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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第十六章
课标要求 1.了解二次根式、最简二次根式的概念.2.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
内容分析 二次根式是初中阶段代数学习的重要转折点，它标志着学生从有理数运算向更为复杂的无理数领域的跨越。本章从平方根的定义出发，通过类比归纳引出二次根式的概念，重点研究二次根式的性质、四则运算法则及化简，并建立实际应用与数学形式之间的联系。学习本章能帮助学生初步形成处理非负实数及代数式变换的思维方式，培养严谨的运算习惯与逻辑推理能力，为后续学习一元二次方程、锐角三角函数及函数定义域等奠定至关重要的基础。
学情分析 学生已具备有理数运算、整式加减乘除运算的基础，并初步认识了平方根与算术平方根的概念。但对二次根式的化简、四则运算及其隐含的条件（如被开方数的非负性）尚属初次系统学习，容易在符号处理与运算顺序上出现混淆。学生的抽象思维能力和形式化运算能力仍在发展中，教学应注重从具体的平方根运算入手，通过类比整式运算引导学生逐步抽象出二次根式的性质与法则，帮助其克服对“根号”这一新运算符号的畏难情绪。
单元目标 （一）教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件。2.掌握二次根式的性质，包括双重非负性、平方与算术平方根的关系等。3.熟练进行二次根式的化简和四则运算（加、减、乘、除），包括分母有理化等技巧。4.能够利用二次根式解决实际问题，建立数学模型并求解。5.通过观察、分析、归纳和推理等数学活动，发展学生的逻辑思维能力和数学表达能力。（二）教学重点、难点重点：1.二次根式的概念与最简二次根式的判定。2.二次根式乘除、加减运算的算理与算法。难点：1.最简二次根式化简的彻底性（尤其含字母参数时）。2.复杂混合运算中的符号处理与运算顺序。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数16.1 二次根式及其性质116.2 二次根式的运算4
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务16.1二次根式及其性质1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。3.掌握二次根式的两条核心性质。1.能够判断一个式子是否为二次根式。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。3.能利用二次根式的两条核心性质进行计算。任务一：情境导入，初步接触二次根式。任务二：探究新知，理解二次根式的概念。任务三：例题精讲，探究二次根式有意义的条件。任务四：独立思考，探究二次根式的性质。16.2.1二次根式的乘除(第一课时)1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。任务二：探究新知，观察猜想.任务三：例题精讲，运用法则进行计算。16.2.1二次根式的乘除(第二课时)掌握商的算术平方根的性质：2.理解二次根式除法法则，能准确计算含系数及字母的除法。3.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式或整式。1.能准确计算含系数及字母的除法。2.能够将结果化为最简二次根式或整式。任务一：认真思考，探索商的算术平方根的性质。任务二：探究新知，探究二次根式除法法则.任务三：例题精讲，进行通分。16.2.2二次根式的加减(第一课时)1.理解同类二次根式的定义，能准确判断并合并同类二次根式。2.掌握二次根式加减的运算步骤（化简→合并），能规范书写运算过程。3.经历“类比整式→迁移根式”的探究，体会“数式通性”。会正确计算二次根式的加法和减法。任务一：复习巩固，回顾整式的加减法。任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的加法和减法。任务三：例题精讲，进行加减运算。16.2.2二次根式的加减(第二课时)1.理解二次根式混合运算顺序，能正确运用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）和分配律进行化简。2.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式。能熟练进行二次根式的混合运算任务一：复习巩固，回顾整式的混合运算。任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的混合运算。任务三：例题精讲，进行混合运算。
《二次根式》单元教学设计
活动1：引入课题
16.1二次根式及其性质
活动2：探究二次根式有意义的条件
活动3：探究二次根式的性质
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：探究二次根式的乘法法则
16.2.1二次根式的乘除 (第一课时)
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
16.2.1二次根式的乘除 (第二课时)
二次根式
活动2：探究二次根式的除法法则
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：理解最简二次根式的概念
16.2.2二次根式的加减(第一课时)
活动3：探究二次根式加减的运算法则
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：探究二次根式的混合运算法则
16.2.2二次根式的加减(第二课时)
活动3：例题讲解
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第十六章 二次根式
16.2.2.2二次根式的混合运算
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能够熟练进行二次根式的加减乘除混合运算
01
会将整式乘法公式运用到含有二次根式的多项式乘法中
02
经历探究二次根式混合运算的过程,并能将整式运算知识迁移到二次根式的运算中
03
02
复习旧知
1.二次根式的乘、除法则.
性质3：两个非负二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即·=(a≥0，b≥0)，
性质4：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即=(a≥0，b>0).
2.二次根式的加减运算.
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并，合并方法与合并同类项类似.
02
创设情境
已知一块矩形菜地的长为，宽为，求矩形菜地的面积.
解：矩形的面积=长×宽，则菜地的面积为.
二次根式的混合运算应该怎样计算？
03
新知探究
例1 计算：
(1)(+1)(-1)；
(2)(+2)2.
解 (1)(+1)(-1)=()2-12=3-1=2.
(2) (6+2)2=()2+2×2+(2)2
=6+12+12
=18+12.
03
新知探究
进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，在根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.
03
新知探究
填空：m(a+b+c)= ；(m+n)(a+b)= ；(ma+mb+mc)÷m= .
