3.1.2　第2课时　排列数的应用（教师版）

第2课时　排列数的应用
1.掌握基本计数原理与排列的关系，进一步加深对排列概念的理解．　2.能利用排列数公式解决简单的实际问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例5)用0，1，2，3，4，5这6个数字组成的无重复数字的四位数中．
(1)有多少个奇数；
(2)有多少个偶数；
(3)有多少个大于3 125的数．
【解】　(1)本题是有限制条件的数字排列问题，条件是末位必须排1，3，5，首位不能排0.第一步：排末位有A种方法，第二步：排首位有A种方法；第三步：排中间两个位置有A种方法，所以所求奇数共有AAA＝144(个).
(2)先排末位有A种方法(从0，2，4中选一个)，则排首位就涉及末位排的是0还是2，4中的一个，所以需分类讨论：①若末位排0，则有A个偶数；②若末位不排0，则末位有A种排法，再排首位有A种，再排中间两位有A种，所以末位不是0的偶数有AAA个．由①②知，所求偶数共有A＋AAA＝156(个).
(3)第一类：首位可排4，5，有A种，其余各位有A种，此类共有AA种；第二类：首位排3，下一位可排2，4，5，有A种，其余两位有A种，此类共有AA种；第三类：首位排3，下一位排1，第三位可排4，5中的一个，有A种，第四位可从剩下的3个数中取一个，有A种，所以此类共AA种，因此，所求大于3 125的数共有AA＋AA＋AA＝162(个).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
数字排列问题是排列组合问题中的常见题目，其解法仍是从分析特殊元素或特殊位置入手，恰当分类(或分步)，如果问题中涉及元素“0”，那么0往往是分类的关键．　
[跟踪训练1] 用0，1，2，3，4五个数字：
(1)可组成多少个五位数？
(2)可组成多少个无重复数字的五位数？
(3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？
解：(1)各位数上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理可知，可组成4×5×5×5×5＝2 500个五位数．
(2)方法一：考虑特殊位置“万位”，从1，2，3，4中任选一个填入万位，共有A种填法，其余4个数字作全排列，有A种排法，故共有AA＝96个符合条件的五位数．
方法二：先考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有A种填法，然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列，有A种排法，故共有AA＝96个符合条件的五位数．
(3)构成的无重复数字的三位数是3的倍数，则各数位上数字之和是3的倍数，将0，1，2，3，4按除以3的余数分成3类，按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数，有A种取法，再取2进行排列，先填百位有A种填法，再填其余位有A种排法，故有AAA个；不取0，则必取3，从1和4中任取一数，有A种取法，再取2，然后进行全排列，故有AA种排法．所以共有AAA＋AA＝8＋12＝20个符合条件的三位数．
(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1，3中选一个填入个位，有A种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A种填法，最后将包含0在内的剩余3个数在中间三个位置上全排列，排列数为A，故共有AAA＝36个符合条件的五位数．
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　9名同学排成一排，在下列条件下各有多少种不同的排法：
(1)甲只能在中间或两头位置；
(2)甲、乙两人必须排在两头．
【解】　(1)将9个元素(同学)分成两类：甲为特殊元素，其余8人为一般元素，所以完成这件事需分两步，先排甲有A种方法，再排另外8人有A种．所以共有AA＝120 960种不同的排法．
(2)先排甲、乙两人有A种方法，再排其余7人有A种方法．所以共有AA＝10 080种不同的排法．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
“在”与“不在”的排列问题既可以从元素入手(元素分析法)，也可以从位置入手(位置分析法)，原则是谁“特殊”谁优先．常用的方法有直接法和间接法．特别注意，从元素入手或从位置入手，都要贯彻到底．不能一会儿考虑元素，一会儿考虑位置，分类、分步混乱会导致解题错误．
　
[跟踪训练2] 安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
解析：将人视为元素，日期视为位置，先安排甲、乙两人有A种安排方法，再安排其余5人，有A种安排方法．由分步乘法计数原理知不同的安排方法共有AA＝2 400(种).
