新人教版八年级数学下册第十九章二次根式教材分析与教学建议

新人教版八年级数学下册第十九章二次根式教材分析与教学建议
一、课标分析：
(一)地位和作用。
《二次根式》是人教版《数学》八年级(下)第十九章的内容，本章是在七年级下册第八章“实数”的基础上，充分利用学习算术平方根的经验，采用从特殊到一般的方法研究二次根式的性质和运算，体现数式通性。本章的研究重点是二次根式的四则运算，学习二次根式的运算有助于学生提升运算能力和抽象能力。二次根式是代数式，是学习代数的基本语言之一，二次根式的四则运算是学习二次根式的关键。二次根式的运算是“数与代数”领域中“数与式”主题的重要内容之一，是后续学习勾股定理、解一元二次方程等内容的基础。
(二)课标要求：
(1)了解二次根式、最简二次根式的概念;
(2)了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则;
(3)会用二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算。
二、内容安排：
本章主要内容为:“19.1二次根式”“19.2二次根式的乘除”“19.3二次根式的加减”及一个数学活动“纸张规格的奥秘”。二次根式及其运算是中学数学课程的基础内容之一。在七年级和八年级上册学生已经学习有理数及其运算、整式及其运算和分式及其运算等内容，式的运算是一种形式运算，其本质就是一系列基于运算律的符号规则。全章的结构体系体现全套教材对数与式章节的整体性设计:概念——性质——运算(加减、乘除)——应用。
(一)具体内容。
19.1 二次根式及其性质
19.2 二次根式的乘法与除法
19.3 二次根式的加法与减法
阅读与思考 海伦-秦九韶公式
数学活动
小结
(二)教学课时安排。
约需9课时，具体分配如下(仅供参考):
19.1 二次根式及其性质 2课时
19.2 二次根式的乘法与除法 3课时
19.3 二次根式的加法与减法 2课时
阅读与思考海伦-秦九韶公式
数学活动 1课时
小结 1课时
(三)本章知识结构图。
三、2024版新教材与2012版教材内容对比分析。
(一)章节序号与页码的改变，由第16章变为第19章，标题措辞更加严谨、规范。
(二)修改部分。
1.修改本章引言部分。
引言问题变化不大，从2012版的电视塔修改为广播电视塔，但是2024版引言在设问的描述上更加准确，强调出本章学习的重点在已学的算术平方根的基础上类比整式、分式、学习二次根式的概念、性质和运算，既明确了研究内容，又指明了研究方法。
2.对19.1二次根式及其性质部分的优化。
(1)首先通过3个具体例子，根据算术平方根的概念用含有根号的式子写出结果，其中2024版例子(1)是2012版教科书的例子(2)，2024版教科书重新设计例子(2)，其目的是丰富被开方数的形式，更容易概括这些式子的共同特征，在此基础上归纳得到二次根式的概念;
(2)定义没有什么变化。不过2012版从开平方引出二次根式定义，又重新引出了二次根号的定义。而2024版则是直接从算术平方根引出，并强调二次根式也是代数式。说明了2024版更强调二次根式的实际应用。
(3)2024版在二次根式概念练习部分增加一个练习;
(4)2024版调整了探究二次根式性质中的部分例题，加强归纳的例子更具有代表性;
(5)2024版增加了小便签，需要学生思考为什么被开方数不能是负数;
(6)2024版增二次根式性质思考部分，使学生对二次根式性质理解更加深入;
(7)2012版在这个地方才提出“代数式”的概念，2024版则是在七年级上册已经单独提出了一章《代数式》。
(8)对2012版习题16.1中的第4题的数据做了调整，让2024版习题4难度更加适合学生认知规律。
3.对19.2二次根式的乘法与除法部分的优化。
(1)通过角注的方式对于本章字母都大于0作统一的约定，考虑到二次根式的重要性，保留根号下为字母的运算，但作为选学;
(2)删减了二次根式乘法部分的练习，形成较好的练习梯度。
(3)将2012版二次根式除法部分中的例6和例7交换位置，变为2024版的例7和例6，更加符合学生的认知规律;
(4)2024版将最简二次根式形成一个新的课时，新增一个练习，为后续二次根式的加减法学习搭好脚手架;
4.对19.3二次根式的加法与减法部分的优化。
(1)对二次根式的引入从2012版的实际问题出发，改为2024版的直接给出两个根式相加如何计算，把“问题”直接化成了例题;
(2)对二次根式加法法则做个更准确的描述;
(3)优化例题，将2012版的例1、例2按项数区分，改为2024版的按有无括号区分;
(4)将2012版的引入改为2024版的例3;
5.对本章数学活动的优化。
保留了2012版中的活动1删除了活动2，2024版的数学活动只保留了“纸张的规格计算”，并且更加复杂。实际上，已经有统考试卷曾经出现过这个内容。所以，这个部分可以作为重点知识，既多学习一些知识，又能对二次根式的计算有更深层次的理解。
6.对2012版复习题16中的第7题做了删改，新加入了1个练习题形成了2024版的复习题19.
