鲁教版（五四）数学六（下）第七章 相交线与平行线 单元测试培优卷
一、选择题
1．（2025七下·杭州月考）如图，不能判断的条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·龙港期中）如图，在所标注的角中，可以看成是一对内错角的是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠3 D．∠2 和∠4
3．（2025七下·武侯期末） 直线a，b，c，d如图所示，在下列条件中，能使的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·浦江月考）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线上，如果∠2=60°，那么∠1的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（2025七下·义乌月考）如图，点E，F分别是长方形ABCD的边AD，BC上两点，连结EF，此时∠EFB＞60°．将四边形AEFB沿EF翻折得到四边形A1EFB1，A1B1交AD于点G．继续将四边形A1EFB1沿EG翻折，点A1翻折到点A2．设∠EFB＝α，∠A2EF＝β，则α与β满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．3α﹣β＝180°
6．（2025七下·天台期末） 如图，在科学《光的反射》活动课中，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面AB延长线与地面的夹角，激光笔发出的光束DE射到平面镜后，形成反射光束EF. 由科学原理可知：，若反射光束与天花板的夹角，且，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
7．（2025七上·海曙期末）将一副直角三角板按下图所示各位置摆放，其中∠α和∠β互余的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023七下·威县期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025七下·台州期中）如图，将四边形CDFE沿AB折叠一下，如果CD//EF，∠1=130°，那么∠2是（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
10．（2025七下·慈溪期末） 下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（ ）
①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作l1∥l2.
作法：
②要求：过直线l1外一点P作这条直线的平行线l2
作法：
③要求：过直线l1外一点P作这条直线的垂线l2.
作法：
④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作l1∥l2.
作法：
A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11．（2026七上·吉林期末） 如图，直线，过点作于点，与直线相交于点，测得，则的大小为 .
12．（2025七下·东坡期中）一个锐角的补角比它的余角的2倍多，则这个锐角度数为 ．
13．（2025七下·永康期末）如图，AB是平面镜，一束平行于BC的光线ED经平面镜上的点D反射后光线落在BC上的点F处，∠1=∠2。若∠ABC=32°，则∠EDF的度数是 °。
14．（2025七下·瑞安期中）如图，将一条长方形纸条折出一个“3”，。设为度，为度，则的度数为 度。（用含x，y的代数式表示）
15．（2025七下·襄州期末）如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值 ．
三、解答题：本大题共10小题，共90分。
16．（2026七上·吉林期末） 如图，、都是直角.
（1）在图①中，判断与的关系是 （填“相等”、“互余”或“互补”）.并说明理由.
（2）当绕着点旋转到图②所示位置时，判断与的关系是怎样的？并说明理由.
17．（2025七下·杭州月考）如图，台球运动中母球击中桌边上的点，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点，再次反弹后击中球提示：，
（1）若，求的度数；
（2）已知，母球经过的路线与一定平行吗？请说明理由．
18．（2025七下·杭州期中）如图，已知，点E，G分别在AB，CD上，连结DE，BG，延长AD和BG交于点。
（1）判断AF与BC是否平行，并说明理由．
（2）若，求的度数．
19．（2025七下·义乌月考）如图，已知AC//DE，∠D+∠BAC=180°.
（1）AB与CD平行吗？请说明理由；
（2）连接CE，恰好满足CE平分∠ACD.若AB⊥BC，∠CED=35°，求∠ACB的度数.
20．（2025七下·杭州期中） 已知：如图， ， .
（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由；
（2）若DG平分 ， ，求 的度数.
21．（2025七下·龙港期中）如图，已知GF⊥AB，CD⊥AB，∠CDE和∠CGF互补.
（1）判断 DE与 BC是否平行，并说明理由；
（2）若∠CDE=36°，求∠B的度数.
22．（2025七下·成都期末） 某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数．
23．（2025七下·鄞州竞赛）如图，直线 l 分别与直线 AB，CD 相交于点 E、F，，点 P 是射线 EA 上的一个动点，点 P、E 不共点，连结 PF. 点 N 与点 E 关于直线 PF 对称. 当 时，试求出 的度数.
24．（2025七下·富顺期末）【问题情境】
如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数．
（1）按小明的思路，求出的度数；
【问题迁移】
（2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系．
25．（2025七下·金平期末） 【问题背景】
综合与实践活动课上，林老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动.
