2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册课时达标4.1数列的概念　第2课时　数列的递推公式（含解析）

4.1数列的概念
第2课时　数列的递推公式
一．选择题
1.(探究点一)已知数列{an}满足a1=2,an=2-(n≥2),则a4=(　　)
A. B. C. D.
2.(探究点三)已知数列{an}的前n项和Sn=,则a6的值等于(　　)
A. B.- C. D.-
3.(探究点三)已知数列{an}的前n项和Sn=4n2-10n,则a2a6=(　　)
A.52 B.68 C.96 D.108
4.(探究点一)在数列{an}中,a1=,an=1-(n≥2,n∈N*),则a2 025=(　　)
A. B.1 C.-1 D.2
5.(探究点二)已知数列{an}的项满足an+1=an,而a1=1,则an=(　　)
A. B.
C. D.
6.(探究点三)(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-10n,则下列结论正确的有(　　)
A.{an}是递减数列
B.a6>0
C.S11>0
D.当Sn取最小值时,n=5
7.已知数列{an}满足a1++…+=1-,则an=(　　)
A.1- B. C. D.
8.(多选题)(2025湖南长沙高二检测)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,它的研究对象普遍存在于自然界中,因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律,可得如图2所示的一个树状图.若记图2中第n行黑圈的个数为an,白圈的个数为bn,则下列结论正确的是(　　)
图1
图2
A.a4=8 B.b5=13
C.bn+1=2an-bn D.an+1=2an+bn
二．填空题
9.(探究点一)若数列{an}满足an+1=2an-1,且a8=16,则a6=　　　　　.
10. (探究点二)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,….球数构成一个数列{an},满足an=an-1+n,n>1且n∈N*.则该数列{an}的通项公式为　　　　　.
11.在数列{an}中,a1=1,an-an-1=n(n∈N*,n≥2),则的最小值是　　　　　.
12.(2025江苏南通模拟)如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,图中虚线上的数1,3,6,10,…构成数列{an},记an为该数列的第n项,则a63=　　　　　.
三．解答题
13.(探究点三·人教B版教材习题)已知在数列{an}中,前n项和Sn=,求{an}的通项公式.
14.(探究点二)已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+(n≥2),求an.
15.(探究点四)如图,直线l1:y=-与l2:y=相交于点M.直线l1与x轴交于点M1,过点M1作x轴的垂线交直线l2于点N1,过点N1作y轴的垂线交直线l1于点M2,过点M2作x轴的垂线交直线l2于点N2,……这样一直作下去,可得到一系列点M1,N1,M2,N2,M3,……点Mn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{xn}.求x1,x2,x3的值,并求xn+1与xn的关系式.
16.已知在数列{an}中,a1=1,以后各项满足an=an-1+(n≥2).
(1)写出数列{an}的前5项;
(2)求数列{an}的通项公式.
参考答案
1.D　∵数列{an}满足a1=2,an=2-(n≥2),
∴a2=2-,a3=2-,a4=2-.故选D.
2.D　a6=S6-S5==-.故选D.
3.B　由题意,可得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14,所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.
4.D　a1=,a2=1-=1-2=-1,a3=1-=1+1=2,a4=1-=1-,
可得数列{an}是以3为周期的周期数列,∴a2 025=a3×675=a3=2.
故选D.
5.B　由an+1=an,得,所以当n≥2时,,…,,
所以·…·×…×,
所以,
因为a1=1,所以an=,n≥2.
因为a1=1满足上式,所以an=.故选B.
6.BCD　∵数列{an}的前n项和为Sn=n2-10n,∴a1=S1=-9,
当n≥2时,an=Sn-=(n2-10n)-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11,n=1时也满足,是递增数列,故A错误;
再根据a6=2×6-11=1,故B正确;
再根据S11=112-10×11=11,故C正确;
再根据数列{an}的前n项和为Sn=n2-10n=(n-5)2-25,故当n=5时,Sn取得最小值,故D正确.故选BCD.
7.D　a1++…+=1-,①
当n≥2时,a1++…+=1-,②
则①-②得,,
故an=(n≥2).
当n=1时,a1=,也符合上式,故an=.故选D.
8.ABD　已知an表示第n行黑圈的个数,bn表示第n行白圈的个数,则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈,一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈,所以an+1=2an+bn,bn+1=an+bn,故C错误,D正确;
又a1=0,b1=1,所以a2=1,b2=1,a3=2×1+1=3,b3=1+1=2,a4=2×3+2=8,b4=3+2=5,a5=2×8+5=21,b5=8+5=13,故A,B正确.
9.　∵an+1=2an-1,
∴a8=2a7-1=16,解得a7=,
又a7=2a6-1=,解得a6=.
10.an=　因为an=an-1+n,n>1,所以an-an-1=n,n>1,
所以当n>1时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=.
又a1=1,所以当n=1时,上式也成立,所以an=.
11.1　由题意可得当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=,
当n=1时,a1=1,满足上式.
则[(n+1)+-1].
因为n∈N*,n+1≥2,
所以(n+1)+≥3,
则(n+1)+-1≥2,故×2=1,当且仅当n=1时,等号成立.
12.2 016　依题意,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,
于是有an+1-an=n+1(n∈N*),
则当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+n=.
又a1=1满足上式,因此an=,所以a63==2 016.
13.解 Sn==1+,
当n=1时,a1=S1=1+1=2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=1+-1-,a1不满足该式.
∴an=
14.解 因为an=an-1+(n≥2),所以an-an-1=(n≥2).
所以当n≥2时,an=(an-an-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1=()+()+…+()+1=+1.又当n=1时,a1=1也符合上式,所以an=+1,n∈N*.
15.解因为M1(5,0),所以x1=5,N1(5,3),
所以M2(-7,3),
所以x2=-7,N2(-7,-3),
所以M3(17,-3),所以x3=17.
因为Mn,
所以Nn,
所以Mn+1,
故=-,
即xn+1=-2xn+3.
16.解 (1)a1=1;a2=a1+;a3=a2+;a4=a3+;a5=a4+.
(2)由an=an-1+得an-an-1=(n≥2),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=+…++1=()+()+…+()+(1-)+1=-+1+1=2-(n≥2).
当n=1时,a1=1符合上式,
∴an=(n∈N*).