答案：2 400
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例7)3名男生和4名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？
(1)男生排在一起，女生排在一起；
(2)男、女生间隔排列；
(3)男生互不相邻．
【解】　(1)将男生和女生分别进行捆绑，则分别有A和A种排法，再将男生组和女生组进行全排列，故共有AAA＝288种排法．
(2)先将男生进行排列，有A种排法，再将女生进行插空，刚好有A种排法，故男、女生间隔排列，共有AA＝144种排法．
(3)先将女生进行排列，有A种排法，形成5个空，再将男生进行插空，即男生互不相邻，有A种排法，共有AA＝1 440种排法．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．　
[跟踪训练3] (1)3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为(　　)
A．144 B．72
C．36 D．12
解析：选A.先将老师排列，有A种排法，形成4个空，再将3名学生插入4个空中，有A种排法，故共有AA＝144种排法．
(2)(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(　　)
A．共计有720种不同的排法
B．男生甲排在两端的共有120种排法
C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D．男女生相间的排法总数为72种
解析：选BC.3男3女排成一排，共计有A＝720种排法；男生甲排在两端，共有2A＝240种排法；男生甲、乙相邻的排法总数为AA＝240(种)；男女生相间的排法总数为2AA＝72(种).
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
【解】　方法一(倍缩法)：5位嘉宾无约束条件的全排列有A种，其中3位老者不考虑年龄的顺序有A种．因此满足3位老者按年龄从大到小的出场顺序有 eq \f(A,A) ＝20(种).
方法二(依次插空法)：记3位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”，则三人形成四个空档(含两端).第4位嘉宾有4种出场方法，第5位嘉宾站前4位嘉宾形成的5个空挡(含两端)，所以共有4×5＝20种出场顺序．
方法三(空位法)：假设出场顺序1到5个位置，除3位老者之外的2人先选位置有A种方法，还空下3个位置，3位老者按年龄从大到小的出场顺序只有一种，故A×1＝20种出场顺序．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
这类问题采用分类法，n个不同对象的全排列有A种排法，m个对象的全排列有A种排法．因此A种排法中，关于m个对象的不同分法有A类，而且每一分类的排法数是一样的．当这m个对象顺序确定时，共有 eq \f(A,A) 种排法．　
[跟踪训练4] 某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加2名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有(　　)
A．12种 B．30种
C．36种 D．42种
解析：选D.方法一：由于原来5名同学顺序不变，这5名同学共有6个空位，再增加2名同学时，可分两步进行，第一步安排第一名同学，有6种不同的方法，此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6×7＝42种不同的比赛顺序．
方法二：先将所有同学重排，共有A种方法，而原来5名同学共有A种不同顺序，因此共有 eq \f(A,A) ＝42种不同的比赛顺序．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．5本书编号为a，b，c，d，e，其中a必须排列在b的左边，则这5本书的排列方法共有(　　)
A．42种 B．60种
C．30种 D．36种
解析：选B.由题意得5个编号任意排列，有A种排法，其中a在b的左边和a在b的右边是等可能的，其排法数目是一样的，所以一共有A＝60种排列方法．故选B.
2．(教材P15T3改编)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为(　　)
A．2 301 B．2 304
C．2 305 D．2 310
解析：选A.首位为1的有A＝60个，前两位为20的有A＝12个，前两位为21的有A＝12个，所以第85个数字是前两位为23的最小数，即为2 301.
3．某市雁塔路是一条南北走向的繁华的主街道，也是一道美丽的风景线．某单位利用周日安排6名志愿者在雁塔路上相邻的6个十字路口进行“创文”宣传活动，每个路口安排1名志愿者，则甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口的安排方式共有__________种．
解析：把甲乙看成一个元素，该元素与其余4人一起共有A＝120种不同的安排方式，故甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口的安排方式种数为A×120＝240.
答案：240
4. (教材P15练习BT5改编)某班级周一的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课．
(1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？
(2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
(3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
解：(1)先排其余四科，共有A种排法，再把数学和物理插入空中，有A种排法，则不同的排法共有AA＝24×20＝480(种).
(2)第一节排数学，则其余科目没有要求，共有A种排法；
第一节不排数学，先排第一节有A种排法，再排第六节有A种排法，最后安排其它节有A种排法，所以共有A＋AAA＝504种排法．
(3)9节课随机排列共有A种排法，原定6节课在其中的排法有A种，所以共有 eq \f(A,A) ＝504种不同的排法．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：排列应用题的基本的解法．
2．须贯通：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法).
3．应注意：解与排列有关的应用题时应注意以下几点：
(1)注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止重复与遗漏．
(2)对受限制条件的位置或元素应首先排列，并适当选择直接法或间接法．
(3)同一问题，有时从位置分析法入手较为方便，有时从元素分析法入手较为方便，应注意灵活运用．