如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，.
（1）【探索发现】
如图2，林老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线AB和CD上，则 .(填写度数)
（2） 如图3，摆放两块三角板，让PQ和MN分别落在直线AB、CD上，且使直角顶点与重合（以下称为点R），求的度数；
（3）【迁移运用】
如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使AB与NR交于点E，CD与PQ交于点F，若，，请求出和的数量关系；
（4）【拓展创新】
在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒，
① 三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），存在三角板的一条边与直线AB平行，请直接写符合条件的t值；
② 在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束. 在旋转过程中，存在射线RN、RQ、RP，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：，
故此选项不合题意；
故此选项不合题意；
无法得出 故此选项符合题意；
故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理“ 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，则两直线平行 ”逐项判断解题.
2．【答案】B
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：选项A中∠1和∠2是对顶角；选项B中∠2和∠3是内错角；选项C中∠1和∠3是同位角；选项D中，∠2和∠4是同位角.
故答案为：B.
【分析】根据三线八角中，内错角的定义即可判断.
3．【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、由同位角相等，两直线平行判定a//b，不能判定c//d，故A不符合题意；
B、由同旁内角互补，两直线平行判定a//b，不能判定c//d，故B不符合题意；
C、由内错角相等，两直线平行判定c//d，故C符合题意；
D、两角不是同位角，也不是内错角，不能判定c//d，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】运用平行线的判定方法，即同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各选项逐一分析.
4．【答案】A
【知识点】角的运算；余角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
故答案为：A.
【分析】利用两直线平行同位角相等，可把转移到的位置上，再利用平角的概念即可.
5．【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵根据折叠
∴∠A1EG=∠A2EG，∠A1EG+∠A2EG+β=∠AEF，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF+α=180°，α=∠A2EG+∠β，
∴∠AEF=180°－α，α-β=∠A2EG，
∴2∠A2EG+β=∠AEF=180°-∠α，
∴2∠A2EG+β+α=180°，
∴2(α-β)+β+α=180°
∴ 3α﹣β＝180°
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质，所有折叠的角和边都不变，根据两直线平行，同旁内角互补，以及角的关系推到出α与β的关系.
6．【答案】B
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点E作EO//MN，
∵PQ//MN，
∴EO//PQ//MN，
∴∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，
设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，
∴∠FED=180°-∠CED-∠AEF=180°-2α，
∴70°+β=180°-2α，α=60°-β，
解得α=50°，β=10°，
∴∠CED=∠AEF=50°，
故答案为：B.
【分析】过点E作EO//MN，则EO//PO//MN，设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，根据平行线的性质得∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，由角的和差得70°+β=180°-2α，α=60°-β，联立解方程组即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解： 故此选项符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故答案为： A.
【分析】根据余角的定义逐项判断即可.
8．【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过B作，
∵，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】如图，过B作，根据平行线的性质可得出，结合，可得出，进而得出。
9．【答案】B
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图所示
∵ ∠1=130° ，∴∠4=180°-∠1=50°，
∴∠2=∠4+∠3，
∵ CD//EF ，∴∠DAB+∠2=180°，即∠DAB=180°-∠2
∵ 四边形CDFE沿AB折叠 ，∴∠DAB=∠3，即∠2=∠4+∠3=50°+∠DAB=50°+180°-∠2，
解得∠2=115°。
故答案为：B.
【分析】 首先根据平角性质以及“三角形外角等于和它不相邻的两个内角和”，可以列出∠2=∠4+∠3，然后根据“两直线平行、同旁内角互补”列出∠DAB+∠2=180°，最后根据折叠得出∠DAB=∠3，角度等式变形即可求出答案。
10．【答案】B
【知识点】尺规作图-垂线；尺规作图-平行线
【解析】【解答】解：①③④由图像判断可知是正确；
②中无法判断是否平行.
故答案为：B .
【分析】结合平行线的判定与性质判断即可.
11．【答案】160°50'
【知识点】作图-平行线；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AD//m，
∵直线m//n，
∴AD//m//n
∴∠3+∠BAD=180°，∠2+∠CAD=180°，
∵AB⊥n，
∴∠3=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠1-∠BAD=19°10'，
∴∠2=180°-19°10'=160°50'.
故答案为：160°50'.
