浙江省金华市部分示范高中2025~2026学年高一上学期1月素养检测数学试题
1．（2026高一上·金华月考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026高一上·金华月考）若，则“”是“有意义”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
3．（2026高一上·金华月考）已知，则的值是（ ）
A．k B． C． D．
4．（2026高一上·金华月考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026高一上·金华月考）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2026高一上·金华月考）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2026高一上·金华月考）已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026高一上·金华月考）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2026高一上·金华月考）下列命题正确的是（ ）
A．若最小值为3
B．和表示同一个函数
C．若集合满足，那么这样的集合有8个
D．函数过定点
10．（2026高一上·金华月考）如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ）
A．
B．
C．函数在上单调递减
D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为
11．（2026高一上·金华月考）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．为周期函数且周期为12
C． D．
12．（2026高一上·金华月考）已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则 ．
13．（2026高一上·金华月考）已知函数，若，则 ．
14．（2026高一上·金华月考）已知，函数，若对于任意实数a，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则t的取值范围为 ．
15．（2026高一上·金华月考）已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）求在区间上的值域.
16．（2026高一上·金华月考）已知函数．
（1）若，求在区间上的值域；
（2）若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17．（2026高一上·金华月考）已知函数，．
（1）求方程的解；
（2）判断函数的奇偶性与单调性；
（3）对，，使得，求实数m的取值范围．
18．（2026高一上·金华月考）我们知道，若，则有不等式成立（当且仅当时等号成立）．从可以得到．即正数a，b，c的算术平均数的平方不大于a，b，c平方的算术平均数．请运用这个结论解答下列三道题：
（1）求代数式的最大值；
（2）已知，若不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若a，b，，证明：．
19．（2026高一上·金华月考）如图是函数图象的一部分．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，，
则．
故答案为：B．
【分析】先解不等式求得集合U，再根据集合补集的概念求解即可.
2．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：要使有意义，则，即，
即，解得，
故“”是“有意义”的充要条件.
故答案为：D.
【分析】根据偶次根式有意义，求解，结合充分、必要条件的概念判断即可.
3．【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由，可得，即，
则．
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式，结合正切函数的奇偶性求解即可.
4．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由且，可得且，
令，则单调递减，
因为在区间上单调递增，
所以，解得，
则的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】根据且，求得a的范围，令，可得函数的单调性，再利用复合函数的单调性结合对数函数的定义域列不等式组求解即可.
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由，，
可得①，②，
联立①②可得，，
则，
.
故答案为：B．
【分析】利用两角和的余弦公式，以及同角三角函数基本关系化切为弦，联立求得，的值，再利用两角差的余弦公式以及余弦的二倍角公式求解即可．
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为，易知函数在上单调递增，
，即函数是奇函数，
不等式转化为，即，解得，
则的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性将不等式转化为，求实数的取值范围即可.
7．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：，
由，则，
当时，则，
则，
由任意的，均存在，使得，
则有，即.
故答案为：C.
【分析】令原函数可化为，得出在上的值域，在上的值域，则可得，解不等式可得.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：
由题意得，
对恒成立 ，
因为，所以 当时， ，
令，欲使恒成立，
只需满足，当时，恒成立，即，
设，，
，当时等号成立，
即实数a的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】利用余弦的二倍角公式化简函数的解析式，求其定义域，再求导，问题转化为对恒成立，构造函数令，由二次函数的性质列出关于a的不等式组求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】子集与真子集；同一函数的判定；指数型复合函数的性质及应用；基本不等式
【解析】【解答】解：A、由，可得，
则，
当且仅当即时取等号，故A正确；
B、函数和的定义域均为，对应关系不同，不是同一个函数，故B错误；
C、若集合满足，则集合M中一定含有元素1，2，可能含有元素3，4，5，
则集合M的个数即为集合的子集个数，有个，故C正确；
D、令，解得，当时，，即过定点，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用基本不等式求解即可判断A；根据同一函数的定义即可判断B；根据元素与集合的关系及子集个数的求法求解即可判断C；根据指数函数的性质求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、令得，或，，
由图可知：，，，
所以，，
所以，所以，该选项正确，符合题意；
B、所以，由且处在减区间，得，
所以，，所以，，
所以，
，该选项错误，不合题意；
C、当时，，
因为在为减函数，故在上单调递减，该选项正确，符合题意；
D、将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移），
为偶函数得，，
所以，，则的最小值为，该选项正确，符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 图象与直线相邻的三个交点解方程代入，得，可判断A；由得，即，代入可判断B；先求出范围，可判断C；平移得，偶函数得得，得的最小值为，可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解： 对任意的实数，都有， 且，
A、用替换，可得，即，则函数为偶函数，故A正确；
B、用替换，可得，即，
即，即，即，
，则是以12为周期的周期函数，故B正确；
C、用代替可得，
令，得，即，
令，得，即，故C正确；
D、，；
，
则，故D错误．
故答案为：ABC．
【分析】由题意，利用赋值法逐项求解判断即可.
