湖南省邵阳市海谊中学2025-2026学年高二上学期12月阶段检测数学试题
1．（2025高二上·邵阳月考）已知复数z满（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·邵阳月考）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·邵阳月考）从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是.则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24
4．（2025高二上·邵阳月考）已知为单位向量，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·邵阳月考） 设椭圆 的离心率分别为.若 ， 则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·邵阳月考）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
7．（2025高二上·邵阳月考）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．（2025高二上·邵阳月考）已知，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．平面ABC的一个法向量是
9．（2025高二上·邵阳月考）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．P到最小的距离是2
C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9
10．（2025高二上·邵阳月考）已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
11．（2025高二上·邵阳月考）双曲线的渐近线方程是 ．
12．（2025高二上·邵阳月考）若两条直线与平行，则与间的距离是 .
13．（2025高二上·邵阳月考）抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为，则抛物线的方程为 ．
14．（2025高二上·邵阳月考）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为 ．
15．（2025高二上·邵阳月考）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
16．（2025高二上·邵阳月考）已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为．
（1）求经过点且与直线垂直的直线方程；
（2）求以线段为直径的圆的方程．
17．（2025高二上·邵阳月考）在正四棱柱中，是棱上的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（2025高二上·邵阳月考）已知抛物线经过点.
（1）求的方程；
（2）若是上异于的一点，且直线的倾斜角为，求线段的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用复数的四则运算两边同乘以-i，再利用分母实数化即可得解.
2．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：由，得，
所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，
则，解得.
故答案为：D
【分析】将直线方程化为，，解得方程可得.
3．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：原数据组由小到大排列为：，
所以这组数据的众数和中位数分别是23，24.
故答案为：C
【分析】将数据由小到大排列为：，得这组数据的众数和中位数分别是23，24.
4．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为为单位向量，且，
所以，得，
所以，
因为，所以.
故答案为：C
【分析】由得，展开可求出，代入数量积公式可得余弦值，解方程得解.
5．【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由题意结合可得，
又∵，即，解得.
故选：A
【分析】 由椭圆标准方程得出参数a、b值，由参数关系与离心率公式即得答案。
6．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由，可得，
，解得．
故答案为：B.
【分析】由题意可得，根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可求的值.
7．【答案】D
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由圆的方程知：圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所求弦长为.
故答案为：.
【分析】由圆方程得圆心，半径，代入点到直线距离公式得圆心到直线的距离，代入垂径定理求得结果.
8．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：，
A、易知，，故A错误；
B、，故B正确；
C、易知，，
，则，故C正确；
D、，，
若平面ABC的一个法向量是，满足，，
则是平面的一个法向量，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】先求的坐标，再根据向量模的坐标表示求解即可判断A；终点坐标减区起点坐标验算即可判断B；先求坐标，验证数量积是否等于0即可判断C；设平面ABC的一个法向量是，验证与的数量积是否为零即可判断D.
9．【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆方程可得：，则，
A、根据椭圆的定义可得，该选项正确，符合题意；
B、根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，
最小值为，该选项错误，不合题意；
C、根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，
最大值为，该选项错误，不合题意；
D、根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，
最小值为，该选项正确，符合题意.
故答案为：AD.
【分析】由椭圆的定义可得，可判断A；根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，最小值为，可判断B；根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，最大值为，可判断C；根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，最小值为，可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】用斜率判定两直线垂直；恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
因为直线恒过定点，而，即在圆内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；
对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用直线系方程求出直线恒过定点，判断A、C；求出使得直线与直线垂直时，判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.
11．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：令，解得，则渐近线为.
故答案为：.
【分析】令，求解渐近线方程即可.
12．【答案】
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：根据题意，a-2×1=0，解得a=2，经检验两直线不重合，所以a=2，与间的距离为.
故答案为：.
【分析】根据直线平行求解a，经检验后根据距离公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的准线为，
由题意，结合抛物线的定义可得：点的纵坐标，
因为点到轴的距离为，所以点的横坐标，
代入抛物线方程，得，解得，
则抛物线的方程为.
故答案为：.
【分析】易知抛物线的准线为，由题意，根据抛物线的定义求得点的纵坐标，再根据点到轴的距离为得到点的横坐标，最后将点的坐标代入抛物线方程求解即可.
14．【答案】x+y-2=0
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，
所以直线的方程为x+y-2=0.