【分析】过点A作AD//m，则AD//m//n，根据平行线的性质得到∠3+∠BAD=180°，∠2+∠CAD=180°，由垂线的定义可得∠3=90°，据此求出∠BAD的度数，进而求出∠CAD的度数，则可得到答案.
12．【答案】36
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：设这个锐角为x度，
由题意知：，
解得，
即这个锐角度数为，
故答案为：36．
【分析】设这个锐角为x度，根据题中的相等关系“ 锐角的补角=2这个锐角的余角+36”列关于x的方程，解方程即可求解．
13．【答案】116
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵ED∥BC，且∠1=∠2
∴∠1=∠2=∠ABC=32°.
∴∠EDF=180°-∠1-∠2=180°-32°-32°=116°.
故答案为：116.
【分析】根据平行性质（两直线平行，同位角相等）得到∠1与∠2的度数，然后由于∠1、∠2与∠EDF度数之和为180°，因此即可求得∠EDF度数.
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-折叠问题；平行公理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OP∥AB，
∵∠1为x度，
∴∠3=(180-2x)°，
∵AB∥CD，OP∥AB，
∴OP∥AB∥CD，
∴∠3=∠4=∠5=∠EOP，∠2=∠6=∠7=∠FOP，
∵∠3 =(180-2x)°，∠2为y度
∴∠α=∠EOP+∠FOP=(180-2x+y) °，
故答案为：(180-2x +y).
【分析】过点O作OP∥AB，则OP∥AB∥CD，根据折叠的性质以及平行线的性质即可求解.
15．【答案】
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，
根据折叠及平行线性质得.
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
【分析】据题意可知，根据折叠及平行线性质得，结合已知及等量代换可得，再根据二直线平行，同旁内角互补和折叠的性质得，由平角定义求出，然后根据“两直线平行同旁内角互补”得，则答案可得．
16．【答案】（1）互补
（2）解：互补
理由如下：∵∠AOB，∠COD都是直角
∴∠AOB=90°， ∠COD=90°，
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，
∴∠AOD+∠COB=∠AOB+∠BOD+∠COB=∠AOB+∠COD=180°.
【知识点】角的运算；补角
【解析】【解答】解：(1)∠AOD与∠COB互补，
理由：∵∠AOB，∠COD都是直角，
∴∠AOD+∠COB=360°-90°-90°=180°，
∴∠AOD与∠COB互补，
故答案为：互补.
【分析】(1)根据∠AOB和∠COD都是直角以及平角的定义解答；
(2)根据(1)的思路，计算出∠AOD+∠COB=180°即可.
17．【答案】（1）解：，
；
（2）解：，理由：
，，
∴ ∠PAB=180°-2∠2，∠ABC=180°-2∠3，
∴ ∠PAB+∠ABC=360°-2（∠2+∠3），
∵ ∠2+∠3=90°，
，
．
【知识点】角的运算；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用平角减去∠1与∠2，即可求得；
（2）先求出∠PAB=180°-2∠2，∠ABC=180°-2∠3，再根据∠2+∠3=90°化简可得∠PAB+∠ABC=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证明.
18．【答案】（1）解：AF∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDC，
∵∠A=∠C，
∴∠FDC=∠C，
∴AF∥BC；
（2）解：∵AB∥CD，DE∥BF，
∴∠A=∠FDC，∠F=∠ADE，
∵∠A+∠F=110°，
∴∠FDC+∠ADE=110°，
∵∠FDC+∠EDG+∠ADE=180°，
∴∠EDG=70°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件可得∠FDC=∠C，再根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，即可得证；
（2）根据平行线的性质及平角的定义计算即可得出答案.
19．【答案】（1）解：AB∥CD，理由如下：
∵AC//DE
∴∠D+∠ACD=180°
又∵∠D+∠BAC=180°
∴∠ACD=∠BAC，
∴AB//CD
（2）解：连接CE，
∵AC//DE，∠CED=35°，
∴∠ACE=∠CED=35°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ACE=70°，
由(1)知：AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD=70°
又∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-90°-70°=20°
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)由AC//DE得∠D+∠ACD=180°，结合已知条件可得出∠ACD=∠BAC，据此可得出结论；
(2)由AC//DE得∠ACE=∠CED=35°，再根据角平分线的定义得∠ACD=2∠ACB=70°，然后由(1)知AB//CD，进而可得∠BAC=∠ACD=70°，然后再利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数.
