3.3 第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角（教师版）
文档属性
| 名称 | 3.3 第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角（教师版） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 309.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角
1.了解杨辉三角各行数字的特点，归纳二项式系数间的关系． 2.掌握二项式系数的性质，并会简单应用． 3.理解和初步掌握赋值法及其应用．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，C，…，C可表示成如下形式，
思考1 上述数表最显著的特点是什么？
提示：(1)从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小．
(2)表中每行两端的数都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．
思考2 每一行中，与首末等距离的二项式系数有怎样的关系？
提示：相等．
思考3 当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？
提示：分别是1，6，15，20，15，6，1.
1．对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由________得到．直线______________将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．
2．增减性与最大值
(1)当k<时，C随k的增加而________．由对称性知，二项式系数的后半部分C随k的增加而________．
(2)当n是偶数时，中间的一项__________取得最大值；当n是奇数时，中间的两项________与________相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝________．
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
eq \a\vs4\al([答案自填] \o(□,\s\up1(1))\x(C＝C) \o(□,\s\up1(2))r＝\f(n,2) \o(□,\s\up1(3))增大 \o(□,\s\up1(4))减小,\o(□,\s\up1(5))C\s\up6(\f(n,2))n \o(□,\s\up1(6))\a\vs4\al(C\s\up6(\f(n－1,2))n) \o(□,\s\up1(7))\a\vs4\al(C\s\up6(\f(n＋1,2))n) \o(□,\s\up1(8))2n)
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)若(1－2x)n的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为( )
A．－960 B．960
C．448 D．－448
(2)展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为__________________．(用数字作答)
【解析】 (1)依题意只有n＝8时第5项的二项式系数最大，x3的系数为C(－2)3＝－448.故选D.
(2)由题意及二项式系数的性质可得2n－1＝32，解得n＝6，所以其展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r＝(－3)rCx6－2r，依题意令6－2r＝0，解得r＝3，所以展开式中的常数项为(－3)3C＝－540.
【答案】 (1)D (2)－540
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
二项式系数性质的理解
(1)二项式系数的性质不是展开式中系数的性质．
(2)二项式系数的最大项与n的奇偶性有关．
(3)二项式系数和只与n有关．
[跟踪训练1] (1)(1＋2x)n的展开式中二项式系数最大为C，则n不可能为( )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：选A.根据二项式系数的对称关系，当n＝10时，所有二项式系数中，C最大；当n＝11时，所有二项式系数中，C＝C，且C，C均为最大；当n＝12时，所有二项式系数中，C最大；当n＝13时，所有二项式系数中，C＝C，且C，C均为最大．故选A.
(2)在(2x3－)n的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则展开式中x7的系数为________．(用数字作答)
解析：依题意可得2n＝128，则n＝7，
所以展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x3)7－r＝C27－r·(－1)rx21－r(0≤r≤7且r∈N)，令21－r＝7，解得r＝4，所以T5＝C×23×(－1)4x7＝280x7，所以展开式中x7的系数为280.
答案：280
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (2024·辽宁大连月考)在(ax＋)n的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79，常数项为.
(1)求n和a的值；
(2)求展开式中系数最大的项．
【解】 (1)由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为C＋C＋C＝1＋n＋＝＝79，整理可得n2＋n－156＝0(n∈N＋)，解得n＝12(负值已舍去)，又的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(ax)12－r＝C·a12－r·x12－r(r＝0，1，2，…，12)，令12－r＝0，可得r＝9，所以展开式中的常数项为T10＝C·a3＝220a3＝，解得a＝，故n＝12，a＝.
(2)由不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(12－k)≥C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(13－k)，,C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(12－k)≥C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(11－k))) (k＝0，1，2，…，12)，解得≤k≤，所以k＝8，所以展开式中系数最大的项为T9＝C··x＝x.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项的系数最大，应用解出k，即得出系数最大的项．
[跟踪训练2] 已知二项式(x－)6(a>0)的展开式中x3的系数为r，常数项为s，且r＝s.
(1)求a的值；
(2)求展开式中系数最小的项．
解：(1)由题意根据二项展开式的通项，得Tk＋1＝C·x6－k·＝(－a)k·C·x6－.令k＝2，得展开式中x3的系数为r＝C·a2＝15a2，令k＝4，得展开式中的常数项为s＝C·a4＝15a4，又因为r＝s，所以15a2＝15a4，解得a＝0或a＝－1或a＝1，又a>0，故a＝1.
(2)由(1)知a＝1，故原二项式为，
则展开式中第k项、第k＋1项、第k＋2项的系数绝对值分别为C，C，C，若第k＋1项的系数绝对值最大，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C≥C，,C≥C，)) 解得≤k≤，又因为k∈N＋，所以k＝3，则展开式中系数的绝对值最大的项是第4项，所以T4＝(－1)3·C·x，其系数为负数，此时该项的系数最小，故展开式中系数最小的项为T4＝－20x.
