广东省东莞市第十三高级中学2025-2026学年高三上学期12月份月考数学试卷
1．（2025高三上·东莞月考）已知i是虚数单位，且z=，则z的共轭复数在复平面内对应的
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025高三上·东莞月考）若集合，则( )
A． B．
C． D．
3．（2025高三上·东莞月考）若向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·东莞月考）已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为5，则圆台的侧面积为（ ）
A．π B．16π C．17π D．25π
5．（2025高三上·东莞月考）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高三上·东莞月考）若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是
A． B． C． D．
7．（2025高三上·东莞月考）已知（），则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三上·东莞月考）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是棱上一点，且，，，，，则当最大时，四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·东莞月考）下列命题正确的是（ ）
A．已知，若，则
B．数据的第75百分位数为47
C．若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为2
D．数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数
10．（2025高三上·东莞月考）已知等差数列的前项和为，且公差，.则以下结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的最大值为
D．若，，成等比数列，则
11．（2025高三上·东莞月考）设圆，直线， 则下列结论正确的为（ ）
A．的半径为 B．可能与相切
C．恒过定点 D．当时，被截得的弦长为
12．（2025高三上·东莞月考）已知曲线在处的切线方程为，则 ．
13．（2025高三上·东莞月考）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．设D为的中点，，平面平面，则二面角的正弦值为 ．
14．（2025高三上·东莞月考）已知点是双曲线上的动点，是其左、右焦点，是坐标原点，若存在四个点满足，则此双曲线的离心率取值范围 ．
15．（2025高三上·东莞月考）在中，．
（1）求B；
（2）若，，求的面积．
16．（2025高三上·东莞月考）已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求k的取值范围；
（3）设n，求证：．
17．（2025高三上·东莞月考）如图，四边形与均为菱形，，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
18．（2025高三上·东莞月考）某中学组织运动会，入场式每个班都按排方阵进场，要求每排六个人，某班级第一排6名学生中有2名是班长，其余4名是普通学生.回答下列问题：
（1）该班班主任要求两名班长必须站在队列的最左端和最右端，其余4个学生站在中间，问有多少种不同的排法？
（2）入场式结束后从这6名学生中选出4名参加校运会志愿者活动，要求至多1名班长被选中，问有多少种不同的选法？
（3）若已知选派参加校运会志愿者有两男两女，派两人去沙坑处维持秩序，抽签决定，问在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率.
19．（2025高三上·东莞月考）如图，已知F是抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，与圆O交于C，D两点（点A，C在第一象限），．
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求凹四边形面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，
在复平面内对应的点，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘法、除法以及乘方运算化简求复数，再根据共轭复数的概念求，根据复数的几何意义求解即可.
2．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知 ，
，
则 .
故答案为：A.
【分析】根据指数函数和对数函数的性质化简求得集合M，P，再根据集合的交集运算求解即可．
3．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，则，
由在上的投影向量.
故答案为：D
【分析】由向量数量积的运算律得可得，代入投影向量公式计算可得.
4．【答案】D
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆台的上底面半径为，由题意可得：圆台的下底面半径为，高为，母线长为5，
圆台轴截面，如图所示：
，过点作于点，
由，可得，解得，
则圆台的侧面积．
故答案为：D.
【分析】 设圆台的上底面半径为，由题意可得：圆台的下底面半径为，高为，母线长为5，作出圆台的轴截面，过点作于点，利用勾股定理求出上底面半径，再利用圆台的侧面积公式求解即可.
5．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由图可知：函数的定义域不包括，故排除C，D；
函数的图象关于原点对称，是奇函数，，满足，故B符合.
故答案为：A.
【分析】由图可知函数的定义域不包括，排除C，D；再根据函数图象关于原点对称，为奇函数，验证的奇偶性即可判断.
6．【答案】D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式共有项，，的展开式的通项公式为，
令，解得，
则展开式中含项的系数是.
故答案为：D．
【分析】由题意可得展开式共有项，，再写出展开式的通项，令，求解即可.
7．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：当时，，
因为，所以，
则
.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数基本关系求，由，利用两角和的正弦公式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题知，，，
则.
因为，，，平面，所以平面，
因为是确定的直线，可知对任意点，平面是同一确定的平面，
因为，所以点的轨迹是在平面内以点为圆心，为半径的圆，
当且仅当与该圆相切，即时，取到最大值，
此时，所以，
所以点到平面的距离为，
所以四棱锥的体积为.