20．【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴
（2）解：∵平分，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由线平行得到角互补，即，然后结合条件可知，根据内错角相等，两直线平行可知GD与CA是平行关系；
（2）根据平行线的性质，得到. 根据角平分线的定义，可得到 即再根据平行线的性质即可得出 的度数， 然后根据两直线平行，同位角相等解答即可
21．【答案】（1）解：DE∥BC
理由如下：
∵FG⊥AB，CD⊥AB
∴ FG∥CD
∴∠FGC+∠DCG=180°
∵∠FGC+∠EDC=180°
∴∠DCG=∠CDE
∴DE∥BC
（2）解：∵CD⊥AB
∴∠CDA=90°
∵∠CDE=36°
∴∠ADE=∠CDA-∠CDE=54°
∵DE∥BC
∴∠B=∠ADE=54°
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可得：FG∥CD，再由平行线的性质得到∠FGC+∠DCG=180°，结合已知 ∠CDE和∠CGF互补 ，进而可以得到∠DCG=∠CDE，再由平行线的判断方法可以得到：DE∥BC.
（2）由CD⊥AB可得∠CDA=90°，结合已知∠CDE=36°可以得到：∠ADE=∠CDA-∠CDE=54°因为DE∥BC 所以可得∠B=∠ADE=54°.
22．【答案】解：由题意得 ∥AB，
又∵ ，
∴∥
∴ +∠=180°，∠ECA+∠CAB=180°，
∵ ，
∴∠CAB=90°，
∴∠ECA=180°-∠CAB=90°，
又∵ ，
∴∠=，
∴=180°-∠=180°-55°=125°.
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【分析】由平行线的传递性可得∥，利用平行线的性质可得 和∠、∠ECA和∠CAB的关系，然后结合垂直的定义可推出∠的度数，即可求出的度数．
23．【答案】解：设 ，分两种情况：
，
①当点 N 在平行线 AB，CD 之间时，
，，
，
，
由折叠可得，，
，
，
，
，
.
②当点 N 在 CD 的下方时，，
由折叠可得，，
，
，
，
，
；
综上所述， 的度数是 或 .
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【分析】设∠CFN=x，分两种情况：∠CFP=β=3x.当点N在平行线AB，CD之间时；②当点N在CD的下方时，∠PFN=∠CFP+∠CFN=4x，构建方程求解.
24．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2），
理由如下：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）如图所示，当在的延长线时，由（2）可知，，
，
如图所示，当在线段上时，由（2）可知，，
．
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据平行公理推论可得，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠APE和∠CPE，根据∠APC=∠APE+∠CPE即可求得；
（2）过点作，同理可得，根据两直线平行，内错角相等可得，，推出；
（3）分点在的延长线上，和在线段上，两种情况进行讨论即可，同（2）根据平行公理的推论和两直线平行，内错角相等，即可求得.
25．【答案】（1）150°
（2） 解：如图，
过点作，
，
．
，，
，，
，．
．
（3）解： 如图，
延长，于，交于．
，
．
由题意得：，，，
．
是的外角，
，
，
．
（4）解：① 符合条件的t值为：6秒或24秒.
②符合条件的t值为8秒或17秒或23秒.
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：（1）如图，
，
，
，
．
故答案为：
（4）①ａ、如图，
当旋转至时，，旋转角，
（秒）
ｂ、如图，
当旋转至时，，旋转角，
（秒）．
符合条件的t值为6或24秒．
②a、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，
，
，
.
平分，
，
解得：（秒）.
符合条件的t值为8秒.
b、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，，
，
，
.
，.
平分，
，
解得：（秒）.
符合条件的t值为17秒.
c、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，
.
平分，
，
，
，
，
解得：（秒）
符合条件的t值为23秒.
综上所述，符合条件的t值为8秒或17秒或23秒.
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可以求得.