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 已知(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9.
(1)求a1＋a2＋a3＋…＋a9的值；
(2)求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值．
【解】 (1)因为(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9.令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0, 所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝－1.
(2)令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，又由(1)知，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0，则两式相加得，2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝512，所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝256.
【变式探究】
1．(设问变式)本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值．
解：由二项展开式定理可知，a1，a3，a5，a7，a9为负数，a0，a2，a4，a6，a8为正数，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝29＝512.
2．(设问变式)本例条件不变，求a0＋＋＋＋…＋的值．
解：令x＝，则a0＋＋＋＋…＋＝9＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
赋值法求二项展开式中的系数和
(1)对于形如(ax＋b)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ ，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ .
(3)处理二项展开式的系数和问题，要结合代数式特点灵活赋值．
[跟踪训练3] 已知x7＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a7(x＋1)7.求：
(1)a1＋a2＋a3＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7.
解：(1)由x7＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a7(x＋1)7，令x＝－1，则a0＝－1，令x＝0，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7)－a0＝1.
(2)令x＝－2，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝(－2)7＝－128，因为a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝0，两式相减，可得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128，所以a1＋a3＋a5＋a7＝64.
(1)每一行都是________的，且两端的数都是________；
(2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之__________.
[答案自填] 对称 1 和
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET “杨辉三角”又称“贾宪三角”，“帕斯卡三角”(如图所示)，它揭示了(a＋b)n(n为非负数)展开式的各项系数的规律．
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\SXTBA22.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\SXTBA22.tif" \* MERGEFORMATINET
根据上述规律，完成下列问题：
(1)直接写出(a＋b)5＝______________________________________；
(2)(a＋1)8的展开式中a项的系数是___________________________；
(3)利用上述规律求115的值，写出过程．
【解】 (1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.
(2)由(a＋1)8的展开式的二项式系数可知展开式中a项的系数为C＝8.
(3)115＝(10＋1)5＝105×10＋5×104×11＋10×103×12＋10×102×13＋5×101×14＋100×15＝100 000＋50 000＋10 000＋1 000＋50＋1＝161 051.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是：观察——分析——实验——猜想结论——证明，要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，取决于我们的观察能力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察(横看成岭侧成峰，远近高低各不同).
[跟踪训练4] (2024·贵州兴义八中月考)杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算术》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是(a＋b)n(n∈N)，当n＝0，1，2，3，4，5时展开式的二项式系数表示形式．
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\SXTBA23.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\SXTBA23.tif" \* MERGEFORMATINET
借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是( )
A．5，9 B．5，10
C．6，9 D．6，10
解析：选D.由“杨辉三角”的性质可得，
从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和，
所以λ＝3＋3＝6，μ＝4＋λ＝10.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C＝( )
A．31 B．32
C．15 D．16
解析：选A.逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31.故选A.
2．(多选)下列关于(1－)10的说法，正确的是( )
A．展开式的各二项式系数之和是1 024
B．展开式各项系数之和是1 024
C．展开式的第5项的二项式系数最大
D．展开式的第3项为45x
解析：选AD.对于A，(1－)10的展开式的各二项式系数之和是210＝1 024，A正确；对于B，令＝1，得(1－)10的展开式的各项系数之和为0，B错误；对于C，(1－)10的展开式的第6项的二项式系数最大，C错误；对于D，(1－)10的展开式的第3项为C(－)2＝45x，D正确．故选AD.
3．二项式(x－1)7的展开式中，系数最大的项为________．
解析：(x－1)7展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx7－r·(－1)r，0≤r≤7且r为整数．若项的系数最大，则r为偶数，其中T1＝Cx7(－1)0＝x7，T3＝Cx5·(－1)2＝21x5，T5＝Cx3(－1)4＝35x3，T7＝Cx·(－1)6＝7x，显然系数最大项为T5＝35x3.
答案：35x3
4．(教材P35习题3－3CT2改编)已知对任意给定的实数x，都有(1－2x)100＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a100(x＋1)100.求：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a100；
(2)a1＋a3＋a5＋…＋a99.
解：(1)因为(1－2x)100＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a100(x＋1)100，令x＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a100＝1.