故答案为：C
【分析】由题得，，得.可证平面，得的轨迹是在平面内以点为圆心，为半径的圆，当且仅当与该圆相切，即时，取到最大值，得点到平面的距离，再由四棱锥的体积公式计算即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、已知， 若，，该选项正确，符合题意；
B、，位置为整数4，直接取排序后第4个数据47， 故这组数据的第75百分位数为47，该选项正确，符合题意；
C、若样本数据的标准差为1，则数据的标准差受乘数2影响，加1不影响标准差，故新数据的标准差为2，该选项正确，符合题意；
D、不妨设，则，解得，此时，故找到一组数，数据中有大于5的数，该选项错误，不合题意.
故答案为：ABC.
【分析】利用正态分布的对称性，可判断A；，位置为整数4，第75百分位数为47，可判断B；由标准差的性质得，可判断C；设，举出反例即可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列中，由，得，即，
A、，该选项正确，符合题意；
B、由，得，解得，该选项错误，不合题意；
C、由，得，且单调递减，
则的最大值为或，该选项错误，不合题意；
D、由成等比数列，得，即，
而，则，该选项正确，符合题意.
故答案为：AD
【分析】，可判断A；由，得，解得，可判断B；
由，得，且单调递减，则的最大值为或，可判断C；由成等比数列，得，即，而，则，可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】恒过定点的直线；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、易知圆：的圆心为，半径，故A正确；
C、易知直线恒过定点，故C正确；
B、由C可知：直线恒过点，因为，所以定点在圆内，则直线与圆恒相交，故B错误；
D、当时，直线：，即，圆心到直线距离为，则被截得的弦长为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由圆的标准方程易知圆心和半经即可判断A；易知直线过定点即可判断C；判断定点和圆的位置关系即可判断B；将代入，利用点到直线的距离公式，结合勾股定理求解即可判断D.
12．【答案】1
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解： 的定义域为，，
.
故答案为：1.
【分析】先求的定义域，再求导，由，代入求解即可.
13．【答案】
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：在直三棱柱中，取的中点E，连接AE，
由，得，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，平面，平面，
所以，，
又因为平面且相交，所以平面，直线两两垂直，
以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
而，又，
解得，则，的中点，
则，，设平面的一个法向量，
则，令，可得，
设平面的一个法向量，则，
令，可得，
则，
即二面角的正弦值为.
故答案为：.
【分析】 取的中点E，连接AE， 利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证明平面，可得直线两两垂直， 以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 求出棱长，利用面面角的向量求法求解即可.
14．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知双曲线的左准线方程为，
设，当点P在双曲线的右支上时，
由双曲线的第二定义可知，则，
由双曲线的定义，可得，
即在右支，，
同理可得：当在左支，，
因为，，，即，
因为，
所以，
即存在四个点满足，即，因为，所以，则.
故答案为：．
【分析】易知双曲线的左准线方程为，设，分点P在双曲线的右支和左支两种情况讨论，结合焦半径公式得到结合存在四个点满足 得到，据此求解即可.
15．【答案】解：(1)、 ，由正弦定理可得，整理可得，
则，因为，所以；
(2)、由，，可得，由，可得，
，
则的面积.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简可得，再利用余弦定理可求，即可求B的值；（2）利用同角三角函数关系式求，利用正弦定理求，利用两角和的正弦公式求，再利用三角形面积公式求解即可.
16．【答案】解：（1）当时，函数定义域为，，
令，解得；令，解得，
则函数单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）函数的定义域为，，
当时，因为，所以，则恒成立，
即在上单调递增恒成立；
当时，令，解得，
当，，单调递增；当，，单调递减；
，与恒成立相矛盾，
综上，k的取值范围为；
（3）由（2）知，当时，，
令，则+，即，
≤，则.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求其导函数，令求单调递增区间，令求单调递减区间；
（2） 先求定义域，再求其导函数 ，对分情况讨论，验证其正确性，进而求出k的取值范围即可；
（3）利用（2）中得出的结论，取，得到不等式，再令证明原不等式.
17．【答案】解：（1）设与相交于点，连接，因为四边形为菱形，所以，且为中点，
又因为，所以
又因为，，所以平面；
（2）连接，因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，
又因为为中点，所以，
又因为，，所以平面，则两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为四边形为菱形，，，所以，
又因为为等边三角形，所以，
，
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，得，
设平面的法向量为，则，
令，则，得，
所以，
又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为；
（3）设
则，
所以，
化简得，解得：，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）设与相交于点，连接，根据四边形为菱形，为中点，证明，，再根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）连接，先证明两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（3）设，可得，利用空间向量夹角公式计算即可.