（2） 过点作，根据平行线公理及推理，平行线性质可得．
（3） 延长，于，交于，根据平行线性质和三角形外角性质可得，进而得．
（4） ①当旋转至时，，旋转角，当旋转至时，，旋转角，进一步可得时间．
②根据三角板的度数不变，结合初始位置的度数，旋转的性质可得t=8或17或23时，射线RN、RQ、RP，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角．
1 / 1鲁教版（五四）数学六（下）第七章 相交线与平行线 单元测试培优卷
一、选择题
1．（2025七下·杭州月考）如图，不能判断的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：，
故此选项不合题意；
故此选项不合题意；
无法得出 故此选项符合题意；
故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理“ 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，则两直线平行 ”逐项判断解题.
2．（2025七下·龙港期中）如图，在所标注的角中，可以看成是一对内错角的是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠3 D．∠2 和∠4
【答案】B
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：选项A中∠1和∠2是对顶角；选项B中∠2和∠3是内错角；选项C中∠1和∠3是同位角；选项D中，∠2和∠4是同位角.
故答案为：B.
【分析】根据三线八角中，内错角的定义即可判断.
3．（2025七下·武侯期末） 直线a，b，c，d如图所示，在下列条件中，能使的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、由同位角相等，两直线平行判定a//b，不能判定c//d，故A不符合题意；
B、由同旁内角互补，两直线平行判定a//b，不能判定c//d，故B不符合题意；
C、由内错角相等，两直线平行判定c//d，故C符合题意；
D、两角不是同位角，也不是内错角，不能判定c//d，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】运用平行线的判定方法，即同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各选项逐一分析.
4．（2025七下·浦江月考）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线上，如果∠2=60°，那么∠1的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】角的运算；余角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
故答案为：A.
【分析】利用两直线平行同位角相等，可把转移到的位置上，再利用平角的概念即可.
5．（2025七下·义乌月考）如图，点E，F分别是长方形ABCD的边AD，BC上两点，连结EF，此时∠EFB＞60°．将四边形AEFB沿EF翻折得到四边形A1EFB1，A1B1交AD于点G．继续将四边形A1EFB1沿EG翻折，点A1翻折到点A2．设∠EFB＝α，∠A2EF＝β，则α与β满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．3α﹣β＝180°
【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵根据折叠
∴∠A1EG=∠A2EG，∠A1EG+∠A2EG+β=∠AEF，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF+α=180°，α=∠A2EG+∠β，
∴∠AEF=180°－α，α-β=∠A2EG，
∴2∠A2EG+β=∠AEF=180°-∠α，
∴2∠A2EG+β+α=180°，
∴2(α-β)+β+α=180°
∴ 3α﹣β＝180°
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质，所有折叠的角和边都不变，根据两直线平行，同旁内角互补，以及角的关系推到出α与β的关系.
6．（2025七下·天台期末） 如图，在科学《光的反射》活动课中，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面AB延长线与地面的夹角，激光笔发出的光束DE射到平面镜后，形成反射光束EF. 由科学原理可知：，若反射光束与天花板的夹角，且，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点E作EO//MN，
∵PQ//MN，
∴EO//PQ//MN，
∴∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，
设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，
∴∠FED=180°-∠CED-∠AEF=180°-2α，
∴70°+β=180°-2α，α=60°-β，
解得α=50°，β=10°，
∴∠CED=∠AEF=50°，
故答案为：B.
【分析】过点E作EO//MN，则EO//PO//MN，设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，根据平行线的性质得∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，由角的和差得70°+β=180°-2α，α=60°-β，联立解方程组即可得出答案.
7．（2025七上·海曙期末）将一副直角三角板按下图所示各位置摆放，其中∠α和∠β互余的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解： 故此选项符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故答案为： A.
【分析】根据余角的定义逐项判断即可.
8．（2023七下·威县期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过B作，
∵，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】如图，过B作，根据平行线的性质可得出，结合，可得出，进而得出。
9．（2025七下·台州期中）如图，将四边形CDFE沿AB折叠一下，如果CD//EF，∠1=130°，那么∠2是（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图所示
∵ ∠1=130° ，∴∠4=180°-∠1=50°，
∴∠2=∠4+∠3，
∵ CD//EF ，∴∠DAB+∠2=180°，即∠DAB=180°-∠2
∵ 四边形CDFE沿AB折叠 ，∴∠DAB=∠3，即∠2=∠4+∠3=50°+∠DAB=50°+180°-∠2，
解得∠2=115°。
故答案为：B.
