3.1.1 第1课时 基本计数原理（教师版）
文档属性
| 名称 | 3.1.1 第1课时 基本计数原理（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 437.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
INCLUDEPICTURE "数学RJBXZXBX2第三章LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\数学RJBXZXBX2第三章LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
3．1 排列与组合
3．1.1 基本计数原理
3．1.1 第1课时 基本计数原理
1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 2.能准确应用两个计数原理解决一些简单的实际问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
随着我国人民生活水平的不断提高，“家庭理财”已经成为普通家庭经常关注的问题．理财方式有很多，相对稳定的有人民币定期储蓄和购买国债两种形式，其中人民币定期储蓄有一年期、二年期、三年期和五年期四种，购买国债有一年期、二年期和三年期三种．
思考1 某公司职员史先生正处于试用期，收入有限，计划从上述方案中选择一种方法来投资，问：史先生共有多少种不同的理财方法？
提示：史先生有两类不同的选择：第一类，从四种人民币定期储蓄中任意选择一种投资方法；第二类，从三种国债中任意选择一种投资方法，以上任选一种方法都能达到理财的目的，因此史先生共有4＋3＝7种不同的理财方法．
思考2 史先生工作努力，工资收入有了较大提高，可从两种投资形式中各选择一种方法同时投资，问：史先生共有多少种不同的理财方法？
提示：不妨设四种定期储蓄为A1，A2，A3，A4，三种购买国债为B1，B2，B3，从这两种投资形式中各选择一种，用树形图表示为共有12种．
思考3 观察思考2的结果与两种投资的种数之间有什么关系？
提示： 4×3＝12为两种投资的种数之积，即为思考2中史先生的12种不同的理财方法．
完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
[答案自填] m1＋m2＋…＋mn
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－3，5，6，－4}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是( )
A．2 B．4
C．5 D．6
【解析】 第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数．若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则有1×2＝2(个)；若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标，则有2×2＝4(个)，合计2＋4＝6(个)，即这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是6.故选D.
【答案】 D
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用分类加法计数原理解题的注意事项
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎么才算是完成这件事．
(2)完成这件事的n类办法，无论用哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要用到其他的方法．
(3)确立恰当的分类标准，准确地对“完成这件事的办法”进行分类，要求每一种方法必属于某一类办法，不同类办法的任意两种方法不同，也就是分类必须既不重复也不遗漏．从集合的角度看，若完成一件事分A，B两类办法，则A∩B＝ ，A∪B＝I(I表示全集).
[跟踪训练1] (1)现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有( )
A．10种 B．12种
C．20种 D．60种
解析：选B.分三类：第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有3种选法；第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有4种选法；第三类，从5幅不同的水彩画中任选一幅，有5种选法，根据分类加法计数原理得共有3＋4＋5＝12种不同的选法．故选B.
(2)(2024·贵州月考)一个三层书架，分别放置语文类读物12本，政治类读物14本，英语类读物11本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有( )
A．3种 B．1 848种
C．37种 D．6种
解析：选C.根据题意，分3种情况讨论：若取出的书为语文类读物，有12种取法；若取出的书为政治类读物，有14种取法；若取出的书为英语类读物，有11种取法；则共有12＋14＋11＝37种取法．故选C.
(3)已知两条异面直线a，b上分别有4个点和7个点，则这11个点可以确定不同的平面个数为________个．
解析：分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定7＋4＝11个不同的平面．
答案：11
完成一件事，如果需要分成__________，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______________________种不同的方法．
[答案自填] n个步骤 m1×m2×…×mn
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例2)已知有0，1，2，3，…，9十个数字．
(1)题中十个数字可组成多少个不同的三位数？
(2)题中十个数字可组成多少个不同的无重复数字的三位数？
(3)题中十个数字可组成多少个不同的小于500且无重复数字的自然数？
【解】 (1)百位不能为0，有9种选法，十位和个位各有10种选法，故有9×10×10＝900个不同的三位数．
(2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648个不同的无重复数字的三位数．
(3)满足条件的一位自然数有10个，两位自然数有9×9＝81(个)，三位自然数有4×9×8＝288(个)，由分类加法计数原理知共有10＋81＋288＝379个不同的小于500且无重复数字的自然数．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用分步乘法计数原理解题的注意事项
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事需要几步．
(2)完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，无论缺少哪一步，这件事都不可能完成．
(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐一去做，才能完成这件事，各步之间既不能重复也不能遗漏．
(4)对于同一个题目，标准不同，分步也不同．分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是不同步骤的方法不能互相替代．
[跟踪训练2] (1)某外语组有9人，其中5人会英语，4人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，不同的选法有( )
A．16种 B．18种
C．20种 D．91种
解析：选C.从会英语的5人中选一人，有5种选法；从会日语的4人中选一人，有4种选法，所以从中选出会英语和日语的各一人，不同的选法有5×4＝20(种).
(2)植树节那天有四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数为( )
A．1×2×3 B．1×3
C．34 D．43
解析：选D.完成这件事分三步：第一步，植第一棵树，有4种不同的方法；第二步，植第二棵树，有4种不同的方法；第三步，植第三棵树，也有4种不同的方法．由分步乘法计数原理得不同的植树方法种数为4×4×4＝43.
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 某单位职工献血，在身体检查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从4种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
【解】 (1)分四类：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．任选1人去献血，由分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3＝47种不同选法．
(2)分四步：要从4种血型的人中各选1人，由分步乘法计数原理，有28×7×9×3＝5 292种不同选法．
【变式探究】
(综合变式)本例变为：在身体检查合格的人中任选2人去献血，且2人血型不同的选法有多少种？
解：先分六类，每类再分二步：
第一类选O型与A型，有28×7＝196种方法；第二类选O型与B型，有28×9＝252种方法；第三类选O型与AB型，有28×3＝84种方法；第四类选A型与B型，有7×9＝63种方法；第五类选A型与AB型，有7×3＝21种方法；第六类选B型与AB型，有9×3＝27种方法．所以任选2人去献血且2人血型不同的选法共有196＋252＋84＋63＋21＋27＝643(种).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
解决较为复杂的计数问题综合应用
(1)合理分类，准确分步：①处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．
②分类时要满足两个条件：(ⅰ)类与类之间要互斥(保证不重复)；(ⅱ)总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．
③分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．
(2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想．
[跟踪训练3] 如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有充足水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有( )
A．7种 B．15种
C．23种 D．26种
解析：选C.每个水闸有打开或关闭两种情况，五个水闸的打开或关闭的不同结果有25种，若下游有水，则水闸A打开，水闸B，C至少打开一个，水闸D，E至少打开一个．水闸B，C至少打开一个有(22－1)种，水闸D，E至少打开一个有(22－1)种，由分步乘法计数原理得下游有水的不同结果有1×(22－1)×(22－1)＝9(种)，所以所求情况有25－9＝23(种).
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(教材P8练习BT1改编)若某座山从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山的不同走法共有( )
A．5种 B．6种
C．20种 D．25种
解析：选D.依题意，游客上山有5种方法，下山有5种方法，由分步乘法计数原理知，从上山到下山方法共有5×5＝25(种)，所以游客从上山到下山共有25种不同的走法．故选D.
2．4位同学参加3个外语节目选拔，每位同学只能选择一个节目参加，每个节目可多位同学选择参加，则不同的参加方式有( )
A．34种 B．43种
C．12种 D．7种
解析：选A.由题意得共有3×3×3×3＝34种不同的参加方式．故选A.
3．(多选) 若x∈{1，－1，2，－2，3，－3，0}，y∈{1，2，3}，则关于以(x，y)为坐标的点，下列说法正确的有( )
A．共有21个
B．共有39个
C．在坐标轴上的点有3个
D．在坐标轴上的点有6个
解析：选AC.由题意得以(x，y)为坐标的点有7×3＝21(个)，在坐标轴上的点有1×3＝3(个).
