4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值（教师版）
文档属性
| 名称 | 4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值（教师版） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 244.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
4．2.4 随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．
2．理解离散型随机变量均值的性质． 3.掌握两点分布、二项分布与超几何分布的均值．
4．会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
在射击运动中，射击选手每次的射击成绩是一个非常典型的随机事件．如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？如何比较两个选手的射击情况？如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使获胜的概率较大？这些问题的解决需要离散型随机变量的知识．
假如某人射击10次，所得环数分别是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10.
思考 此人射击所得的平均环数是多少？
提示：＝＝8.
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
则称E(X)＝___________________________________________＝
________为离散型随机变量X的______________________(简称为期望).离散型随机变量X的均值E(X)也可用EX表示，它刻画了X的平均取值．
[答案自填] x1p1＋x2p2＋…＋xnpn xipi 均值或数学期望
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例2)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．
(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；
(2)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与均值．
【解】 (1)设A：取出的3个球编号都不相同，B：取出的3个球中恰有两个球编号相同，则P(B)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，所以P(A)＝1－P(B)＝.
(2)X的取值范围为{1，2，3，4}．
P(X＝1)＝ eq \f(CC＋CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC＋CC,C) ＝，
P(X＝3)＝ eq \f(CC＋CC,C) ＝，
P(X＝4)＝ eq \f(1,C) ＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
X的均值E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
求随机变量X的均值的步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X的取值范围；
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)；
(3)写出X的分布列；
(4)利用均值的定义E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求E(X).
[跟踪训练1] 某台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品会亏损20元．已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )
A．39元 B．37元
C．20元 D．元
解析：选B.设这台机器生产一件产品可获利ξ元，由题易知随机变量ξ的分布列为
ξ 50 30 －20
P 0.6 0.3 0.1
所以E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37.
(1)两点分布：若X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝________．
(2)二项分布：若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝________．
(3)超几何分布：若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝________．
[答案自填] p np
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是，试验不成功的概率都是，甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次试验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套．
(1)求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；
(2)记3次试验中，都选择了第一套方案且试验不成功的次数为X，求X的分布列和均值．
【解】 记事件Ai：一次试验中，选择第i套方案并试验成功，i＝1，2，则P＝ eq \f(1,C) ×＝.
(1)3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率P＝P＝3＋3＝.
(2)X的取值范围为{0，1，2，3}，则X～B，
P＝C，k＝0，1，2，3，所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×＝1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np；如果随机变量X服从参数为N，n，M的超几何分布，则E(X)＝，以上两公式可以作为常用结论，直接代入求解，可避免繁杂的计算过程．
[跟踪训练2] 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值．
解：(1)设A：选出的3名同学来自互不相同学院，则P(A)＝ eq \f(CC＋CC,C) ＝.所以选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.
(2)由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，n＝3，M＝4，且随机变量X的取值范围为{0，1，2，3}，P(X＝k)＝ eq \f(CC,C) ，k＝0，1，2，3.所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝(或E(X)＝＝).
若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则由X与Y之间分布列的关系可知E(Y)＝______________________．
[答案自填] aE(X)＋b
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)求E(X)；
(2)若Y＝2X－3，求E(Y).
【解】 (1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
(2)方法一(性质法)：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－)－3＝－.
方法二(直接法)：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
所以E(Y)＝－7×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.
【变式探究】
1．(设问变式)本例条件不变，若ξ＝aX＋4，且E(ξ)＝－13，求a的值．
解：E(ξ)＝E(aX＋4)＝aE(X)＋4＝－a＋4＝－13，解得a＝30.
2．(设问变式)本例条件不变，若ξ＝5X＋b，η＝aY－2，且E(ξ)＝E(η)，试求a，b的关系．
解：E(ξ)＝E(5X＋b)＝5E(X)＋b＝5×(－)＋b＝－＋b，E(η)＝E(aY－2)＝aE(Y)－2＝－a－2，因为E(ξ)＝E(η)，所以－＋b＝－a－2，即a＋b＝－2，即124a＋30b＝25.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用离散型随机变量性质解决问题的思路
若给出的随机变量ξ与X之间的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ)．
[跟踪训练3] (1)(2024·辽宁辽阳高二期末)设ξ的分布列如表所示，又设η＝2ξ＋5，则E(η)＝( )
ξ 1 2 3 4
P
A. B．
C． D．
解析：选D.依题意可得E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.故选D.
