4.2.3 第2课时　课后达标检测（教师版）

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1．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于 eq \f(CC,C) 的是(　　)
A.P(X＝2)
B．P(X≤2)
C．P(X＝4)
D．P(X≤4)
解析：选C.X服从超几何分布，故P(X＝k)＝ eq \f(CC,C) ，则k＝4.故选C.
2．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为(　　)
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
解析：选C.X＝k表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P(X＝k)＝ eq \f(CC,C) (k＝1，2，3，4)，所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝.故选C.
3．(2024·山东济南月考)现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本的本数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.设语文课本有m本，任取2本书中的语文课本数为X，则X服从参数为N＝7，n＝2，M＝m的超几何分布，其中X的取值范围为{0，1，2}，
且P(X＝k)＝ eq \f(CC,C) (k＝0，1，2).由题意得，
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＋ eq \f(CC,C) ＝×＋＝.
所以m2－m－12＝0，解得m＝4或m＝－3(舍去).即7本书中语文课本有4本．故选C.
4．某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P(X>0)＝，则该社团的人数为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．10
解析：选C.设该社团共有n(n∈N＋)人，
所以P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，
因为P(X＝0)＝1－P(X>0)＝，
所以＝，即(11n－18)(n－7)＝0，又因为n∈N＋，解得n＝7.故选C.
5.
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(2024·北京市西城区月考)《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为 eq \f(C,C) ＝；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为 eq \f(CC,C) ＝，故这3个数中至多有1个阴数的概率为P＝＋＝.故选A.
6．(多选)袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取3个球，则下列结论中正确的是(　　)
A．取出的白球个数X服从二项分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
解析：选BC.从10个球中任取3个球，可视为不放回取球3次，每次取到白球的概率不同，各次试验结果不独立，取出的白球个数X不服从二项分布，故A不正确；
从10个球中任取3个球，取出的黑球个数Y的分布列P(Y＝k)＝ eq \f(CC,C) (k＝0，1，2，3)，取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确；
从10个球中任取3个球，取出2个白球的概率P1＝ eq \f(CC,C) ＝，故C正确；
依题意，取出3球总得分最大是6分，即取出3个黑球的事件，其概率为P2＝ eq \f(C,C) ＝，故D不正确．故选BC.
7．(2024·山东潍坊高二月考)某无人机小组有3名男生，2名女生，从中任选2名同学参加科技节无人机表演，若X表示选出女生的人数，则P(X＝1)＝________．
解析：由题意，从3名男生，2名女生中任选2名同学参加科技节无人机表演，则选出女生的人数为1的概率P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝.
答案：
8．在一次运动会上，某单位派出了6名主力队员和5名替补队员组成代表队参加比赛．如果随机抽派5名队员上场，则主力队员多于替补队员的概率为____________．
解析：将主力队员上场的人数记为X，则X>5－X，X>，则所求概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝ eq \f(CC,C) ＋ eq \f(CC,C) ＋ eq \f(C,C) ＝.
答案：
9．某高校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为________．
解析：用随机变量X表示挑选的4个试题中甲答对的个数，依题意，甲能通过自主招生初试的概率为P(X＝3)＋P(X＝4)＝ eq \f(CC,C) ＋ eq \f(CC,C) ＝＋＝.
答案：
10．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个、肉粽3个、白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．
解：(1)设事件A表示“三种粽子各取到1个”，则有P(A)＝ eq \f(CCC,C) ＝.
(2)X的取值范围为{0，1，2}，P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝.综上可知，X的分布列为
X 0 1 2
P
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "../../能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\能力提升.TIF" \* MERGEFORMATINET
11．课桌上有12本书籍，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书籍，用随机变量ξ表示这6本书籍中理科书籍的本数，则概率为 eq \f(CC,C) ＋ eq \f(CC,C) 的是(　　)
A．P(ξ≤1) B．P(ξ＝1)
C．P(ξ>1) D．P(ξ>2)
解析：选A.由题意，随机变量ξ表示这6本书籍中理科书籍的本数，且服从超几何分布，所以 eq \f(CC,C) ＋ eq \f(CC,C) ＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝P(ξ≤1).故选A.
12．袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝__________________________________________.
解析：设10个球中有白球m(m∈N＋)个，则 eq \f(C,C) ＝1－，化简得m2－19m＋70＝0，解得m＝5或m＝14(舍去).所以P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝.
答案：
13．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．
解析：用X表示中奖票数，P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＋ eq \f(CC,C) >0.5，即＋>，所以＋>，解得15≤n≤50，n∈N.
答案：15
14．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)求应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数；
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；
②设事件A为“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①随机变量X的取值范围为{0，1，2，3}．
P(X＝k)＝ eq \f(CC,C) (k＝0，1，2，3).
所以P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”，事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由①知，P(B)＝P(X＝2)＝，P(C)＝P(X＝1)＝，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.
所以事件A发生的概率为.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "../../素养拓展.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\素养拓展.TIF" \* MERGEFORMATINET
15．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为________．
解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为半圆弧另外的三个四等分点，
INCLUDEPICTURE "../../25SX4.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25SX4.TIF" \* MERGEFORMATINET
从A，B，C，D，E这5个点任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为C＝10.其中直角三角形有：△ABC，△ABD，△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X的取值范围是{0，1，2，3}，P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(C,C) ＝，
因此，所求概率为P＝＝.
答案：
16．微信是现代生活信息交流的重要工具，随机对使用微信的100人进行统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信依赖”，不超过两小时的人被定义为“非微信依赖”，已知“非微信依赖”与“微信依赖”人数比恰为3∶2.
使用微信时间/时 频数 频率
(0，0.5] 5 0.05
(0.5，1] 15 0.15
(1，1.5] 15 0.15
(1.5，2] x p
(2，2.5] 30 0.30
(2.5，3] y q
合计 100 1.00
(1)确定x，y，p，q的值；
(2)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信依赖”和“非微信依赖”的100人中用分层抽样的方法抽取10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信依赖”的人数为ξ，求ξ的分布列；
(3)求选取的3人中“微信依赖”至少有2人的概率．
解：(1)由统计表中的数据可知，“非微信依赖”的人数为5＋15＋15＋x＝35＋x，“微信依赖”的人数为30＋y，所以＝　①，
又35＋x＋30＋y＝100　②，联立①②解得x＝25，y＝10，所以p＝＝＝0.25，q＝＝＝0.10.故x＝25，y＝10，p＝0.25，q＝0.10.
(2)用分层抽样的方法抽取的10人中，“非微信依赖”有10×＝6(人)，“微信依赖”有10×＝4(人)，所以随机变量ξ的取值范围为{0，1，2，3}，则
P(ξ＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(ξ＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(ξ＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(ξ＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
(3)选取的3人中“微信依赖”至少有2人的概率为P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝.