3.1.2　第1课时　课后达标检测（教师版）

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1．A＝9×10×11×12，则m＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B.由排列数公式可得12－m＋1＝9，所以m＝4.故选B.
2．(2024·山东日照高二校考)2 022×2 021×2 020×…×2 000＝(　　)
A．A B．A
C．A D．A
解析：选C.由排列数的定义可得A＝2 022×2 021×2 020×…×2 000.故选C.
3．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为(　　)
A．6 B．9
C．12 D．24
解析：选B.第1类，0在个位有2 110，1 210，1 120，共3个；第2类，0在十位有2 101，1 201，1 102，共3个；第3类，0在百位有2 011，1 021，1 012，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9.
4．(2024·辽宁沈阳月考)某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路的车站数是(　　)
A．8 B．12
C．16 D．24
解析：选B.设共有n个车站，在n个车站中，每两个车站之间都有2种普通客票，总的普通客票数为从n个不同元素中取出2个元素的排列数，由条件得A＝132＝12×11，所以n＝12.故选B.
5．(多选)从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，下列四个问题属于排列问题的是(　　)
A．相加可得多少个不同的和
B．相除可得多少个不同的商
C．作为椭圆＋＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程
D．作为双曲线－＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程
解析：选BD.对于A，因为加法满足交换律，所以A不是排列问题，故A错误；对于B，因为除法不满足交换律，如≠，所以B是排列问题，故B正确；对于C，若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定，所以C不是排列问题，故C错误；对于D，在双曲线－＝1中不管a＞b还是a＜b，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故D是排列问题，故D正确．故选BD.
6．(多选)对任意正整数n，定义n的双阶乘n！！：当n为偶数时，n！！＝n×(n－2)×(n－4)×…×6×4×2；当n为奇数时，n！！＝n×(n－2)×(n－4)×…×5×3×1.则下列四个说法中正确的是(　　)
A．209！！×208！！＝209!
B．208！！＝2×104!
C．208！！的个位数字为0
D．209！！的个位数字为5
解析：选ACD.由题意，根据双阶乘的定义可得209！！×208！！＝(209×207×…×3×1)×(208×206×…×4×2)＝209！，故A正确；208！！＝208×206×…×4×2＝2104×104！，故B错误；易知208！！＝208×206×…×10×8×6×4×2能被10整除，则208！！的个位数字为0，故C正确；易知209！！＝209×207×…×5×3×1能被5整除，则个位数字为5或0，又209！！是奇数，所以个位数字为5，故D正确．故选ACD.
7．某车展期间，某调研机构准备从6人中选2人去调查E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为________．
解析：由题意可知，问题为从6个元素中选2个元素的排列问题，所以安排方法有6×5＝30(种).
答案：30
8．若A＝140A，则x＝________．
解析：由得x≥3且x∈N.原方程可化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140·x·(x－1)·(x－2)，化简得(4x2－35x＋69)(x－1)x＝0，解得x＝3或x＝或x＝1或x＝0.又x≥3且x∈N，所以x＝3.
答案：3
9．计算：＋＋＋＋＝____________.
解析：＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝.
答案：
10．从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数．
(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；
(2)若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．
解：(1)组成三位数分三个步骤：第1步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；第2步：选十位上的数字，有3种不同的排法；第3步：选个位上的数字，有2种不同的排法．由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18个不同的三位数．画出下列树形图：
由树形图知，能组成的三位数有102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.
(2)直接画出树形图：
由树形图知， 符合条件的三位数有8个，分别为201，210，230，231，301，302，310，312.
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11．在应对某突发公共卫生事件时，某公司研究决定采用“办公室＋远程协作”的办公方案，结合实际管理情况，对于符合办公室工作条件的员工，计划工作日内每天安排2位员工在办公室办公(每位员工每周仅在办公室办公2天).已知该公司有5位员工符合条件，其中甲、乙2人必须安排在周一、周二两天同时在办公室办公，其余3位员工随机安排，则不同的安排方法共有(　　)
A．6种 B．8种
C．9种 D．12种
解析：选A.记其余的3位员工分别为a，b，c，由题意可知，这3位员工只能安排在周三、周四、周五在办公室办公，所有的安排方法为(ab，ac，bc)，(ab，bc，ac)，(ac，ab，bc)，(ac，bc，ab)，(bc，ac，ab)，(bc，ab，ac)，共6种．故选A.
12．(多选)(2024·辽宁葫芦岛校考)下列等式中，正确的有(　　)
A．A＝nA
B．A＝mA
C．A＝A
D．A＋mA＝A
解析：选ACD.对于A，A＝＝＝nA，故A正确；对于B，A＝，而mA＝m·＝≠A，故B错误；对于C，A＝·＝＝A，故C正确；对于D，A＋mA＝＋＝
＝＝A，故D正确．故选ACD.
13．用短语“maths test”中所有的重复字母重新排列，能组成不同排列的个数为______________．
解析：由题知“s”有2个，“t”有3个，则将这5个字母看成互不相同的5个字母时的排列数为A，故其组成不同排列的个数为 eq \f(A,AA) ＝10.
答案：10
14．四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人拿一张别人写的贺年卡，那么四张贺年卡的不同分配方法共有多少种？
解：方法一(树形图法)：设四人为甲、乙、丙、丁，写的贺年卡分别为a，b，c，d，则分配方法如图所示．
共有9种不同的分配方法．
方法二：(列举法)：设四人为甲、乙、丙、丁，写的贺年卡分别为a，b，c，d，则分配方法有(b，a，d，c)，(b，c，d，a)，(b，d，a，c)，(c，a，d，b)，(c，d，a，b)，(c，d，b，a)，(d，a，b，c)，(d，c，a，b)，(d，c，b，a)，共9种．
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15．英国数学家泰勒(B.Taylor，1685－1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们能得到e＝1＋＋＋＋…＋＋(其中e为自然对数的底数，0<θ<1，n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1)，其拉格朗日余项是Rn＝.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，Rn不超过时，正整数n的最小值是(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B.依题意得，≤，即(n＋1)！≥3 000，又(5＋1)！＝6×5×4×3×2×1＝720，(6＋1)！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040＞3 000，所以正整数n的最小值是6.
16．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
解：由题意可知，原有车票的种数是A种，
现有车票的种数是A种，所以A－A＝62，即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，所以m(2n＋m－1)＝62，因为m<2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N＋，而62整数因式分解只有2×31，所以解得m＝2，n＝15，故原有15个车站，现在有17个车站．