(2)令x＝－2，则a0－a1＋a2－…＋a100＝5100，由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a100＝1，两式相减，化简可得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)二项式系数的性质；(2)二项展开式中系数最大问题；(3)二项展开式中系数和问题．
2．须贯通：(1)赋值法解决二项展开式系数和问题；
(2)求展开式中系数最大的项，应用
解出k，即得出系数最大的项．
3．应注意：(1)易混淆系数与二项式系数的区别；
(2)不能正确判断中间项的个数．
1.了解杨辉三角各行数字的特点，归纳二项式系数间的关系． 2.掌握二项式系数的性质，并会简单应用． 3.理解和初步掌握赋值法及其应用．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，C，…，C可表示成如下形式，
思考1 上述数表最显著的特点是什么？
提示：(1)从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小．
(2)表中每行两端的数都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．
思考2 每一行中，与首末等距离的二项式系数有怎样的关系？
提示：相等．
思考3 当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？
提示：分别是1，6，15，20，15，6，1.
1．对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由________得到．直线______________将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．
2．增减性与最大值
(1)当k<时，C随k的增加而________．由对称性知，二项式系数的后半部分C随k的增加而________．
(2)当n是偶数时，中间的一项__________取得最大值；当n是奇数时，中间的两项________与________相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝________．
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
eq \a\vs4\al([答案自填] \o(□,\s\up1(1))\x(C＝C) \o(□,\s\up1(2))r＝\f(n,2) \o(□,\s\up1(3))增大 \o(□,\s\up1(4))减小,\o(□,\s\up1(5))C\s\up6(\f(n,2))n \o(□,\s\up1(6))\a\vs4\al(C\s\up6(\f(n－1,2))n) \o(□,\s\up1(7))\a\vs4\al(C\s\up6(\f(n＋1,2))n) \o(□,\s\up1(8))2n)
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)若(1－2x)n的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为( )
A．－960 B．960
C．448 D．－448
(2)展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为__________________．(用数字作答)
【解析】 (1)依题意只有n＝8时第5项的二项式系数最大，x3的系数为C(－2)3＝－448.故选D.
(2)由题意及二项式系数的性质可得2n－1＝32，解得n＝6，所以其展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r＝(－3)rCx6－2r，依题意令6－2r＝0，解得r＝3，所以展开式中的常数项为(－3)3C＝－540.
【答案】 (1)D (2)－540
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
二项式系数性质的理解
(1)二项式系数的性质不是展开式中系数的性质．
(2)二项式系数的最大项与n的奇偶性有关．
(3)二项式系数和只与n有关．
[跟踪训练1] (1)(1＋2x)n的展开式中二项式系数最大为C，则n不可能为( )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：选A.根据二项式系数的对称关系，当n＝10时，所有二项式系数中，C最大；当n＝11时，所有二项式系数中，C＝C，且C，C均为最大；当n＝12时，所有二项式系数中，C最大；当n＝13时，所有二项式系数中，C＝C，且C，C均为最大．故选A.
(2)在(2x3－)n的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则展开式中x7的系数为________．(用数字作答)
解析：依题意可得2n＝128，则n＝7，
所以展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x3)7－r＝C27－r·(－1)rx21－r(0≤r≤7且r∈N)，令21－r＝7，解得r＝4，所以T5＝C×23×(－1)4x7＝280x7，所以展开式中x7的系数为280.
答案：280
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (2024·辽宁大连月考)在(ax＋)n的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79，常数项为.
(1)求n和a的值；
(2)求展开式中系数最大的项．
【解】 (1)由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为C＋C＋C＝1＋n＋＝＝79，整理可得n2＋n－156＝0(n∈N＋)，解得n＝12(负值已舍去)，又的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(ax)12－r＝C·a12－r·x12－r(r＝0，1，2，…，12)，令12－r＝0，可得r＝9，所以展开式中的常数项为T10＝C·a3＝220a3＝，解得a＝，故n＝12，a＝.
(2)由不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(12－k)≥C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(13－k)，,C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(12－k)≥C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(11－k))) (k＝0，1，2，…，12)，解得≤k≤，所以k＝8，所以展开式中系数最大的项为T9＝C··x＝x.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项的系数最大，应用解出k，即得出系数最大的项．
[跟踪训练2] 已知二项式(x－)6(a>0)的展开式中x3的系数为r，常数项为s，且r＝s.
(1)求a的值；
(2)求展开式中系数最小的项．
解：(1)由题意根据二项展开式的通项，得Tk＋1＝C·x6－k·＝(－a)k·C·x6－.令k＝2，得展开式中x3的系数为r＝C·a2＝15a2，令k＝4，得展开式中的常数项为s＝C·a4＝15a4，又因为r＝s，所以15a2＝15a4，解得a＝0或a＝－1或a＝1，又a>0，故a＝1.
(2)由(1)知a＝1，故原二项式为，
则展开式中第k项、第k＋1项、第k＋2项的系数绝对值分别为C，C，C，若第k＋1项的系数绝对值最大，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C≥C，,C≥C，)) 解得≤k≤，又因为k∈N＋，所以k＝3，则展开式中系数的绝对值最大的项是第4项，所以T4＝(－1)3·C·x，其系数为负数，此时该项的系数最小，故展开式中系数最小的项为T4＝－20x.
