2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册课时达标4.1数列的概念 第1课时 数列的概念与简单表示（含解析）

4.1　数列的概念
第1课时　数列的概念与简单表示
一．选择题
1.(探究点一)(多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A.1,,…,,…
B.sin,sin,sin,…,sin,…
C.-1,-,-,-,…,-,…
D.1,,…,,…
2.[探究点二(角度1,2)]若一数列为1,37,314,321,…,则398(　　)
A.不在此数列中 B.是这个数列的第13项
C.是这个数列的第14项 D.是这个数列的第15项
3.[探究点二(角度2)]英国传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲,西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 025这2 025个数中,被2除余1,且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a18=(　　)
A.161 B.171
C.181 D.191
4.[探究点三(角度2)]数列{an}的通项公式为an=(n-λ)·2n(n=1,2,…),若{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是(　　)
A.[1,+∞) B.(1+log2e,3)
C.(-∞,1+log2e] D.(-∞,3)
5.[探究点二(角度2)](多选题)已知n∈N*,给出4个表达式,其中能作为数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是(　　)
A.an= B.an=
C.an= D.an=|sin|
6.[探究点三(角度3)](多选题)(2025江苏盐城模拟)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,则(　　)
A.该数列仅有6个正数项
B.该数列有无限多个负数项
C.该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值
D.-70是该数列中的一项
7.设an=+…+(n∈N*),则a2等于(　　)
A. B.
C. D.
8.(2025广东汕头高三开学考试)已知数列an=(n∈N*),则数列{an}的前100项中的最小项和最大项分别是(　　)
A.a1,a100 B.a45,a44
C.a45,a1 D.a44,a100
9.将正整数排成下表:
1
2　3　4
5　6　7　8　9
10　11　12　13　14　15　16
……
则表中数字2 021出现在(　　)
A.第44行第77列 B.第45行第82列
C.第45行第85列 D.第45行第88列
10.(多选题)已知函数f(x)=(x∈R),设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N*),则下列选项正确的是(　　)
A.f(x)的值域是R
B.an的最小值为a1=
C.an<1
D.数列{an}是递增数列
二．填空题
11.[探究点三(角度3)]在数列{an}中,an=-n2+8n+9,则数列{an}的最大项是第　　　　　项.
12.[探究点二(角度1)]已知数列{an}的通项公式为an=,则a10=　　　　　,若an=,则n=　　　　　.
13.[探究点二(角度1)]已知数列{an}的通项公式为an=2 021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为　　　　　.
14.已知数列{an}满足an=2n,数列{bn}满足bn=5n+2(n∈N*),若bk是数列{an}中的项,则k的最小值为　　　　　.
三．解答题
15.[探究点二(角度1)]已知数列{an}的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它的图象:
(1)an=2;
(2)bn=
16.[探究点二(角度1,2)]已知无穷数列,….
(1)求出这个数列的一个通项公式.
(2)该数列在区间内有没有项 若有,有几项
17.(2025河南驻马店高二检测)已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)问是不是这个数列的项 如果是,为第几项;如果不是,请说明理由.
(2)判断数列{an}的增减性并证明.
参考答案
1.CD　选项C,D既是无穷数列又是递增数列.
2.D　因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,所以符合题意的一个通项公式为an=37(n-1).
由37(n-1)=398,解得n=15,所以398是这个数列的第15项.
3.B　由题意可知an-1既是2的倍数,也是5的倍数,
即an-1是10的倍数,则an-1=10(n-1)(n∈N*),
故a18=10×(18-1)+1=171.
4.D　因为数列{an}的通项公式为an=(n-λ)·2n(n=1,2,…),且{an}是递增数列,
所以an所以(n-λ)·2n<(n+1-λ)·2n+1对于 n∈N*都成立,
即n-λ<2(n+1-λ)对于 n∈N*都成立,
所以λ5.ABC　对于A,n为奇数时,an=0;n为偶数时,an=1,满足条件;
对于B,n为奇数时,an=0;n为偶数时,an=1,满足条件;
对于C,n为奇数时,an=0;n为偶数时,an=1,满足条件;
对于D,n=1时,a1=1;n=2时,a2=0,以此类推,不满足条件.故选ABC.
6.ABD　令-2n2+13n>0,解得0由an=-2,当n=3时,数列{an}取最大值,而对函数f(x)=-2x2+13x,当x=时,取最大值,故C错误;
令-2n2+13n=-70,解得n=10或n=-(舍去),即-70是该数列的第10项,故D正确.故选ABD.
7.C　∵an=+…+(n∈N*),
∴a2=.
8.B　由题可得,an==1+(n∈N*).
因为442<2 024<452,
所以n≤44,n∈N*时,数列{an}单调递增,且an>1;n≥45,n∈N*时,数列{an}单调递增,且an<1.
所以在数列{an}的前100项中最小项和最大项分别是a45,a44.
9.C　因为每行的最后一个数分别为1,4,9,16,…,所以可归纳出第n行的最后一个数为n2,又因为442=1 936<2 021,452=2 025>2 021,所以2 021在第45行,且第45行最后一个数为2 025,
又因为第1行有1个数,第2行有3个数,第3行有5个数,第4行有7个数,…,由此可归纳出第n行有(2n-1)个数,所以第45行共有89个数,
又因为第45行的最后一个数是2 025,即第89个数是2 025,
所以第88个数是2 024,第87个数是2 023,第86个数是2 022,第85个数是2 021.故选C.
10.BCD　由于f(x)==1-<1(x∈R),故A错误;
∵f(x)=(x∈R),∴an=f(n)==1-(n∈N*),
∵an+1-an=(1-)-(1-)=>0,
∴{an}是递增数列,又n∈N*,>0,∴f(1)≤f(n)<1,
即≤f(n)<1,
即an的最小值为a1=,故B,C,D正确.故选BCD.
11.4　an=-n2+8n+9=-(n-4)2+25,当n=4时,an取得最大值.
12.　12　因为an=,
所以a10=.
令an=,得n2+2n-168=0,
解得n=12或n=-14(舍去).
13.673　由an=2 021-3n>0,得n<=673,又因为n∈N*,所以正整数n的最大值为673.
14.6　由题知,{bn}的前6项依次为7,12,17,22,27,32.因为b6=32=25=a5,故k的最小值为6.
15.解列表法给出这两个数列的前5项:
n 1 2 3 4 5
an 2 2 2 2 2
bn 1 -4 3 -16 5
它们的图象分别为
16.解(1)∵数列各项的分子依次为4,9,16,25,…,可看成与n有关的关系式(n+1)2,而每一项的分母恰好比分子大1,
∴通项公式的分母可以表示为(n+1)2+1,
故该数列的一个通项公式为an=(n=1,2,…).
(2)当≤an≤时,可得,解得2≤n≤5,故数列在内有项,并且有4项.
17.解(1)是这个数列的第17项.理由如下:
由an=,解得n=17,
故是数列{an}中的第17项.
(2)数列{an}是递增数列,证明如下:
由题知,an+1-an=.
∵n∈N*,∴n+51>0,n+52>0,
即an+1-an>0,
∴数列{an}是递增数列.