3.1.2　第1课时　排列与排列数（教师版）

3．1.2　排列与排列数
第1课时　排列与排列数
1.理解并掌握排列及排列数的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．　2.理解排列数公式的推导，并能利用公式进行计算和证明．
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思考　下列三个问题有什么样的共同特征？
(1)小张要在三所大学中选择两所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？
(2)班里要在3名同学里选2名，分别在某话剧中扮演A和B两个角色，共有多少种不同的选择方式？
(3)学校要在3名能力相当的教师中选出2人，分别去上海和浙江交流教学经验，共有多少种不同的指派方案？
提示：这三个问题虽然背景不同，但所求的本质都是“从3个对象中选取2个并排成先后顺序，有多少种不同的排法”，因此它们的答案是一致的．根据分步乘法计数原理，方法种数都是3×2＝6.
一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照__________________排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，________时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列．
[答案自填] 一定的顺序　m＝n
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　判断下列问题是否为排列问题．
(1)选2个小组分别去植树和种菜；
(2)选2个小组去种菜；
(3)选10个人组成一个学习小组；
(4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员．
【解】　(1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(2)，(3)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(4)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑：(1)“取”：检验取出的m个元素是否重复．(2)“排”：检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. 　
[跟踪训练1] 判断下列问题是否是排列问题，并说明理由．
(1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？
解：(1)由于加法运算满足交换律，所以选出的两个数字做加法求结果时，与两个数字的位置无关，不是排列问题．
(2)列除法算式时，两个数字谁作除数，谁作被除数结果不一样，此时与两个数字的位置有关，是排列问题．
(3)选出3个座位与顺序无关，不是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选出3个座位安排3位客人入座是排列问题．
1．排列数的定义
从n个不同对象中取出m个对象的所有________________，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号________表示．
2．排列数公式
＝____________________(n，m∈N＋，m≤n).
[答案自填] 排列的个数　A　n(n－1)…(n－m＋1)
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例1)A，B，C，D四个人坐成一排照相，共有多少种坐法？将它们列出来，并计算A.
【解】　先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1＝24(种)，A＝4×3×2×1＝24.画出树形图．
由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用“树形图”法解决简单排列问题的注意事项
(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．　
[跟踪训练2] (1)(2024·内蒙古呼和浩特月考)甲、乙、丙三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过五次传球后，球回到甲手中，则不同的传球方式共有(　　)
A．5种 B．10种
C．8种 D．16种
解析：选B.根据题意，画出树形图如图，注意第四次传球后球不能在甲的手中．分析可得，共有10种不同的传球方式．故选B.
(2)从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成______个以b为首的不同排列，它们分别为
_____________________________________________________________.
解析：画出树形图如图所示．
由树形图知可组成12个以b为首的不同排列，它们分别为bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
答案：12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
三　与排列数有关的计算、证明与方程问题
(1)全排列公式：A＝n×(n－1)×…×2×1＝n！，n∈N＋.
(2)排列数公式的阶乘式：A＝，其中m，n∈N＋，m≤n.
规定：A＝1，0！＝1.
角度1　排列数的计算、化简与证明
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(1)计算：①A；②；
(2)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)；
(3)(对接教材例2)证明：A－A＝n2A.
【解】　(1)①A＝8×7×6＝336.
②＝＝210.
(2)由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)·…·(n＋m)＝A.
(3)证明：左边＝A－A＝n(n＋1)A－nA＝(n2＋n－n)A＝n2A＝右边．
所以等式成立，即A－A＝n2A.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
排列数的计算方法
排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．　
角度2　与排列数公式有关的方程或不等式问题
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　 (1)若A＝2A，则m＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
(2) 不等式A－n<7的解集为________．
【解析】　(1)由A＝2A，得m(m－1)(m－2)＝2(m＋1)m，又m∈N＋，即m2－5m＝0，可得m＝5.故选C.
(2)由不等式A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，整理得n2－4n－5<0，解得－1【答案】　(1)C　(2){3，4}
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
排列数公式的选择
(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．
(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．　
[跟踪训练3] (1)(多选)已知A－A＋0！＝4，则m的可能取值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选CD.因为A－A＋0！＝4，所以A－×6＋1＝4，所以A＝6，所以m的值可能是2或3.故选CD.
(2) eq \f(A－A,A) ＝__________．
解析： eq \f(A－A,A) ＝ eq \f(7×6A－6A,A) ＝36.
答案：36
(3)若A<6A，则x＝________.
解析：由题意可知解得2≤x≤8.原不等式可化为<6×，化简得x2－19x＋84<0，解得7答案：8
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1．下列问题是排列问题的是(　　)
A．从10名学生中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线
D．从1，2，3，4，5五个数字中，任选三个相加，其结果共有多少种
解析：选B.选项A，从10名学生中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序，因而不是排列问题，不合题意；选项B，10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，是排列问题，符合题意；选项C，平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点即可确定1条直线，这2个点不分顺序，因而不是排列问题，不合题意；选项D，从1，2，3，4，5五个数字中，任选三个数字相加即得1个结果，这三个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意．
2．(教材P15练习AT4改编)从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是(　　)
A．10 B．60
C．243 D．15
解析：选B.不同的方法总数是A＝5×4×3＝60.故选B.
3．(多选)下列各式中与排列数A相等的是(　　)
A． B．n(n－1)(n－2)·…·(n－m)
C． eq \f(nA,n－m＋1) D．AA
解析：选AD.对于A，由排列数公式知，A＝，A正确；
对于B，A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)，B错误；
对于C， eq \f(nA,n－m＋1) ＝＝≠A，C错误；
对于D，AA＝n·＝＝A，D正确．故选AD.
4．设直线的方程是Ax＋By＝0，从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A，B的值，则所得不同的直线的条数是(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：选C.因为从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A，B的值有A＝12种结果，在这些直线中有重复的直线，当A＝1，B＝2和A＝2，B＝4时，结果相同；当A＝2，B＝1和A＝4，B＝2时，结果相同，所以所得不同直线的条数是12－2＝10.故选C.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)排列及排列数的定义．
(2)“树形图”法列举排列．
2．须贯通：排列数公式的计算、化简与证明．
3．应注意：(1)忽视排列定义中对“顺序”的特殊要求．
(2)忽视A中“n，m是正整数”这个条件．