4.2.4 第1课时　课后达标检测（教师版）

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1．(2024·山东威海期末)若随机变量X的分布列为(　　)
X 0 1 2
P a b
且E(X)＝1，则b的值为(　　)
A． B．0
C． D．
解析：选A.根据所给的分布列，可得＋a＋b＝1，由E(X)＝1，可得E(X)＝0×＋1×a＋2×b＝1，解得a＝b＝.故选A.
2．已知ξ～B，η～B且E(ξ)＝15，则E(η)＝(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：选B.因为E(ξ)＝n＝15，所以n＝30，所以η～B，所以E(η)＝30×＝10.
3．已知甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X1，X2表示)的分布列如下．
甲得分的分布列如表：
X1 1 2 3
P 0.4 0.1 0.5
乙得分的分布列如表：
X2 1 2 3
P 0.1 0.6 0.3
则甲、乙两人的射击技术(　　)
A．甲更好 B．乙更好
C．甲、乙一样好 D．不可比较
解析：选B.因为E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙的射击技术更好些．
4．甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为(0A． B．
C．1 D．
解析：选D.因为＝××，解得t＝3(负值已舍去).因为ξ的取值范围为{0，1，2}，则ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
5．(2024·辽宁丹东期末)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则E(ξ)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.方法一：由题意可知，随机变量ξ的取值范围为{0，1，2}，且P(ξ＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，P(ξ＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(ξ＝2)＝ eq \f(C,C) ＝，因此，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二：由题意，ξ～H(7，2，2)，
所以E(ξ)＝＝.故选B.
6．(多选)设p为非负实数，随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P －p p
则下列说法正确的是(　　)
A．p∈[0，]
B．E(X)的最大值为
C．p∈[0，]
D．E(X)的最大值为
解析：选AB.由题意及分布列的性质可得解得0≤p≤，即p∈[0，]，均值E(X)＝0×(－p)＋1×p＋2×＝1＋p，所以当p＝时，E(X)max＝.故选AB.
7．离散型随机变量X的取值范围为{1，2，3，4}，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则a＝________，b＝________.
解析：易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，
即30a＋10b＝3.①又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1.②
由①②，得a＝，b＝0.
答案：　0
8．已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－，则m＝___________________________，
a＝________．
解析：由分布列的概率之和为1可得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，则E(X)＝－2×－1×＋0×＋1×＋2×＝－，因为E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15.
答案：　15
9．(2024·山东德州月考)一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个．现从中任意取出3个小球，若取到红球得2分，取到黄球得3分，取到绿球得4分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的均值为________．
解析：依题设，ξ的取值范围为{7，8，9，10，11}．其中C＝20，则P(ξ＝7)＝ eq \f(C,20) ＝，P(ξ＝8)＝ eq \f(C＋C,20) ＝，P(ξ＝9)＝ eq \f(C·C·C,20) ＝，P(ξ＝10)＝ eq \f(C＋C,20) ＝，P(ξ＝11)＝ eq \f(C,20) ＝，所以E(ξ)＝7×＋8×＋9×＋10×＋11×＝9.
答案：9
10．某节假日期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：
(1)随机变量ξ的分布列；
(2)随机变量ξ的均值．
解：方法一：(1)ξ的取值范围为{0，1，2，3，4}．则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝ eq \f(C·23,34) ＝，P(ξ＝2)＝ eq \f(C·22,34) ＝，P(ξ＝3)＝ eq \f(C·2,34) ＝，P(ξ＝4)＝＝.从而ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
(2)由(1)得ξ的均值为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
方法二：(1)考查一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验．故ξ～B，
即有P(ξ＝k)＝C，k＝0，1，2，3，4，ξ的分布列如方法一．
(2)E(ξ)＝4×＝.
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11．已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝1－p，P(ξ＝1)＝p，且0A．E(η)E(ξ)
C．E(η)＝E(ξ) D．E(η)≥E(ξ)
解析：选B.由题意，E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，由η＝|ξ－E(ξ)|，当ξ＝0时，η＝p；当ξ＝1时，η＝1－p，所以P(η＝p)＝1－p，
P(η＝1－p)＝p，E(η)＝p·P(η＝p)＋(1－p)·P(η＝1－p)＝2p(1－p)，
E(ξ)－E(η)＝p(2p－1)，由0E(ξ).故选B.
12．(多选)将5个质地和大小均相同的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋中装有1个黑球和1个白球，乙袋中装有2个黑球和1个白球．若采用不放回的抽取方式，先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋中的1个黑球被取出后再用同一方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋中的2个黑球全部取出后停止．记总抽取次数为X，下列说法正确的是(　　)
A．P(X＝3)＝
B．E(X)＝
C．已知从甲袋第一次就取到了黑球，则P(X＝4)＝
D．若把这5个球放进一个袋子里去，每次随机抽取一个球，取后不放回，直到将袋中的黑球全部取出后停止，记总抽取次数为Y，则E(Y)解析：选AB.设A：从甲袋第一次就取到了黑球，则P(A)＝，设X＝4为事件B，则P(AB)＝×＝，所以P(B|A)＝＝＝，选项C错误；X的取值范围为{3，4，5}，则P(X＝3)＝×＝，P(X＝4)＝×＋×＝，P(X＝5)＝×＝，E(X)＝3×＋4×＋5×＝，选项A，B正确；
Y的取值范围为{3，4，5}，P(Y＝3)＝××＝，P(Y＝4)＝C××××＝，P(Y＝5)＝C××＝，
E(Y)＝3×＋4×＋5×＝4.5，E(Y)>E(X)，选项D错误．故选AB.