18．【答案】（1）解：先安排最左端和最右端，有种；再安排中间的人，有种，
根据分步乘法计数原理，共有种；
（2）解：没有班长，有种；一个班长，有种，
根据分类加法计数原理，共有种；
（3）解：记事件“第一次抽到男生”，事件“第二次抽到女生”，
，，，
则在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【分析】（1）根据分步乘法计数原理求解即可；
（2）根据分类加法计数原理求解即可；
（3）先记事件，利用条件概率公式计算即可.
（1）分两步：第一步先安排最左端和最右端，有种；第二步安排中间的人，有种，
根据分步乘法计数原理，共有种.
（2）分两类：第一类，没有班长，有种；第二类，一个班长，有种.
根据分类加法计数原理，共有种.
（3）记事件“第一次抽到男生”，事件“第二次抽到女生”，
，，，
所以在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率.
19．【答案】（1）解：易知抛物线的焦点，
由，解得，
则抛物线方程是 ；
（2）解：设直线，联立，消元整理可得，
又点A在第一象限，所以，
设圆，联立，得，
又点C在第一象限，所以，
由于，则，
故，
记凹四边形的面积为S，则
，
当时，．
当时，，
综上所述，凹四边形面积的最小值是，当时取到．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由抛物线方程求得，根据，求得，即可得抛物线的方程；
（2）设直线，联立直线与抛物线，消元整理，求得的坐标，设圆，联立圆O与抛物线方程，求出的坐标，根据，可得，记凹四边形的面积为S，根据，代入化简整理可得，再分，，结合不等式的性质求解即可.
（1）易知，则，故，抛物线方程是．
（2）设直线，直线与抛物线联立，得，
又点A在第一象限，故
设圆，圆O与抛物线联立，得，
又点C在第一象限，故
由于，
则，
故，
记凹四边形的面积为S，则
①若，．
②若，．
综上所述，凹四边形面积的最小值是，当时取到．
1 / 1广东省东莞市第十三高级中学2025-2026学年高三上学期12月份月考数学试卷
1．（2025高三上·东莞月考）已知i是虚数单位，且z=，则z的共轭复数在复平面内对应的
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，
在复平面内对应的点，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘法、除法以及乘方运算化简求复数，再根据共轭复数的概念求，根据复数的几何意义求解即可.
2．（2025高三上·东莞月考）若集合，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知 ，
，
则 .
故答案为：A.
【分析】根据指数函数和对数函数的性质化简求得集合M，P，再根据集合的交集运算求解即可．
3．（2025高三上·东莞月考）若向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，则，
由在上的投影向量.
故答案为：D
【分析】由向量数量积的运算律得可得，代入投影向量公式计算可得.
4．（2025高三上·东莞月考）已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为5，则圆台的侧面积为（ ）
A．π B．16π C．17π D．25π
【答案】D
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆台的上底面半径为，由题意可得：圆台的下底面半径为，高为，母线长为5，
圆台轴截面，如图所示：
，过点作于点，
由，可得，解得，
则圆台的侧面积．
故答案为：D.
【分析】 设圆台的上底面半径为，由题意可得：圆台的下底面半径为，高为，母线长为5，作出圆台的轴截面，过点作于点，利用勾股定理求出上底面半径，再利用圆台的侧面积公式求解即可.
5．（2025高三上·东莞月考）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由图可知：函数的定义域不包括，故排除C，D；
函数的图象关于原点对称，是奇函数，，满足，故B符合.
故答案为：A.
【分析】由图可知函数的定义域不包括，排除C，D；再根据函数图象关于原点对称，为奇函数，验证的奇偶性即可判断.
6．（2025高三上·东莞月考）若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式共有项，，的展开式的通项公式为，
令，解得，
则展开式中含项的系数是.
故答案为：D．
【分析】由题意可得展开式共有项，，再写出展开式的通项，令，求解即可.
7．（2025高三上·东莞月考）已知（），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：当时，，
因为，所以，
则
.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数基本关系求，由，利用两角和的正弦公式求解即可.
8．（2025高三上·东莞月考）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是棱上一点，且，，，，，则当最大时，四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题知，，，
则.