算一算：若把字母a，b，c，m都用二次根式代替(任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
ma+mb+mc
ma+mb+na+nb
a+b+c
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
03
新知探究
例2 计算
(2)+)-÷.
解 +)-÷
=(2+5)-
=×7-=7-
=7-
=.
03
新知探究
归纳
二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
在二次根式的混合运算中，实数的运算性质和运算法则同样适用.
1.下列各式中，计算结果为的是( )
A.+ B.-
C.× D.÷
2. 下列计算正确的是（ ）
A. ＋ ＝ B. 5 － ＝5
C. ÷2＝ D. ＝3
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
D
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3．若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，则a的值为________．
4．（1）计算(＋1)(－1)的结果为__________．
（2）计算(1－)2的结果为__________.
7或13
60
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.计算：
（1）（ ＋5）×（2－2 ）； （2）（ －2 ）2；
（1）解：原式＝2 －12＋10－10 ＝－8 －2.
（2）解：原式＝5－4 ＋8＝13－4 .
05
课堂小结
二次根式混合运算
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
运算顺序
与实数相同
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
计算2 －6 ＋ 的结果是（ ）
A. 3 －2 B. 5－
C. 5－ D. 2
2.已知x＋y＝＋，xy＝，则x－y的值为( )
A．－4 B．4 C．±4 D．±2
A
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.计算： _________.
4.设a=则a b(填“>”“<”或“=”).
2
=
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积，其中路基的体积 = 横断面面积×长度) 为多少立方米呢？
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：路基的土石方等于路基横断面面积乘路基的长度，所以这段路基的土石方为：
=5
=5000()
答：这段路基的土石方为5000
Thanks!
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16.2.2.2二次根式的混合运算教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 16
课题 16.2.2.2二次根式的混合运算 课时 1
教材分析 本节内容属于二次根式运算的综合应用，核心是混合运算顺序与化简技巧。教材以最简二次根式为前提，强调先乘除后加减的运算逻辑，并融入分母有理化方法。难点在于符号处理与根式性质的灵活运用，需通过典型例题引导学生掌握步骤规范性。
学情分析 学生已掌握二次根式基本性质，但混合运算易出现符号错误或化简不彻底问题。部分学生对分母有理化步骤理解模糊，且运算顺序混乱。需通过分层练习强化基础，兼顾能力迁移与思维严谨性。
核心素养目标 1. 能够熟练进行二次根式的加减乘除混合运算。2. 会将整式乘法公式运用到含有二次根式的多项式乘法中.3. 经历探究二次根式混合运算的过程,并能将整式运算知识迁移到二次根式的运算中
教学重点 能够熟练进行二次根式的加减乘除混合运算
教学难点 将整式乘法公式运用到含有二次根式的多项式乘法中
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新1.二次根式的乘、除法则.性质3：两个非负二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即·=(a≥0，b≥0)，性质4：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即=(a≥0，b>0).2.二次根式的加减运算.二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并，合并方法与合并同类项类似. 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固二次根式相关知识
二、引新 创设情境，引入课题已知一块矩形菜地的长为，宽为，求矩形菜地的面积.解：矩形的面积=长×宽，则菜地的面积为.二次根式的混合运算应该怎样计算？ 学生思考问题 通过问题，自然引入课题
二、探究 合作探究，活动领悟例1 计算：(1)(+1)(-1)；(2)(+2)2.解 (1)(+1)(-1)=()2-12=3-1=2.(2) (6+2)2=()2+2×2+(2)2=6+12+12=18+12.方法点拨 进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，在根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.填空：m(a+b+c)= ；(m+n)(a+b)= ；(ma+mb+mc)÷m= . 算一算：若把字母a，b，c，m都用二次根式代替(任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，回答问题 帮助学生建立二次根式与整式运算的一致性认知，明确运算律、公式在实数范围内普遍适用
三、变式 师生互动，变式深化例2 计算(2)+)-÷.解 +)-÷=(2+5)-=×7-=7-=7-=.归纳：在二次根式的混合运算中，实数的运算性质和运算法则同样适用.二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活
四、尝试 尝试练习，巩固提高1.下列各式中，计算结果为的是( )A.+ B.-C.× D.÷2. 下列计算正确的是（ ）A. ＋ ＝ B. 5 － ＝5C. ÷2＝ D. ＝3 3．若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，则a的值为________．4．(1)计算(＋1)(－1)的结果为__________． (2)计算(1－)2的结果为__________.5.计算：（1）（ ＋5）×（2－2 ）； （2）（ －2 ）2； 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求
五、提升 适时小结，兴趣延伸回顾这节课你学到了什么？二次根式的混合运算：二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行. 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书设计
作业设计 1.计算2 －6 ＋ 的结果是（ ）A. 3 －2 B. 5－ C. 5－ D. 2 2.已知x＋y＝＋，xy＝，则x－y的值为( )A．－4 B．4 C．±4 D．±23.计算： _________.4.设a=则a b(填“>”“<”或“=”).5.甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积，其中路基的体积 = 横断面面积×长度) 为多少立方米呢？
教学反思 教学中需强化运算步骤的示范性，引导学生通过错误案例分析理解关键点。分母有理化可结合生活实例（如面积计算）提升兴趣。后续应增加变式训练，深化知识网络构建。
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