，b＝11，B错误、C正确；所以随机变量Y的分布列为
Y 6 11 16
P 0.5 0.2 0.3
由分布列可知D正确.故选ACD.
二、与均值和方差有关的最值问题
[反思归纳]　处理均值与方差的最值问题，主要是利用分布列的性质、均值公式及方差公式建立函数模型，利用函数的单调性或基本不等式解决最值.
2.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0＜p＜1)，用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D(X)的最大值为________，此时p＝________.
三、利用均值与方差决策问题
(2)若将100万元全部投到其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
[反思归纳]　均值、方差在决策中的作用
1.均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.
2.方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散程度，方差越大越不稳定.
3.在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断.
3.某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元、20万元、40万元，且P(X＝20)＝0.3，期望E(X)＝30；
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元、20万元、30万元，其概率依次为0.3，0.4，0.3.
(1)请写出方案一的分布列，并求方差D(X)；
解　设P(X＝0)＝a，P(X＝40)＝b，
依题意得a＋b＋0.3＝1　①，
又E(X)＝0×a＋20×0.3＋40b＝30　②，
由①②解得a＝0.1，b＝0.6，
∴X的分布列为
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则D(X)＝(0－30)2×0.1＋(20－30)2×0.3＋(40－30)2×0.6＝180.
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由.
解　由题得Y的分布列为
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则E(Y)＝10×0.3＋20×0.4＋30×0.3＝20，
D(Y)＝(10－20)2×0.3＋(20－20)2×0.4＋(30－20)2×0.3＝60.
由E(X)＞E(Y)可知采用平台广告投放期望收益较大，又D(X)＞D(Y)，说明平台广告投放的风险较高.
综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告.
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[基础巩固]
1.已知离散型随机变量X的分布列如表所示：
D
X a a＋1 a＋2
P 0.4 0.2 0.4
则D(X)＝(　　)
A.0.4＋a B.0.8＋a
C.0.4 D.0.8
解析　由分布列可得E(X)＝0.4a＋0.2(a＋1)＋0.4(a＋2)＝a＋1，D(X)＝0.4(a－a－1)2＋0.2(a＋1－a－1)2＋0.4(a＋2－a－1)2＝0.8.故选D.
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2.已知随机变量ξ的分布列为
D
若E(ξ)＝2(m≠n)，则D(ξ)的最小值等于(　　)
A.0 B.2
C.4 D.无法计算
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3.在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为Cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)，已知X，Y的分布列如表所示，其中0＜p＜1，则Cov(X，Y)＝(　　)
A
X 1 2
P p 1－p
Y 1 2
P 1－p p
A.0 B.1 C.2 D.4
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解析　XY的分布列为
XY 1 2 4
P p(1－p) p2＋(1－p)2 p(1－p)
E(XY)＝1×p(1－p)＋2×[p2＋(1－p)2]＋4×p(1－p)＝－p2＋p＋2，E(X)＝2－p，E(Y)＝p＋1，Cov(X，Y)＝－p2＋p＋2－(2－p)(1＋p)＝0.故选A.
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A.E(ξ)随着x的增大而增大 B.E(ξ)随着x的增大而减小
C.D(ξ)随着x的增大而增大 D.D(ξ)随着x的增大而减小
BD
BC
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5.(多选)某人有10 000元全部用于投资，现有甲、乙两种股票可供选择.已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元.则下列说法正确的有(　　)
收益X元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
表1　甲每股收益的分布列
收益Y元 0 1 2
概率 0.3 0.3 0.4
表2　乙每股收益的分布列
A.甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望
B.相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥(方差小)
C.此人投资甲、乙两种股票，收益的数学期望之和为11 000元
D.此人按照1∶1的资金分配方式投资甲、乙两种股票时，收益的方差之和最小
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6.某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：
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投资甲获利(万元) 2 3 －1
概率 0.4 0.3 0.3
投资乙获利(万元) 1 4 －2
概率 0.6 0.2 0.2
那么从期望收益大小的角度考虑，他应该选择经营________种商品.
甲
解析　投资甲项目获利的期望E(甲)＝2×0.4＋3×0.3＋(－1)×0.3＝1.4(万元)，投资乙项目获利的期望E(乙)＝1×0.6＋4×0.2＋(－2)×0.2＝1(万元).因为E(甲)＞E(乙)，故他应该选择经营甲种商品.
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ξ 0 1 2
P b－a b a
8.袋中有20个除标号外完全相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.
(1)求ξ的分布列、均值和方差；
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(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值.
9. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位： ℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
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最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
解　由题意得，随机变量X的可能取值为200，300，500，
可得P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.4，
所以随机变量X的分布列为
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X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
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解　由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，
所以只需考虑200≤n≤500，
当300＜n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，
所以E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.
当200≤n≤300时，
若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，
所以E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n，
所以当n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.
A.P(X＝2)的值最大
B.P(X＝0)C.E(X)随着概率的增大而减小
D.E(X)随着概率的增大而增大
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X 0 1 2
P P－P2 1－P P2
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12.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得奖励额.商场对奖励总额的预算是30 000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.
方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；
方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成.
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B
[拓展提升]
13.某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0，1))，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则ab的最大值为(　　)
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