因为，，，平面，所以平面，
因为是确定的直线，可知对任意点，平面是同一确定的平面，
因为，所以点的轨迹是在平面内以点为圆心，为半径的圆，
当且仅当与该圆相切，即时，取到最大值，
此时，所以，
所以点到平面的距离为，
所以四棱锥的体积为.
故答案为：C
【分析】由题得，，得.可证平面，得的轨迹是在平面内以点为圆心，为半径的圆，当且仅当与该圆相切，即时，取到最大值，得点到平面的距离，再由四棱锥的体积公式计算即可.
9．（2025高三上·东莞月考）下列命题正确的是（ ）
A．已知，若，则
B．数据的第75百分位数为47
C．若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为2
D．数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数
【答案】A,B,C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、已知， 若，，该选项正确，符合题意；
B、，位置为整数4，直接取排序后第4个数据47， 故这组数据的第75百分位数为47，该选项正确，符合题意；
C、若样本数据的标准差为1，则数据的标准差受乘数2影响，加1不影响标准差，故新数据的标准差为2，该选项正确，符合题意；
D、不妨设，则，解得，此时，故找到一组数，数据中有大于5的数，该选项错误，不合题意.
故答案为：ABC.
【分析】利用正态分布的对称性，可判断A；，位置为整数4，第75百分位数为47，可判断B；由标准差的性质得，可判断C；设，举出反例即可判断D.
10．（2025高三上·东莞月考）已知等差数列的前项和为，且公差，.则以下结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的最大值为
D．若，，成等比数列，则
【答案】A,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列中，由，得，即，
A、，该选项正确，符合题意；
B、由，得，解得，该选项错误，不合题意；
C、由，得，且单调递减，
则的最大值为或，该选项错误，不合题意；
D、由成等比数列，得，即，
而，则，该选项正确，符合题意.
故答案为：AD
【分析】，可判断A；由，得，解得，可判断B；
由，得，且单调递减，则的最大值为或，可判断C；由成等比数列，得，即，而，则，可判断D.
11．（2025高三上·东莞月考）设圆，直线， 则下列结论正确的为（ ）
A．的半径为 B．可能与相切
C．恒过定点 D．当时，被截得的弦长为
【答案】A,C
【知识点】恒过定点的直线；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、易知圆：的圆心为，半径，故A正确；
C、易知直线恒过定点，故C正确；
B、由C可知：直线恒过点，因为，所以定点在圆内，则直线与圆恒相交，故B错误；
D、当时，直线：，即，圆心到直线距离为，则被截得的弦长为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由圆的标准方程易知圆心和半经即可判断A；易知直线过定点即可判断C；判断定点和圆的位置关系即可判断B；将代入，利用点到直线的距离公式，结合勾股定理求解即可判断D.
12．（2025高三上·东莞月考）已知曲线在处的切线方程为，则 ．
【答案】1
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解： 的定义域为，，
.
故答案为：1.
【分析】先求的定义域，再求导，由，代入求解即可.
13．（2025高三上·东莞月考）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．设D为的中点，，平面平面，则二面角的正弦值为 ．
【答案】
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：在直三棱柱中，取的中点E，连接AE，
由，得，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，平面，平面，
所以，，
又因为平面且相交，所以平面，直线两两垂直，
以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
而，又，
解得，则，的中点，
则，，设平面的一个法向量，
则，令，可得，
设平面的一个法向量，则，
令，可得，
则，
即二面角的正弦值为.
故答案为：.
【分析】 取的中点E，连接AE， 利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证明平面，可得直线两两垂直， 以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 求出棱长，利用面面角的向量求法求解即可.
14．（2025高三上·东莞月考）已知点是双曲线上的动点，是其左、右焦点，是坐标原点，若存在四个点满足，则此双曲线的离心率取值范围 ．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知双曲线的左准线方程为，
设，当点P在双曲线的右支上时，
由双曲线的第二定义可知，则，
由双曲线的定义，可得，
即在右支，，
同理可得：当在左支，，
因为，，，即，
因为，
所以，
即存在四个点满足，即，因为，所以，则.
故答案为：．
【分析】易知双曲线的左准线方程为，设，分点P在双曲线的右支和左支两种情况讨论，结合焦半径公式得到结合存在四个点满足 得到，据此求解即可.