故答案为：x+y-2=0
【分析】 求出以P (2， 2)， C (0， 0)为直径的圆的方程，将两圆的方程相减，即可求解出直线的方程 .
15．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题可知，又，解得，
由勾股定理，得，即，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意画出双曲线大致图象，根据对称性求出，结合双曲线第一定义求出，再由勾股定理求出，即可得到的值，从而求出离心率.
16．【答案】（1）解：易知的斜率为，故所求直线斜率是，
所求直线过点，
所求直线方程为，
即；
（2）解：联立方程组，解得，
故，又，
由中点坐标公式得线段的中点坐标为，
由两点间距离公式得，
即圆心为，半径，
故所求圆的方程为．
【知识点】两条直线垂直的判定；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）根据垂直可得直线斜率是， 用点斜式可得直线方程 ；
（2）联立直线可得点（2，4），由两点间距离公式得，
即圆心为，半径，可得圆的标准方程．
（1）易知的斜率为，故所求直线斜率是，
所求直线过点，
所求直线方程为，
即；
（2）联立方程组，解得，
故，又，
由中点坐标公式得线段的中点坐标为，
由两点间距离公式得，
即圆心为，半径，
故所求圆的方程为．
17．【答案】（1）证明：如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
，
因为，
所以.
（2）解：由题可知，.
则，
设平面的法向量为，
则有，即，
不妨取，则，故.
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）如图建系，分别列出点、线的向量坐标，验证得证；
（2）分别求出与平面的法向量，代入向量夹角公式计算即可.
（1）如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
，
因为，
所以.
（2）由题可知，.
则，
设平面的法向量为，
则有，即，
不妨取，则，故.
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：因为抛物线经过点，所以，解得，
则的方程为；
（2）解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
直线的方程为，即，
联立，消元整理得，解得或，即的坐标为，
则，即线段的长为.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将点代入抛物线求解即可；
（2）由题意可得直线的斜率，利用点斜式求直线方程，联立直线与抛物线方程，求得点B坐标，利用两点间距离公式求线段的长即可.
（1）由抛物线经过点，得，解得，
所以的方程为.
（2）因为直线的倾斜角为，
所以直线的方程为，即.
由，得，解得或，
所以的坐标为
所以，即线段的长为.
1 / 1湖南省邵阳市海谊中学2025-2026学年高二上学期12月阶段检测数学试题
1．（2025高二上·邵阳月考）已知复数z满（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用复数的四则运算两边同乘以-i，再利用分母实数化即可得解.
2．（2025高二上·邵阳月考）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：由，得，
所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，
则，解得.
故答案为：D
【分析】将直线方程化为，，解得方程可得.
3．（2025高二上·邵阳月考）从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是.则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：原数据组由小到大排列为：，
所以这组数据的众数和中位数分别是23，24.
故答案为：C
【分析】将数据由小到大排列为：，得这组数据的众数和中位数分别是23，24.
4．（2025高二上·邵阳月考）已知为单位向量，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为为单位向量，且，
所以，得，
所以，
因为，所以.
故答案为：C
【分析】由得，展开可求出，代入数量积公式可得余弦值，解方程得解.
5．（2025高二上·邵阳月考） 设椭圆 的离心率分别为.若 ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由题意结合可得，
又∵，即，解得.
故选：A
【分析】 由椭圆标准方程得出参数a、b值，由参数关系与离心率公式即得答案。
6．（2025高二上·邵阳月考）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由，可得，
，解得．
故答案为：B.
【分析】由题意可得，根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可求的值.
7．（2025高二上·邵阳月考）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由圆的方程知：圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所求弦长为.
故答案为：.
【分析】由圆方程得圆心，半径，代入点到直线距离公式得圆心到直线的距离，代入垂径定理求得结果.
8．（2025高二上·邵阳月考）已知，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．平面ABC的一个法向量是
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：，
A、易知，，故A错误；
B、，故B正确；
C、易知，，
，则，故C正确；
D、，，
若平面ABC的一个法向量是，满足，，
则是平面的一个法向量，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】先求的坐标，再根据向量模的坐标表示求解即可判断A；终点坐标减区起点坐标验算即可判断B；先求坐标，验证数量积是否等于0即可判断C；设平面ABC的一个法向量是，验证与的数量积是否为零即可判断D.