【分析】 首先根据平角性质以及“三角形外角等于和它不相邻的两个内角和”，可以列出∠2=∠4+∠3，然后根据“两直线平行、同旁内角互补”列出∠DAB+∠2=180°，最后根据折叠得出∠DAB=∠3，角度等式变形即可求出答案。
10．（2025七下·慈溪期末） 下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（ ）
①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作l1∥l2.
作法：
②要求：过直线l1外一点P作这条直线的平行线l2
作法：
③要求：过直线l1外一点P作这条直线的垂线l2.
作法：
④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作l1∥l2.
作法：
A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【知识点】尺规作图-垂线；尺规作图-平行线
【解析】【解答】解：①③④由图像判断可知是正确；
②中无法判断是否平行.
故答案为：B .
【分析】结合平行线的判定与性质判断即可.
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11．（2026七上·吉林期末） 如图，直线，过点作于点，与直线相交于点，测得，则的大小为 .
【答案】160°50'
【知识点】作图-平行线；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AD//m，
∵直线m//n，
∴AD//m//n
∴∠3+∠BAD=180°，∠2+∠CAD=180°，
∵AB⊥n，
∴∠3=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠1-∠BAD=19°10'，
∴∠2=180°-19°10'=160°50'.
故答案为：160°50'.
【分析】过点A作AD//m，则AD//m//n，根据平行线的性质得到∠3+∠BAD=180°，∠2+∠CAD=180°，由垂线的定义可得∠3=90°，据此求出∠BAD的度数，进而求出∠CAD的度数，则可得到答案.
12．（2025七下·东坡期中）一个锐角的补角比它的余角的2倍多，则这个锐角度数为 ．
【答案】36
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：设这个锐角为x度，
由题意知：，
解得，
即这个锐角度数为，
故答案为：36．
【分析】设这个锐角为x度，根据题中的相等关系“ 锐角的补角=2这个锐角的余角+36”列关于x的方程，解方程即可求解．
13．（2025七下·永康期末）如图，AB是平面镜，一束平行于BC的光线ED经平面镜上的点D反射后光线落在BC上的点F处，∠1=∠2。若∠ABC=32°，则∠EDF的度数是 °。
【答案】116
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵ED∥BC，且∠1=∠2
∴∠1=∠2=∠ABC=32°.
∴∠EDF=180°-∠1-∠2=180°-32°-32°=116°.
故答案为：116.
【分析】根据平行性质（两直线平行，同位角相等）得到∠1与∠2的度数，然后由于∠1、∠2与∠EDF度数之和为180°，因此即可求得∠EDF度数.
14．（2025七下·瑞安期中）如图，将一条长方形纸条折出一个“3”，。设为度，为度，则的度数为 度。（用含x，y的代数式表示）
【答案】
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-折叠问题；平行公理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OP∥AB，
∵∠1为x度，
∴∠3=(180-2x)°，
∵AB∥CD，OP∥AB，
∴OP∥AB∥CD，
∴∠3=∠4=∠5=∠EOP，∠2=∠6=∠7=∠FOP，
∵∠3 =(180-2x)°，∠2为y度
∴∠α=∠EOP+∠FOP=(180-2x+y) °，
故答案为：(180-2x +y).
【分析】过点O作OP∥AB，则OP∥AB∥CD，根据折叠的性质以及平行线的性质即可求解.
15．（2025七下·襄州期末）如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值 ．
【答案】
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，
根据折叠及平行线性质得.
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
【分析】据题意可知，根据折叠及平行线性质得，结合已知及等量代换可得，再根据二直线平行，同旁内角互补和折叠的性质得，由平角定义求出，然后根据“两直线平行同旁内角互补”得，则答案可得．
三、解答题：本大题共10小题，共90分。
16．（2026七上·吉林期末） 如图，、都是直角.
（1）在图①中，判断与的关系是 （填“相等”、“互余”或“互补”）.并说明理由.
（2）当绕着点旋转到图②所示位置时，判断与的关系是怎样的？并说明理由.
【答案】（1）互补
（2）解：互补
理由如下：∵∠AOB，∠COD都是直角
∴∠AOB=90°， ∠COD=90°，
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，
∴∠AOD+∠COB=∠AOB+∠BOD+∠COB=∠AOB+∠COD=180°.