15．（2025高三上·东莞月考）在中，．
（1）求B；
（2）若，，求的面积．
【答案】解：(1)、 ，由正弦定理可得，整理可得，
则，因为，所以；
(2)、由，，可得，由，可得，
，
则的面积.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简可得，再利用余弦定理可求，即可求B的值；（2）利用同角三角函数关系式求，利用正弦定理求，利用两角和的正弦公式求，再利用三角形面积公式求解即可.
16．（2025高三上·东莞月考）已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求k的取值范围；
（3）设n，求证：．
【答案】解：（1）当时，函数定义域为，，
令，解得；令，解得，
则函数单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）函数的定义域为，，
当时，因为，所以，则恒成立，
即在上单调递增恒成立；
当时，令，解得，
当，，单调递增；当，，单调递减；
，与恒成立相矛盾，
综上，k的取值范围为；
（3）由（2）知，当时，，
令，则+，即，
≤，则.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求其导函数，令求单调递增区间，令求单调递减区间；
（2） 先求定义域，再求其导函数 ，对分情况讨论，验证其正确性，进而求出k的取值范围即可；
（3）利用（2）中得出的结论，取，得到不等式，再令证明原不等式.
17．（2025高三上·东莞月考）如图，四边形与均为菱形，，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
【答案】解：（1）设与相交于点，连接，因为四边形为菱形，所以，且为中点，
又因为，所以
又因为，，所以平面；
（2）连接，因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，
又因为为中点，所以，
又因为，，所以平面，则两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为四边形为菱形，，，所以，
又因为为等边三角形，所以，
，
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，得，
设平面的法向量为，则，
令，则，得，
所以，
又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为；
（3）设
则，
所以，
化简得，解得：，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）设与相交于点，连接，根据四边形为菱形，为中点，证明，，再根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）连接，先证明两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（3）设，可得，利用空间向量夹角公式计算即可.
18．（2025高三上·东莞月考）某中学组织运动会，入场式每个班都按排方阵进场，要求每排六个人，某班级第一排6名学生中有2名是班长，其余4名是普通学生.回答下列问题：
（1）该班班主任要求两名班长必须站在队列的最左端和最右端，其余4个学生站在中间，问有多少种不同的排法？
（2）入场式结束后从这6名学生中选出4名参加校运会志愿者活动，要求至多1名班长被选中，问有多少种不同的选法？
（3）若已知选派参加校运会志愿者有两男两女，派两人去沙坑处维持秩序，抽签决定，问在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率.
【答案】（1）解：先安排最左端和最右端，有种；再安排中间的人，有种，
根据分步乘法计数原理，共有种；
（2）解：没有班长，有种；一个班长，有种，
根据分类加法计数原理，共有种；
（3）解：记事件“第一次抽到男生”，事件“第二次抽到女生”，
，，，
则在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【分析】（1）根据分步乘法计数原理求解即可；
（2）根据分类加法计数原理求解即可；
（3）先记事件，利用条件概率公式计算即可.
（1）分两步：第一步先安排最左端和最右端，有种；第二步安排中间的人，有种，
根据分步乘法计数原理，共有种.
（2）分两类：第一类，没有班长，有种；第二类，一个班长，有种.
根据分类加法计数原理，共有种.
（3）记事件“第一次抽到男生”，事件“第二次抽到女生”，
，，，
所以在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率.
19．（2025高三上·东莞月考）如图，已知F是抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，与圆O交于C，D两点（点A，C在第一象限），．
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求凹四边形面积的最小值．
【答案】（1）解：易知抛物线的焦点，
由，解得，
则抛物线方程是 ；
（2）解：设直线，联立，消元整理可得，
又点A在第一象限，所以，
设圆，联立，得，
又点C在第一象限，所以，
由于，则，
故，
记凹四边形的面积为S，则
，
当时，．
当时，，
综上所述，凹四边形面积的最小值是，当时取到．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由抛物线方程求得，根据，求得，即可得抛物线的方程；
（2）设直线，联立直线与抛物线，消元整理，求得的坐标，设圆，联立圆O与抛物线方程，求出的坐标，根据，可得，记凹四边形的面积为S，根据，代入化简整理可得，再分，，结合不等式的性质求解即可.
（1）易知，则，故，抛物线方程是．
（2）设直线，直线与抛物线联立，得，
又点A在第一象限，故
设圆，圆O与抛物线联立，得，
又点C在第一象限，故
由于，
则，
故，
记凹四边形的面积为S，则
①若，．
②若，．
综上所述，凹四边形面积的最小值是，当时取到．
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