3.3　第1课时　二项式定理（教师版）

3．2　数学探究活动：生日悖论的解释与模拟(略)
3．3　二项式定理与杨辉三角
第1课时　二项式定理
1.能用计数原理证明二项式定理．　2.掌握二项式定理及二项展开式的通项．　3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
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观察以下各式：
(a＋b)1＝a＋b，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，
…
思考1　展开式的项数与二项式的次数有关系吗？
提示：展开式的项数比二项式的次数多1.
思考2　展开式中各项的次数与二项式的次数有关系吗？
提示：展开式中各项的次数与二项式的次数相等.
思考3　对于(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2，如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？
提示：(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0，1，2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，即a2－kbk的系数是C.
二项式定理 (a＋b)n＝________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(n∈N＋)
二项展开式 等式右边的多项式，展开式中共有________项
二项式系数 各项的系数________(k＝0，1，2，…，n)
通项公式 Tk＋1＝________________
[答案自填] Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn　n＋1　C　Can－kbk
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　)
(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．(　　)
(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．(－)5的展开式为__________________________________________．
解析：展开式的通项为
C()5－r＝(－1)rCx，所以展开式为x－5x＋10x－10x－＋5x－－x－.
答案：x－5x＋10x－10x－＋5x－－x－
3．化简：(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝________．
解析：因为1＝C＝C，4＝C＝C，6＝C，所以原式＝C(x－1)4·10＋C(x－1)3·11＋C(x－1)2·12＋C(x－1)·13＋C·14＝[(x－1)＋1]4＝x4.
答案：x4
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
二项式定理的正用与逆用
(1)正用：(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.　
(2)逆用：逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例2)在(－)7的展开式中，求
(1)第5项；
(2)求含x2的项．
【解】　二项式的通项为Tk＋1＝C()7－k＝(－1)kCx，k＝0，1，…，7.
(1)T5＝(－1)4Cx＝35x.
(2)令＝2，解得k＝2，所以展开式中含x2的项为(－1)2Cx2＝21x2.
【变式探究】
1．(设问变式)本例条件不变，求展开式中的所有有理项．
解：由本例的通项公式可知，若Tk＋1为有理项，则为整数，又因为0≤k≤7，k∈N，所以k＝2，6，即展开式中的有理项共2项，它们分别是T3＝(－1)2Cx2＝21x2，T7＝(－1)6Cx－1＝7x－1.
2．(设问变式)本例条件不变，展开式中是否存在常数项？如果存在，求出常数项，如果不存在，请说明理由．
解：若Tk＋1为常数项，则＝0，即k＝，与0≤k≤7，k∈N矛盾，所以展开式中不存在常数项．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
(1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；　
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
[跟踪训练1] (1)(2024·辽宁营口月考)若在的展开式中，第5项为常数项，则n＝(　　)
A．8 B．6
C．7 D．10
解析：选B.的展开式的第5项为T5＝C(x2)n－4·＝16Cx2n－12.由题意，2n－12＝0，解得n＝6.故选B.
(2)在(x＋)8的展开式中，常数项为__________．
解析：因为展开式的通项为Tr＋1＝C·x8－r·()r＝2rCx8－2r，令8－2r＝0，解得r＝4，所以展开式的常数项为T5＝24C＝1 120.
答案：1 120
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　已知二项式(2－)n的展开式中共有10项．
(1)求展开式的第6项的二项式系数；
(2)求展开式中含x4的系数．
【解】　(1)因为二项式的展开式中共有10项，所以n＝9，
所以第6项的二项式系数为C＝126.
(2)由(1)知n＝9，设含x4的项为第k＋1项，所以Tk＋1＝C29－k(－)k＝C29－k(－1)kx，其中k＝0，1，2，…，9，
取＝4，解得k＝8，所以T9＝C×21×(－1)8x＝18x4，
故展开式中含x4的系数是18.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
(1)二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关；后者与二项式、二项式的指数及项数均有关．
(2)求二项式系数可直接代入求解C，求二项展开式某项的系数可以分为两步完成：①根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确定指数，求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件(n为正整数，r为非负整数，n≥r)；②根据所求的指数，求所求解的项或项的系数．　
[跟踪训练2] 已知n∈N＋，二项式(＋)n.若该二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中x2的系数．
解：因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，则展开式的通项公式为Tk＋1＝C()10－k＝Cxx－＝Cx，其中k＝0，1，2，…，10. 令＝2，解得k＝4，代入通项公式有T5＝C×x2＝x2，所以x2的系数为.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(教材P35习题3－3AT2改编)二项式
的展开式中的第4项为(　　)
A．－ B．
C． D．－160
解析：选A.因为Tk＋1＝C(x2)6－k·，所以T4＝C(x2)3＝－.故选A.
2．(多选)对于二项式(n∈N＋)，以下说法正确的有(　　)
A．存在n∈N＋，展开式中有常数项
B．对任意n∈N＋，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N＋，展开式中有x的一次项
解析：选AD.设二项式(n∈N＋)展开式的通项公式为Tr＋1，则Tr＋1＝C(x3)r＝Cx4r－n，不妨令n＝4，则r＝1时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则r＝1时，展开式中有x的一次项，故C错误，D正确．故选AD.
3．(教材P35习题3－3BT2改编)已知(x－a)7的展开式中x3的系数为560，则实数a的值为________．
解析：Tr＋1＝Cx7－r(－a)r，令7－r＝3，得r＝4，故T5＝Ca4x3，由题意知Ca4＝560，即35a4＝560，解得a＝±2.
答案：±2
4．已知二项式的展开式中第三项的二项式系数为15.
(1)求n的值；
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)由题意得，C＝15，即＝15，化简得n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(负值舍去).所以n＝6.
(2)由二项展开式的通项得Tr＋1＝C()6－r·(－)r＝(－1)rCx，因为0≤r≤6，r∈N，令＝0，解得r＝2，所以常数项为T3＝(－1)2×C＝15.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)二项式定理；(2)求二项式定理的特定项；(3)二项式系数与项的系数
2．须贯通：(1)二项展开式的特点；(2)求二项展开式的常数项或有理项的方法，特别地，常数项是字母的指数为0的项；有理项是字母的指数恰好是整数的项；(3)项与项的系数的不同
3．应注意：二项式系数与系数的区别；Can－kbk是(a＋b)n展开式的第k＋1项，不是第k项