12．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据任意角三角函数定义可得，
则．
故答案为：.
【分析】利用任意角三角函数定义，结合余弦的二倍角公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由，可得，
即，也即，
且，，
两边取对数得：，解得.
故答案为：.
【分析】由，可得，即，，两边取对数得：，解得
14．【答案】
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，
则，函数的图象，如图所示：
令，解得（舍去）或，
若直线过点时，则，
此时直线与的图象有两个交点，由，得，
当，即时，直线与的图象有两个交点，
因为函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，所以，
则t的取值范围为.
故答案为：.
【分析】 由题意可得 ，求出的值，作出函数的图象，利用与直线有且只有三个不同的交点，根据相切和过定点求出两个交点临界位置的，即可求出的取值范围.
15．【答案】（1）解：函数，
令（），解得（），
则函数的单调递减区间为（）；
（2）解：，
当时，，
当时，即时，取最大值，最大值为；
当，即时，取最小值，最小值为，
故函数在区间上的值域为.
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦的二倍角结合辅助角公式化简函数，再求正弦函数的单调减区间即可；
（2）整体代换求出函数的最值进而得出值域.
（1）由题意可得.
令（），
解得（），
故的单调递减区间为（）.
（2），
因为，所以.
当，即时，取得最大值，
最大值为；
当，即时，取得最小值，
最小值为.
故在区间上的值域为.
16．【答案】（1）解：当时，，
设，因为，所以，
则，易得，
即函数的值域为；
（2）解：当时，，，
易知函数的定义域为，满足，即为奇函数，
为上的增函数，为上的减函数，即函数在上为增函数，
不等式，即，即，
即， 变形可得：，即恒成立，
，必有，
则的取值范围为.
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）当时，，令，求得，再利用二次函数的单调性求解即可；
（2）将代入，求定义域，判断函数的奇偶性和单调性，再利用奇函数的性质，结合二次函数的单调性求解即可.
（1）根据题意，若，，
设，由于，则，
则，易得，即函数的值域为.
（2）根据题意，若，，
易得的定义域为，且，则为奇函数
为上的增函数，为上的减函数，故在上为增函数
故
变形可得：，即恒成立
又由，必有，即的取值范围为.
17．【答案】（1）解：函数，
要使有意义，
则，解得，则函数的定义域为，
，
由，得，解得，故方程的解为；
（2）解：由（1）可知：函数的定义域为，
满足，即函数是奇函数，
当时，，
易知在上单调递增，又在上单调递减，
结合复合函数单调性，可得在上单调递减，
因为函数是奇函数，所以在上单调递减；
（3）解：由（2）易得，
设函数，的值域为A，由题意得，
，
当，即时，函数在上递增，则，解得；
当，即时，， 令，得，无解；
当，即时，函数在上递减，则，解得，
综上，.
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据对数函数有意义，列式求函数的定义域，再化简函数，由题意可得，求解即可；
（2）由（1）可知：函数的定义域为， 判断奇偶性，再由复合函数单调性求解即可；
（3）设函数，的值域为A，由题可得，再分类讨论在上的单调性，可得在上的值域，据此求解即可.
（1）由题意得，所以函数的定义域为
由，得，解得．所以方程的解为
（2），
所以函数是奇函数.当时，，
易知在上单调递增，又在上单调递减，
结合复合函数单调性，可得在上单调递减.
又函数是奇函数，则在上单调递减；
（3）由（2）易得，
设函数，的值域为A，由题意得．
.
当，即时，函数在上递增，则，解得；
当，即时，，
令，得，无解：
当，即时，函数在上递减，则，解得；
综上，.