9．（2025高二上·邵阳月考）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．P到最小的距离是2
C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9
【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆方程可得：，则，
A、根据椭圆的定义可得，该选项正确，符合题意；
B、根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，
最小值为，该选项错误，不合题意；
C、根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，
最大值为，该选项错误，不合题意；
D、根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，
最小值为，该选项正确，符合题意.
故答案为：AD.
【分析】由椭圆的定义可得，可判断A；根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，最小值为，可判断B；根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，最大值为，可判断C；根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，最小值为，可判断D.
10．（2025高二上·邵阳月考）已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
【答案】B,C
【知识点】用斜率判定两直线垂直；恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
因为直线恒过定点，而，即在圆内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；
对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用直线系方程求出直线恒过定点，判断A、C；求出使得直线与直线垂直时，判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.
11．（2025高二上·邵阳月考）双曲线的渐近线方程是 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：令，解得，则渐近线为.
故答案为：.
【分析】令，求解渐近线方程即可.
12．（2025高二上·邵阳月考）若两条直线与平行，则与间的距离是 .
【答案】
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：根据题意，a-2×1=0，解得a=2，经检验两直线不重合，所以a=2，与间的距离为.
故答案为：.
【分析】根据直线平行求解a，经检验后根据距离公式求解即可.
13．（2025高二上·邵阳月考）抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为，则抛物线的方程为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的准线为，
由题意，结合抛物线的定义可得：点的纵坐标，
因为点到轴的距离为，所以点的横坐标，
代入抛物线方程，得，解得，
则抛物线的方程为.
故答案为：.
【分析】易知抛物线的准线为，由题意，根据抛物线的定义求得点的纵坐标，再根据点到轴的距离为得到点的横坐标，最后将点的坐标代入抛物线方程求解即可.
14．（2025高二上·邵阳月考）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为 ．
【答案】x+y-2=0
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，
所以直线的方程为x+y-2=0.
故答案为：x+y-2=0
【分析】 求出以P (2， 2)， C (0， 0)为直径的圆的方程，将两圆的方程相减，即可求解出直线的方程 .
15．（2025高二上·邵阳月考）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题可知，又，解得，
由勾股定理，得，即，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意画出双曲线大致图象，根据对称性求出，结合双曲线第一定义求出，再由勾股定理求出，即可得到的值，从而求出离心率.
16．（2025高二上·邵阳月考）已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为．
（1）求经过点且与直线垂直的直线方程；
（2）求以线段为直径的圆的方程．
【答案】（1）解：易知的斜率为，故所求直线斜率是，
所求直线过点，
所求直线方程为，
即；
（2）解：联立方程组，解得，
故，又，
由中点坐标公式得线段的中点坐标为，
由两点间距离公式得，
即圆心为，半径，
故所求圆的方程为．
【知识点】两条直线垂直的判定；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）根据垂直可得直线斜率是， 用点斜式可得直线方程 ；
（2）联立直线可得点（2，4），由两点间距离公式得，
即圆心为，半径，可得圆的标准方程．
（1）易知的斜率为，故所求直线斜率是，
所求直线过点，
所求直线方程为，
即；
（2）联立方程组，解得，
故，又，
由中点坐标公式得线段的中点坐标为，
由两点间距离公式得，
即圆心为，半径，
故所求圆的方程为．
17．（2025高二上·邵阳月考）在正四棱柱中，是棱上的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
，
因为，
所以.
（2）解：由题可知，.
则，
设平面的法向量为，
则有，即，
不妨取，则，故.
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）如图建系，分别列出点、线的向量坐标，验证得证；
（2）分别求出与平面的法向量，代入向量夹角公式计算即可.
（1）如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
，
因为，
所以.
（2）由题可知，.
则，
设平面的法向量为，
则有，即，
不妨取，则，故.
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
18．（2025高二上·邵阳月考）已知抛物线经过点.
（1）求的方程；
（2）若是上异于的一点，且直线的倾斜角为，求线段的长.
【答案】（1）解：因为抛物线经过点，所以，解得，
则的方程为；
（2）解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
直线的方程为，即，
联立，消元整理得，解得或，即的坐标为，
则，即线段的长为.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将点代入抛物线求解即可；
（2）由题意可得直线的斜率，利用点斜式求直线方程，联立直线与抛物线方程，求得点B坐标，利用两点间距离公式求线段的长即可.
（1）由抛物线经过点，得，解得，
所以的方程为.
（2）因为直线的倾斜角为，
所以直线的方程为，即.
由，得，解得或，
所以的坐标为
所以，即线段的长为.
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