4．(2024·大连育明高级中学月考)若a，b∈{－1，0，1，2}，则关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为______________．
解析：由题意得ab≤1.当a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；当a＝0时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；当a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能；当a＝2时，b＝－1，0，有2种可能．所以有序实数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
答案：13
5．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂在图中“田”字形的4个小方格内，每格涂1种颜色，相邻2格涂不同的颜色，
1 2
3 4
如果颜色可以重复使用，那么共有多少种不同的涂色方法？
解：第一步：先涂第1个小方格，从5种颜色中任取1种颜色，有5种不同的涂法．第二步：按照第2，3个小方格涂相同或不同颜色进行分类．第一类，当第2，3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，共有12×3＝36种不同的涂法；第二类，当第2，3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，第4个小方格也有4种不同的涂法，共有4×4＝16种不同的涂法．由分类加法计数原理，得第2，3，4这3个小方格有36＋16＝52种不同的涂法．由分步乘法计数原理，得共有5×52＝260种不同的涂法．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)分类加法计数原理．
(2)分步乘法计数原理．
2．须贯通：在解决此类问题时经常用到分类讨论思想．
3．应注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看能否一步完成这件事，若一步能完成，则是分类，否则是分步．
3．1 排列与组合
3．1.1 基本计数原理
3．1.1 第1课时 基本计数原理
1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 2.能准确应用两个计数原理解决一些简单的实际问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
随着我国人民生活水平的不断提高，“家庭理财”已经成为普通家庭经常关注的问题．理财方式有很多，相对稳定的有人民币定期储蓄和购买国债两种形式，其中人民币定期储蓄有一年期、二年期、三年期和五年期四种，购买国债有一年期、二年期和三年期三种．
思考1 某公司职员史先生正处于试用期，收入有限，计划从上述方案中选择一种方法来投资，问：史先生共有多少种不同的理财方法？
提示：史先生有两类不同的选择：第一类，从四种人民币定期储蓄中任意选择一种投资方法；第二类，从三种国债中任意选择一种投资方法，以上任选一种方法都能达到理财的目的，因此史先生共有4＋3＝7种不同的理财方法．
思考2 史先生工作努力，工资收入有了较大提高，可从两种投资形式中各选择一种方法同时投资，问：史先生共有多少种不同的理财方法？
提示：不妨设四种定期储蓄为A1，A2，A3，A4，三种购买国债为B1，B2，B3，从这两种投资形式中各选择一种，用树形图表示为共有12种．
思考3 观察思考2的结果与两种投资的种数之间有什么关系？
提示： 4×3＝12为两种投资的种数之积，即为思考2中史先生的12种不同的理财方法．
完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
[答案自填] m1＋m2＋…＋mn
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－3，5，6，－4}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是( )
A．2 B．4
C．5 D．6
【解析】 第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数．若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则有1×2＝2(个)；若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标，则有2×2＝4(个)，合计2＋4＝6(个)，即这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是6.故选D.
【答案】 D
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用分类加法计数原理解题的注意事项
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎么才算是完成这件事．
(2)完成这件事的n类办法，无论用哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要用到其他的方法．
(3)确立恰当的分类标准，准确地对“完成这件事的办法”进行分类，要求每一种方法必属于某一类办法，不同类办法的任意两种方法不同，也就是分类必须既不重复也不遗漏．从集合的角度看，若完成一件事分A，B两类办法，则A∩B＝ ，A∪B＝I(I表示全集).
[跟踪训练1] (1)现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有( )
A．10种 B．12种
C．20种 D．60种
解析：选B.分三类：第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有3种选法；第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有4种选法；第三类，从5幅不同的水彩画中任选一幅，有5种选法，根据分类加法计数原理得共有3＋4＋5＝12种不同的选法．故选B.
(2)(2024·贵州月考)一个三层书架，分别放置语文类读物12本，政治类读物14本，英语类读物11本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有( )
A．3种 B．1 848种
C．37种 D．6种
解析：选C.根据题意，分3种情况讨论：若取出的书为语文类读物，有12种取法；若取出的书为政治类读物，有14种取法；若取出的书为英语类读物，有11种取法；则共有12＋14＋11＝37种取法．故选C.
(3)已知两条异面直线a，b上分别有4个点和7个点，则这11个点可以确定不同的平面个数为________个．
解析：分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定7＋4＝11个不同的平面．
答案：11
完成一件事，如果需要分成__________，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______________________种不同的方法．
[答案自填] n个步骤 m1×m2×…×mn
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例2)已知有0，1，2，3，…，9十个数字．
(1)题中十个数字可组成多少个不同的三位数？
(2)题中十个数字可组成多少个不同的无重复数字的三位数？
(3)题中十个数字可组成多少个不同的小于500且无重复数字的自然数？
【解】 (1)百位不能为0，有9种选法，十位和个位各有10种选法，故有9×10×10＝900个不同的三位数．
(2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648个不同的无重复数字的三位数．
(3)满足条件的一位自然数有10个，两位自然数有9×9＝81(个)，三位自然数有4×9×8＝288(个)，由分类加法计数原理知共有10＋81＋288＝379个不同的小于500且无重复数字的自然数．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用分步乘法计数原理解题的注意事项
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事需要几步．
(2)完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，无论缺少哪一步，这件事都不可能完成．
(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐一去做，才能完成这件事，各步之间既不能重复也不能遗漏．
(4)对于同一个题目，标准不同，分步也不同．分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是不同步骤的方法不能互相替代．
[跟踪训练2] (1)某外语组有9人，其中5人会英语，4人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，不同的选法有( )
A．16种 B．18种
C．20种 D．91种
解析：选C.从会英语的5人中选一人，有5种选法；从会日语的4人中选一人，有4种选法，所以从中选出会英语和日语的各一人，不同的选法有5×4＝20(种).