18．【答案】（1）解：要使有意义，则，解得，
当时，，
即，当且仅当，即时等号成立，
因为，所以代数式的最大值为；
（2）解：当时，，
则，即，当且仅当时等号成立，
因此的最小值为，
恒成立恒成立，
故实数m的取值范围是；
（3）证明：因为，
所以
，
当且仅当时等号成立，
故a，b，.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；不等式的证明
【解析】【分析】（1）根据偶次根式有意义，列式求得t的范围，再根据，即，由三个正数的算术几何平均不等式求解即可；
（2）恒成立，分离参数，当时，由，得，求得的最小值可得；
（3）作差之后与零比较大小，结合三个正数的算术几何平均不等式证明即可.
（1）当时，有，
即，当且仅当，即时等号成立．
而，故代数式的最大值为．
（2）当时，有，
所以，即，当且仅当时等号成立．
因此的最小值为．
恒成立恒成立．
故实数m的取值范围是．
（3）因为，
所以
，
当且仅当时等号成立．
故a，b，．
19．【答案】（1）解：由图可得，
函数的最小正周期为，又，
则，所以，
又函数过点，所以，则，
则，解得，
因为，所以，
所以．
（2）解：令，，解得，，
令，，解得，．
因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，．
（3）解：方程，即，即，
因为，所以，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有个解，即，
又的对称轴为，
不妨设个解从小到大依次为，
则关于对称，关于对称，关于对称，
所以，，，
即，，，
解得，，．
所以，
所以，．
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）观察函数图象最大值最小值为可得，由图象得，代入可求出，代入点求出，可得的表达式；
（2）根据正弦函数的性质令，计算可得，可得单调递增区间；同理可得单调递减区间；
（3）原方程可化为，由，所以，令，解方程，在内，关于对称，关于对称，关于对称，得的值.
（1）由图可得，
函数的最小正周期为，又，
则，所以，
又函数过点，所以，则，
则，解得，
因为，所以，
所以．
（2）令，，解得，，
令，，解得，．
因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，．
（3）方程，即，即，
因为，所以，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有个解，即，
又的对称轴为，
不妨设个解从小到大依次为，
则关于对称，关于对称，关于对称，
所以，，，
即，，，
解得，，．
所以，
所以，．
1 / 1浙江省金华市部分示范高中2025~2026学年高一上学期1月素养检测数学试题
1．（2026高一上·金华月考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，，
则．
故答案为：B．
【分析】先解不等式求得集合U，再根据集合补集的概念求解即可.
2．（2026高一上·金华月考）若，则“”是“有意义”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：要使有意义，则，即，
即，解得，
故“”是“有意义”的充要条件.
故答案为：D.
【分析】根据偶次根式有意义，求解，结合充分、必要条件的概念判断即可.
3．（2026高一上·金华月考）已知，则的值是（ ）
A．k B． C． D．
【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由，可得，即，
则．
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式，结合正切函数的奇偶性求解即可.
4．（2026高一上·金华月考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由且，可得且，
令，则单调递减，
因为在区间上单调递增，
所以，解得，
则的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】根据且，求得a的范围，令，可得函数的单调性，再利用复合函数的单调性结合对数函数的定义域列不等式组求解即可.
5．（2026高一上·金华月考）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由，，
可得①，②，
联立①②可得，，
则，
.
故答案为：B．
【分析】利用两角和的余弦公式，以及同角三角函数基本关系化切为弦，联立求得，的值，再利用两角差的余弦公式以及余弦的二倍角公式求解即可．
6．（2026高一上·金华月考）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为，易知函数在上单调递增，
，即函数是奇函数，
不等式转化为，即，解得，
则的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性将不等式转化为，求实数的取值范围即可.
7．（2026高一上·金华月考）已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：，
由，则，
当时，则，
则，
由任意的，均存在，使得，
则有，即.
故答案为：C.
【分析】令原函数可化为，得出在上的值域，在上的值域，则可得，解不等式可得.
8．（2026高一上·金华月考）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：
由题意得，
对恒成立 ，
因为，所以 当时， ，
令，欲使恒成立，
只需满足，当时，恒成立，即，
设，，
，当时等号成立，
即实数a的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】利用余弦的二倍角公式化简函数的解析式，求其定义域，再求导，问题转化为对恒成立，构造函数令，由二次函数的性质列出关于a的不等式组求解即可.