13．设口袋中有白球3个，黑球若干个，从中任取2个球，设抽到的球中白球个数为X，且E(X)＝，则口袋中共有________个黑球．
解析：设黑球有n个，当n＝1时，X的取值范围为{1，2}，则P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，则E(X)＝1×＋2×＝≠，故n＝1与题意矛盾，所以n≥2，当n≥2时，X的取值范围为{0，1，2}，则P(X＝2)＝ eq \f(C,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，则E(X)＝2×＋1×＋0×＝，解得n＝4(负值已舍去)，即口袋中共有4个黑球．
答案：4
14．由于高中数学研究课题的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：
5 660　6 520　7 326　6 798　7 325　8 430
8 215 7 453 7 446 6 754
7 638 6 834 6 260 6 830 9 860 8 753
9 450 9 860 7 290 7 850
对这20个数据按组距为1 000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计表(设步数为x).
组别 A B C D E
步数分组 5 500≤x<6 500 6 500≤x<7 500 7 500≤x<8 500 8 500≤x<9 500 9 500≤x≤10 500
频数 2 m 4 2 n
(1)求m，n的值；
(2)从A，E两个组别的数据中任取2个数据，记这2个数据步数差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和均值E(X).
解：(1)根据给出的20个数据可得步数在[6 500，7 500)范围内的有10个，所以m＝10，步数在[9 500，10 500]范围内的有2个，所以n＝2.
(2)A，E两个组别共有4个数据：5 660，6 260，9 860，9 860.从中任取两个数据有6种取法，X的取值范围为{0，600，3 600，4 200}，
则P(X＝0)＝，P(X＝600)＝，P(X＝3 600)＝＝，P(X＝4 200)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 600 3 600 4 200
P
所以E(X)＝0×＋600×＋3 600×＋4 200×＝2 700.
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15．将3个相同的红球，2个相同的白球，1个黄球随机排成一排，设3个红球中相邻的个数为ξ1(若互不相邻，则ξ1＝0；若有且仅有2个相邻，则ξ1＝2；若3个连在一起，则ξ1＝3)，2个白球中相邻的个数为ξ2(若不相邻，则ξ2＝0；若相邻，则ξ2＝2)，记ξ＝则E(ξ)＝________．
解析：根据题意，可得随机变量ξ1的取值范围为{0，2，3}，可得P(ξ1＝0)＝ eq \f(AA,A) ＝，P(ξ1＝2)＝ eq \f(CAAA,A) ＝，P(ξ1＝3)＝ eq \f(AA,A) ＝，则P(ξ＝0)＝ eq \f(ACAA,A) ＋ eq \f(AAA,A) ＝，P(ξ＝2)＝＋ eq \f(AAA,A) ＝，P(ξ＝3)＝P(ξ1＝3)＝，所以E(ξ)＝0×＋2×＋3×＝.
答案：
16．某销售公司在当地A，B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价为每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足，则食品厂以每件250元补货，若销售有剩余，则食品厂以每件150元回收．现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A，B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：
销售件数 8 9 10 11
频数 20 40 20 20
以频率代替概率，记X表示这两家超市每日共销售该食品的件数，n表示销售公司每日共需购进该食品的件数．
(1)求X的分布列；
(2)以销售该食品所得利润的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选一个，应选用哪个？
解：(1)易知一家超市销售该食品的件数为8，9，10，11的概率分别为，，，.X的取值范围为{16，17，18，19，20，21，22}，P(X＝16)＝×＝，P(X＝17)＝××2＝，P(X＝18)＝×＋××2＝，P(X＝19)＝××2＋××2＝，P(X＝20)＝×＋××2＝，P(X＝21)＝××2＝，P(X＝22)＝×＝，所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P
(2)当n＝19时，记Y1为A，B两家超市销售该食品所得的利润，则Y1的分布列为
Y1 1 450 1 600 1 750 1 900 1 950 2 000 2 050
P
E(Y1)＝1 450×＋1 600×＋1 750×＋1 900×＋1 950×＋2 000×＋2 050×＝1 822.
当n＝20时，记Y2为A，B两家超市销售该食品所得的利润，则Y2的分布列为
Y2 1 400 1 550 1 700 1 850 2 000 2 050 2 100
P
E(Y2)＝1 400×＋1 550×＋1 700×＋1 850×＋2 000×＋2 050×＋2 100×＝1 804.因为E(Y1)>E(Y2)，所以应选n＝19.