(2)植树节那天有四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数为( )
A．1×2×3 B．1×3
C．34 D．43
解析：选D.完成这件事分三步：第一步，植第一棵树，有4种不同的方法；第二步，植第二棵树，有4种不同的方法；第三步，植第三棵树，也有4种不同的方法．由分步乘法计数原理得不同的植树方法种数为4×4×4＝43.
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 某单位职工献血，在身体检查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从4种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
【解】 (1)分四类：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．任选1人去献血，由分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3＝47种不同选法．
(2)分四步：要从4种血型的人中各选1人，由分步乘法计数原理，有28×7×9×3＝5 292种不同选法．
【变式探究】
(综合变式)本例变为：在身体检查合格的人中任选2人去献血，且2人血型不同的选法有多少种？
解：先分六类，每类再分二步：
第一类选O型与A型，有28×7＝196种方法；第二类选O型与B型，有28×9＝252种方法；第三类选O型与AB型，有28×3＝84种方法；第四类选A型与B型，有7×9＝63种方法；第五类选A型与AB型，有7×3＝21种方法；第六类选B型与AB型，有9×3＝27种方法．所以任选2人去献血且2人血型不同的选法共有196＋252＋84＋63＋21＋27＝643(种).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
解决较为复杂的计数问题综合应用
(1)合理分类，准确分步：①处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．
②分类时要满足两个条件：(ⅰ)类与类之间要互斥(保证不重复)；(ⅱ)总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．
③分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．
(2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想．
[跟踪训练3] 如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有充足水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有( )
A．7种 B．15种
C．23种 D．26种
解析：选C.每个水闸有打开或关闭两种情况，五个水闸的打开或关闭的不同结果有25种，若下游有水，则水闸A打开，水闸B，C至少打开一个，水闸D，E至少打开一个．水闸B，C至少打开一个有(22－1)种，水闸D，E至少打开一个有(22－1)种，由分步乘法计数原理得下游有水的不同结果有1×(22－1)×(22－1)＝9(种)，所以所求情况有25－9＝23(种).
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(教材P8练习BT1改编)若某座山从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山的不同走法共有( )
A．5种 B．6种
C．20种 D．25种
解析：选D.依题意，游客上山有5种方法，下山有5种方法，由分步乘法计数原理知，从上山到下山方法共有5×5＝25(种)，所以游客从上山到下山共有25种不同的走法．故选D.
2．4位同学参加3个外语节目选拔，每位同学只能选择一个节目参加，每个节目可多位同学选择参加，则不同的参加方式有( )
A．34种 B．43种
C．12种 D．7种
解析：选A.由题意得共有3×3×3×3＝34种不同的参加方式．故选A.
3．(多选) 若x∈{1，－1，2，－2，3，－3，0}，y∈{1，2，3}，则关于以(x，y)为坐标的点，下列说法正确的有( )
A．共有21个
B．共有39个
C．在坐标轴上的点有3个
D．在坐标轴上的点有6个
解析：选AC.由题意得以(x，y)为坐标的点有7×3＝21(个)，在坐标轴上的点有1×3＝3(个).
4．(2024·大连育明高级中学月考)若a，b∈{－1，0，1，2}，则关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为______________．
解析：由题意得ab≤1.当a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；当a＝0时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；当a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能；当a＝2时，b＝－1，0，有2种可能．所以有序实数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
答案：13
5．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂在图中“田”字形的4个小方格内，每格涂1种颜色，相邻2格涂不同的颜色，
1 2
3 4
如果颜色可以重复使用，那么共有多少种不同的涂色方法？
解：第一步：先涂第1个小方格，从5种颜色中任取1种颜色，有5种不同的涂法．第二步：按照第2，3个小方格涂相同或不同颜色进行分类．第一类，当第2，3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，共有12×3＝36种不同的涂法；第二类，当第2，3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，第4个小方格也有4种不同的涂法，共有4×4＝16种不同的涂法．由分类加法计数原理，得第2，3，4这3个小方格有36＋16＝52种不同的涂法．由分步乘法计数原理，得共有5×52＝260种不同的涂法．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)分类加法计数原理．
(2)分步乘法计数原理．
2．须贯通：在解决此类问题时经常用到分类讨论思想．
3．应注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看能否一步完成这件事，若一步能完成，则是分类，否则是分步．