9．（2026高一上·金华月考）下列命题正确的是（ ）
A．若最小值为3
B．和表示同一个函数
C．若集合满足，那么这样的集合有8个
D．函数过定点
【答案】A,C
【知识点】子集与真子集；同一函数的判定；指数型复合函数的性质及应用；基本不等式
【解析】【解答】解：A、由，可得，
则，
当且仅当即时取等号，故A正确；
B、函数和的定义域均为，对应关系不同，不是同一个函数，故B错误；
C、若集合满足，则集合M中一定含有元素1，2，可能含有元素3，4，5，
则集合M的个数即为集合的子集个数，有个，故C正确；
D、令，解得，当时，，即过定点，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用基本不等式求解即可判断A；根据同一函数的定义即可判断B；根据元素与集合的关系及子集个数的求法求解即可判断C；根据指数函数的性质求解即可判断D.
10．（2026高一上·金华月考）如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ）
A．
B．
C．函数在上单调递减
D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、令得，或，，
由图可知：，，，
所以，，
所以，所以，该选项正确，符合题意；
B、所以，由且处在减区间，得，
所以，，所以，，
所以，
，该选项错误，不合题意；
C、当时，，
因为在为减函数，故在上单调递减，该选项正确，符合题意；
D、将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移），
为偶函数得，，
所以，，则的最小值为，该选项正确，符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 图象与直线相邻的三个交点解方程代入，得，可判断A；由得，即，代入可判断B；先求出范围，可判断C；平移得，偶函数得得，得的最小值为，可判断D.
11．（2026高一上·金华月考）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．为周期函数且周期为12
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解： 对任意的实数，都有， 且，
A、用替换，可得，即，则函数为偶函数，故A正确；
B、用替换，可得，即，
即，即，即，
，则是以12为周期的周期函数，故B正确；
C、用代替可得，
令，得，即，
令，得，即，故C正确；
D、，；
，
则，故D错误．
故答案为：ABC．
【分析】由题意，利用赋值法逐项求解判断即可.
12．（2026高一上·金华月考）已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则 ．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据任意角三角函数定义可得，
则．
故答案为：.
【分析】利用任意角三角函数定义，结合余弦的二倍角公式求解即可.
13．（2026高一上·金华月考）已知函数，若，则 ．
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由，可得，
即，也即，
且，，
两边取对数得：，解得.
故答案为：.
【分析】由，可得，即，，两边取对数得：，解得
14．（2026高一上·金华月考）已知，函数，若对于任意实数a，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则t的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，
则，函数的图象，如图所示：
令，解得（舍去）或，
若直线过点时，则，
此时直线与的图象有两个交点，由，得，
当，即时，直线与的图象有两个交点，
因为函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，所以，
则t的取值范围为.
故答案为：.
【分析】 由题意可得 ，求出的值，作出函数的图象，利用与直线有且只有三个不同的交点，根据相切和过定点求出两个交点临界位置的，即可求出的取值范围.
15．（2026高一上·金华月考）已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）求在区间上的值域.
【答案】（1）解：函数，
令（），解得（），
则函数的单调递减区间为（）；
（2）解：，
当时，，
当时，即时，取最大值，最大值为；
当，即时，取最小值，最小值为，
故函数在区间上的值域为.
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦的二倍角结合辅助角公式化简函数，再求正弦函数的单调减区间即可；
（2）整体代换求出函数的最值进而得出值域.
（1）由题意可得.
令（），
解得（），
故的单调递减区间为（）.
（2），
因为，所以.
当，即时，取得最大值，
最大值为；
当，即时，取得最小值，
最小值为.
故在区间上的值域为.
16．（2026高一上·金华月考）已知函数．
（1）若，求在区间上的值域；
（2）若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
设，因为，所以，
则，易得，
即函数的值域为；
（2）解：当时，，，
易知函数的定义域为，满足，即为奇函数，
为上的增函数，为上的减函数，即函数在上为增函数，
不等式，即，即，
即， 变形可得：，即恒成立，
，必有，
则的取值范围为.
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）当时，，令，求得，再利用二次函数的单调性求解即可；
（2）将代入，求定义域，判断函数的奇偶性和单调性，再利用奇函数的性质，结合二次函数的单调性求解即可.
（1）根据题意，若，，
设，由于，则，
则，易得，即函数的值域为.