【知识点】角的运算；补角
【解析】【解答】解：(1)∠AOD与∠COB互补，
理由：∵∠AOB，∠COD都是直角，
∴∠AOD+∠COB=360°-90°-90°=180°，
∴∠AOD与∠COB互补，
故答案为：互补.
【分析】(1)根据∠AOB和∠COD都是直角以及平角的定义解答；
(2)根据(1)的思路，计算出∠AOD+∠COB=180°即可.
17．（2025七下·杭州月考）如图，台球运动中母球击中桌边上的点，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点，再次反弹后击中球提示：，
（1）若，求的度数；
（2）已知，母球经过的路线与一定平行吗？请说明理由．
【答案】（1）解：，
；
（2）解：，理由：
，，
∴ ∠PAB=180°-2∠2，∠ABC=180°-2∠3，
∴ ∠PAB+∠ABC=360°-2（∠2+∠3），
∵ ∠2+∠3=90°，
，
．
【知识点】角的运算；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用平角减去∠1与∠2，即可求得；
（2）先求出∠PAB=180°-2∠2，∠ABC=180°-2∠3，再根据∠2+∠3=90°化简可得∠PAB+∠ABC=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证明.
18．（2025七下·杭州期中）如图，已知，点E，G分别在AB，CD上，连结DE，BG，延长AD和BG交于点。
（1）判断AF与BC是否平行，并说明理由．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：AF∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDC，
∵∠A=∠C，
∴∠FDC=∠C，
∴AF∥BC；
（2）解：∵AB∥CD，DE∥BF，
∴∠A=∠FDC，∠F=∠ADE，
∵∠A+∠F=110°，
∴∠FDC+∠ADE=110°，
∵∠FDC+∠EDG+∠ADE=180°，
∴∠EDG=70°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件可得∠FDC=∠C，再根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，即可得证；
（2）根据平行线的性质及平角的定义计算即可得出答案.
19．（2025七下·义乌月考）如图，已知AC//DE，∠D+∠BAC=180°.
（1）AB与CD平行吗？请说明理由；
（2）连接CE，恰好满足CE平分∠ACD.若AB⊥BC，∠CED=35°，求∠ACB的度数.
【答案】（1）解：AB∥CD，理由如下：
∵AC//DE
∴∠D+∠ACD=180°
又∵∠D+∠BAC=180°
∴∠ACD=∠BAC，
∴AB//CD
（2）解：连接CE，
∵AC//DE，∠CED=35°，
∴∠ACE=∠CED=35°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ACE=70°，
由(1)知：AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD=70°
又∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-90°-70°=20°
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)由AC//DE得∠D+∠ACD=180°，结合已知条件可得出∠ACD=∠BAC，据此可得出结论；
(2)由AC//DE得∠ACE=∠CED=35°，再根据角平分线的定义得∠ACD=2∠ACB=70°，然后由(1)知AB//CD，进而可得∠BAC=∠ACD=70°，然后再利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数.
20．（2025七下·杭州期中） 已知：如图， ， .
（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由；
（2）若DG平分 ， ，求 的度数.
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴
（2）解：∵平分，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由线平行得到角互补，即，然后结合条件可知，根据内错角相等，两直线平行可知GD与CA是平行关系；
（2）根据平行线的性质，得到. 根据角平分线的定义，可得到 即再根据平行线的性质即可得出 的度数， 然后根据两直线平行，同位角相等解答即可
21．（2025七下·龙港期中）如图，已知GF⊥AB，CD⊥AB，∠CDE和∠CGF互补.
（1）判断 DE与 BC是否平行，并说明理由；
（2）若∠CDE=36°，求∠B的度数.
【答案】（1）解：DE∥BC
理由如下：
∵FG⊥AB，CD⊥AB
∴ FG∥CD
∴∠FGC+∠DCG=180°
∵∠FGC+∠EDC=180°
∴∠DCG=∠CDE
∴DE∥BC
（2）解：∵CD⊥AB
∴∠CDA=90°
∵∠CDE=36°
∴∠ADE=∠CDA-∠CDE=54°
∵DE∥BC
∴∠B=∠ADE=54°
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可得：FG∥CD，再由平行线的性质得到∠FGC+∠DCG=180°，结合已知 ∠CDE和∠CGF互补 ，进而可以得到∠DCG=∠CDE，再由平行线的判断方法可以得到：DE∥BC.