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 已知(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9.
(1)求a1＋a2＋a3＋…＋a9的值；
(2)求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值．
【解】 (1)因为(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9.令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0, 所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝－1.
(2)令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，又由(1)知，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0，则两式相加得，2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝512，所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝256.
【变式探究】
1．(设问变式)本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值．
解：由二项展开式定理可知，a1，a3，a5，a7，a9为负数，a0，a2，a4，a6，a8为正数，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝29＝512.
2．(设问变式)本例条件不变，求a0＋＋＋＋…＋的值．
解：令x＝，则a0＋＋＋＋…＋＝9＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
赋值法求二项展开式中的系数和
(1)对于形如(ax＋b)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ ，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ .
(3)处理二项展开式的系数和问题，要结合代数式特点灵活赋值．
[跟踪训练3] 已知x7＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a7(x＋1)7.求：
(1)a1＋a2＋a3＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7.
解：(1)由x7＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a7(x＋1)7，令x＝－1，则a0＝－1，令x＝0，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7)－a0＝1.
(2)令x＝－2，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝(－2)7＝－128，因为a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝0，两式相减，可得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128，所以a1＋a3＋a5＋a7＝64.
(1)每一行都是________的，且两端的数都是________；
(2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之__________.
[答案自填] 对称 1 和
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET “杨辉三角”又称“贾宪三角”，“帕斯卡三角”(如图所示)，它揭示了(a＋b)n(n为非负数)展开式的各项系数的规律．
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\SXTBA22.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\SXTBA22.tif" \* MERGEFORMATINET
根据上述规律，完成下列问题：
(1)直接写出(a＋b)5＝______________________________________；
(2)(a＋1)8的展开式中a项的系数是___________________________；
(3)利用上述规律求115的值，写出过程．
【解】 (1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.
(2)由(a＋1)8的展开式的二项式系数可知展开式中a项的系数为C＝8.
(3)115＝(10＋1)5＝105×10＋5×104×11＋10×103×12＋10×102×13＋5×101×14＋100×15＝100 000＋50 000＋10 000＋1 000＋50＋1＝161 051.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是：观察——分析——实验——猜想结论——证明，要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，取决于我们的观察能力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察(横看成岭侧成峰，远近高低各不同).
[跟踪训练4] (2024·贵州兴义八中月考)杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算术》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是(a＋b)n(n∈N)，当n＝0，1，2，3，4，5时展开式的二项式系数表示形式．
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\SXTBA23.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\SXTBA23.tif" \* MERGEFORMATINET
借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是( )
A．5，9 B．5，10
C．6，9 D．6，10
解析：选D.由“杨辉三角”的性质可得，
从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和，
所以λ＝3＋3＝6，μ＝4＋λ＝10.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C＝( )
A．31 B．32
C．15 D．16
解析：选A.逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31.故选A.
2．(多选)下列关于(1－)10的说法，正确的是( )
A．展开式的各二项式系数之和是1 024
B．展开式各项系数之和是1 024
C．展开式的第5项的二项式系数最大
D．展开式的第3项为45x
解析：选AD.对于A，(1－)10的展开式的各二项式系数之和是210＝1 024，A正确；对于B，令＝1，得(1－)10的展开式的各项系数之和为0，B错误；对于C，(1－)10的展开式的第6项的二项式系数最大，C错误；对于D，(1－)10的展开式的第3项为C(－)2＝45x，D正确．故选AD.
3．二项式(x－1)7的展开式中，系数最大的项为________．
解析：(x－1)7展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx7－r·(－1)r，0≤r≤7且r为整数．若项的系数最大，则r为偶数，其中T1＝Cx7(－1)0＝x7，T3＝Cx5·(－1)2＝21x5，T5＝Cx3(－1)4＝35x3，T7＝Cx·(－1)6＝7x，显然系数最大项为T5＝35x3.
答案：35x3
4．(教材P35习题3－3CT2改编)已知对任意给定的实数x，都有(1－2x)100＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a100(x＋1)100.求：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a100；
(2)a1＋a3＋a5＋…＋a99.
解：(1)因为(1－2x)100＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a100(x＋1)100，令x＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a100＝1.
(2)令x＝－2，则a0－a1＋a2－…＋a100＝5100，由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a100＝1，两式相减，化简可得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)二项式系数的性质；(2)二项展开式中系数最大问题；(3)二项展开式中系数和问题．
2．须贯通：(1)赋值法解决二项展开式系数和问题；
(2)求展开式中系数最大的项，应用
解出k，即得出系数最大的项．
3．应注意：(1)易混淆系数与二项式系数的区别；
(2)不能正确判断中间项的个数．