四、教学建议。
1.贯穿代数研究的基本思路,感悟运算的一致性。
运算是代数学的核心。在数系的扩充过程中，“引入一种新的数，就要研究它的运算;定义一种运算，就要研究它的运算律”是研究的基本思路。
二次根式内容安排线索:
概念(定义研究对象)——性质——运算(运算法则和运算律的应用)其中，“概念”“性质”是“运算”的基础，在“运算”中自然地提出“如何算”的问题，归纳得出运算法则，从而实现有效地、有系统地进行二次根式的运算。
2.加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程。
运算技能的培育是代数教学的基本任务。归纳法是代数研究的基本方法，“归纳地去探索、发现，然后归纳地定义，再归纳地论证”是解决代数问题的基本过程。教材特别注意归纳法的应用，例如:通过具体实例，从正数的平方根、算术平方根中归纳出研究对象二次根式;通过具体实例归纳二次根式的性质;所有运算法则都是采用从特殊到一般的归纳方式得出的。
3.以运算为核心，加强运算能力的培养。
《课标(2022年版)》提出9个核心素养行为表现的关键词，与本章相关的关键词至少有3个，即抽象能力、运算能力、推理能力。在教学实践中，教师应关注学生运算能力的提升，特别是加强运算技能(优化运算)方面的培育。
二次根式的运算和整式的运算相似，就是充分利用运算规则、乘法公式等进行运算。运算的关键是“理解运算对象，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果”。首先，将各种不同形式的二次根式转化为最简单的二次根式，然后合并同类二次根式;其次，培养运算习惯。显然本章的知识内容在整个义务教育阶段属于基础性学习内容，对运算的要求较高，学生必须熟练掌握二次根式的运算，几乎要达到“自动化”的水平，因此本章教科书的编写重点在“二次根式的运算”。二次根式概念和性质的理解是为了更好地服务运算法则的理解，设计合理的运算程序、准确获得运算结果，教科书删去分母有理化的内容，淡化最简二次根式根的概念，但对于学有余力的学生来说，分母有理化是化简含根式的复杂代数式的重要方法;同样，化简二次根式同样离不开最简二次根式的概念，只有将各种各样的二次根式先化为最简二次根式，才能通过合并同类项的方式将二次根式化简。《课标(2022年版)》规定“根号下仅限于数的二次根式的四则运算”的教学要求，但事实上，这是对教学的最低要求。教学实践过程中,教师应当适度调整含有字母的二次根式的化简和四则运算，特别是对学有余力的学生可以适当加强。当然选择的问题不能太复杂，也不应当过度关注超越学生认知水平的运算技巧。
4.注意安排学生对选学内容的学习。
教学中除了要关注学生在数学知识和数学能力方面的提高外，还要考虑在传承数学史知识学文化修养方面做出努力，以使学生在获得数学知识的同时人文精神也得到陶冶。“阅读与思考”中的“海伦-秦九韶公式”，不但可以使学生了解海伦公式的知识，从而加强学生的数学修养。
5.重视数学活动的教学。
本节课内容将二次根式知识与生活实际紧密结合。纸张规格的探究，让学生从生活中常见的物品入手，通过计算比值发现规律，感受数学在生活中的广泛应用。长方体相关问题的解决，综合运用了二次根式的运算、方程思想以及几何图形的性质，有助于学生深化对二次根式的理解，提高运用数学知识解决实际问题的能力，体会数学知识之间的内在联系，增强学生的数学应用意识。
实施难点:①数据计算与规律发现困难:部分学生在计算纸张长与宽的比值时，可能因计算不熟练出现错误，导致难以发现比值的规律。教学中可让学生使用计算器辅助计算，同时加强对计算过程的指导，引导学生观察数据特点，帮助学生发现规律。②方程求解与二次根式运算错误:在解决长方体相关问题时，学生设未知数列出方程后，求解方程可能出现错误，在进行二次根式运算时也容易出错。教师要对解方程的步骤和二次根式运算法则进行复习巩固，加强针对性练习，及时纠正学生的错误。③知识应用能力不足:学生在将数学知识应用到实际问题时，可能无法准确理解题意，建立数学模型。教学中要多引导学生分析实际问题，帮助学生找到问题中的数学关系，提高学生的知识应用能力。