（2）由CD⊥AB可得∠CDA=90°，结合已知∠CDE=36°可以得到：∠ADE=∠CDA-∠CDE=54°因为DE∥BC 所以可得∠B=∠ADE=54°.
22．（2025七下·成都期末） 某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数．
【答案】解：由题意得 ∥AB，
又∵ ，
∴∥
∴ +∠=180°，∠ECA+∠CAB=180°，
∵ ，
∴∠CAB=90°，
∴∠ECA=180°-∠CAB=90°，
又∵ ，
∴∠=，
∴=180°-∠=180°-55°=125°.
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【分析】由平行线的传递性可得∥，利用平行线的性质可得 和∠、∠ECA和∠CAB的关系，然后结合垂直的定义可推出∠的度数，即可求出的度数．
23．（2025七下·鄞州竞赛）如图，直线 l 分别与直线 AB，CD 相交于点 E、F，，点 P 是射线 EA 上的一个动点，点 P、E 不共点，连结 PF. 点 N 与点 E 关于直线 PF 对称. 当 时，试求出 的度数.
【答案】解：设 ，分两种情况：
，
①当点 N 在平行线 AB，CD 之间时，
，，
，
，
由折叠可得，，
，
，
，
，
.
②当点 N 在 CD 的下方时，，
由折叠可得，，
，
，
，
，
；
综上所述， 的度数是 或 .
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【分析】设∠CFN=x，分两种情况：∠CFP=β=3x.当点N在平行线AB，CD之间时；②当点N在CD的下方时，∠PFN=∠CFP+∠CFN=4x，构建方程求解.
24．（2025七下·富顺期末）【问题情境】
如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数．
（1）按小明的思路，求出的度数；
【问题迁移】
（2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2），
理由如下：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）如图所示，当在的延长线时，由（2）可知，，
，
如图所示，当在线段上时，由（2）可知，，
．
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据平行公理推论可得，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠APE和∠CPE，根据∠APC=∠APE+∠CPE即可求得；
（2）过点作，同理可得，根据两直线平行，内错角相等可得，，推出；
（3）分点在的延长线上，和在线段上，两种情况进行讨论即可，同（2）根据平行公理的推论和两直线平行，内错角相等，即可求得.
25．（2025七下·金平期末） 【问题背景】
综合与实践活动课上，林老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动.
如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，.
（1）【探索发现】
如图2，林老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线AB和CD上，则 .(填写度数)
（2） 如图3，摆放两块三角板，让PQ和MN分别落在直线AB、CD上，且使直角顶点与重合（以下称为点R），求的度数；
（3）【迁移运用】
如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使AB与NR交于点E，CD与PQ交于点F，若，，请求出和的数量关系；
（4）【拓展创新】
在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒，
① 三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），存在三角板的一条边与直线AB平行，请直接写符合条件的t值；
② 在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束. 在旋转过程中，存在射线RN、RQ、RP，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值.
【答案】（1）150°
（2） 解：如图，
过点作，
，
．
，，
，，
，．
．
（3）解： 如图，
延长，于，交于．
，
．
由题意得：，，，
．
是的外角，
，
，
．
（4）解：① 符合条件的t值为：6秒或24秒.
②符合条件的t值为8秒或17秒或23秒.
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：（1）如图，
，
，
，
．
故答案为：
（4）①ａ、如图，
当旋转至时，，旋转角，
（秒）
ｂ、如图，
当旋转至时，，旋转角，
（秒）．
符合条件的t值为6或24秒．
②a、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，
，
，
.
平分，
，
解得：（秒）.
符合条件的t值为8秒.
b、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，，
，
，
.
，.
平分，
，
解得：（秒）.
符合条件的t值为17秒.
c、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，
.
平分，
，
，
，
，
解得：（秒）
符合条件的t值为23秒.
综上所述，符合条件的t值为8秒或17秒或23秒.
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可以求得.
（2） 过点作，根据平行线公理及推理，平行线性质可得．
（3） 延长，于，交于，根据平行线性质和三角形外角性质可得，进而得．
（4） ①当旋转至时，，旋转角，当旋转至时，，旋转角，进一步可得时间．
②根据三角板的度数不变，结合初始位置的度数，旋转的性质可得t=8或17或23时，射线RN、RQ、RP，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角．
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