（2）根据题意，若，，
易得的定义域为，且，则为奇函数
为上的增函数，为上的减函数，故在上为增函数
故
变形可得：，即恒成立
又由，必有，即的取值范围为.
17．（2026高一上·金华月考）已知函数，．
（1）求方程的解；
（2）判断函数的奇偶性与单调性；
（3）对，，使得，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：函数，
要使有意义，
则，解得，则函数的定义域为，
，
由，得，解得，故方程的解为；
（2）解：由（1）可知：函数的定义域为，
满足，即函数是奇函数，
当时，，
易知在上单调递增，又在上单调递减，
结合复合函数单调性，可得在上单调递减，
因为函数是奇函数，所以在上单调递减；
（3）解：由（2）易得，
设函数，的值域为A，由题意得，
，
当，即时，函数在上递增，则，解得；
当，即时，， 令，得，无解；
当，即时，函数在上递减，则，解得，
综上，.
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据对数函数有意义，列式求函数的定义域，再化简函数，由题意可得，求解即可；
（2）由（1）可知：函数的定义域为， 判断奇偶性，再由复合函数单调性求解即可；
（3）设函数，的值域为A，由题可得，再分类讨论在上的单调性，可得在上的值域，据此求解即可.
（1）由题意得，所以函数的定义域为
由，得，解得．所以方程的解为
（2），
所以函数是奇函数.当时，，
易知在上单调递增，又在上单调递减，
结合复合函数单调性，可得在上单调递减.
又函数是奇函数，则在上单调递减；
（3）由（2）易得，
设函数，的值域为A，由题意得．
.
当，即时，函数在上递增，则，解得；
当，即时，，
令，得，无解：
当，即时，函数在上递减，则，解得；
综上，.
18．（2026高一上·金华月考）我们知道，若，则有不等式成立（当且仅当时等号成立）．从可以得到．即正数a，b，c的算术平均数的平方不大于a，b，c平方的算术平均数．请运用这个结论解答下列三道题：
（1）求代数式的最大值；
（2）已知，若不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若a，b，，证明：．
【答案】（1）解：要使有意义，则，解得，
当时，，
即，当且仅当，即时等号成立，
因为，所以代数式的最大值为；
（2）解：当时，，
则，即，当且仅当时等号成立，
因此的最小值为，
恒成立恒成立，
故实数m的取值范围是；
（3）证明：因为，
所以
，
当且仅当时等号成立，
故a，b，.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；不等式的证明
【解析】【分析】（1）根据偶次根式有意义，列式求得t的范围，再根据，即，由三个正数的算术几何平均不等式求解即可；
（2）恒成立，分离参数，当时，由，得，求得的最小值可得；
（3）作差之后与零比较大小，结合三个正数的算术几何平均不等式证明即可.
（1）当时，有，
即，当且仅当，即时等号成立．
而，故代数式的最大值为．
（2）当时，有，
所以，即，当且仅当时等号成立．
因此的最小值为．
恒成立恒成立．
故实数m的取值范围是．
（3）因为，
所以
，
当且仅当时等号成立．
故a，b，．
19．（2026高一上·金华月考）如图是函数图象的一部分．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值．
【答案】（1）解：由图可得，
函数的最小正周期为，又，
则，所以，
又函数过点，所以，则，
则，解得，
因为，所以，
所以．
（2）解：令，，解得，，
令，，解得，．
因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，．
（3）解：方程，即，即，
因为，所以，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有个解，即，
又的对称轴为，
不妨设个解从小到大依次为，
则关于对称，关于对称，关于对称，
所以，，，
即，，，
解得，，．
所以，
所以，．
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）观察函数图象最大值最小值为可得，由图象得，代入可求出，代入点求出，可得的表达式；
（2）根据正弦函数的性质令，计算可得，可得单调递增区间；同理可得单调递减区间；
（3）原方程可化为，由，所以，令，解方程，在内，关于对称，关于对称，关于对称，得的值.
（1）由图可得，
函数的最小正周期为，又，
则，所以，
又函数过点，所以，则，
则，解得，
因为，所以，
所以．
（2）令，，解得，，
令，，解得，．
因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，．
（3）方程，即，即，
因为，所以，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有个解，即，
又的对称轴为，
不妨设个解从小到大依次为，
则关于对称，关于对称，关于对称，
所以，，，
即，，，
解得，，．
所以，
所以，．
1 / 1