(2)(2024·山东济南高二期末)已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋3，Y的均值E(Y)＝，X的分布列为
X －1 0 1
P a b
则a，b的值分别为( )
A．a＝，b＝ B．a＝，b＝
C．a＝，b＝ D．a＝，b＝
解析：选A.依题意得E(X)＝－1×＋0×a＋1×b＝b－，所以E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×(b－)＋3＝，解得b＝.又因为＋a＋b＝1，所以a＝.故选A.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(教材P89练习BT2改编)已知随机变量X服从两点分布，其分布列如表所示，则E(X)＝( )
X 0 1
P a
A. B．
C． D．
解析：选A.由题意知＋a＝1，所以a＝，E(X)＝0×＋1×a＝a＝.
2．(教材P89T4改编)一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是( )
A． B．
C． D．
解析：选A.由题意得，选出女性成员的人数X服从参数为N＝5，n＝2，M＝3的超几何分布，则E(X)＝＝.
3．同学用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两名同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均值为__________________________________________________．
解析：依题意得，得分之和X的取值范围是{0，1，2}，且P(X＝0)＝(1－0.4)×(1－0.5)＝0.3，P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，所以得分之和X的分布列为
X 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
所以E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.
答案：0.9
4．盒子中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．
求：(1)抽取次数X的分布列；
(2)平均抽取多少次可取到好电池．
解：(1)由题意知，X的取值范围为{1，2，3}．P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
(2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5，即平均抽取1.5次可取到好电池．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)离散型随机变量的均值；(2)两点分布、二项分布及超几何分布的均值；(3)均值的性质．
2．须贯通：(1)求离散型随机变量的均值的方法；(2)求两点分布、二项分布及超几何分布的均值的方法．
3．应注意：均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数．
第1课时 离散型随机变量的均值
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．
2．理解离散型随机变量均值的性质． 3.掌握两点分布、二项分布与超几何分布的均值．
4．会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
在射击运动中，射击选手每次的射击成绩是一个非常典型的随机事件．如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？如何比较两个选手的射击情况？如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使获胜的概率较大？这些问题的解决需要离散型随机变量的知识．
假如某人射击10次，所得环数分别是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10.
思考 此人射击所得的平均环数是多少？
提示：＝＝8.
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
则称E(X)＝___________________________________________＝
________为离散型随机变量X的______________________(简称为期望).离散型随机变量X的均值E(X)也可用EX表示，它刻画了X的平均取值．
[答案自填] x1p1＋x2p2＋…＋xnpn xipi 均值或数学期望
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例2)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．
(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；
(2)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与均值．
【解】 (1)设A：取出的3个球编号都不相同，B：取出的3个球中恰有两个球编号相同，则P(B)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，所以P(A)＝1－P(B)＝.
(2)X的取值范围为{1，2，3，4}．
P(X＝1)＝ eq \f(CC＋CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC＋CC,C) ＝，
P(X＝3)＝ eq \f(CC＋CC,C) ＝，
P(X＝4)＝ eq \f(1,C) ＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
X的均值E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
求随机变量X的均值的步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X的取值范围；
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)；
(3)写出X的分布列；
(4)利用均值的定义E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求E(X).
[跟踪训练1] 某台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品会亏损20元．已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )
A．39元 B．37元
C．20元 D．元
解析：选B.设这台机器生产一件产品可获利ξ元，由题易知随机变量ξ的分布列为
ξ 50 30 －20
P 0.6 0.3 0.1
所以E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37.
(1)两点分布：若X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝________．
(2)二项分布：若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝________．
(3)超几何分布：若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝________．
[答案自填] p np
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是，试验不成功的概率都是，甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次试验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套．
(1)求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；
(2)记3次试验中，都选择了第一套方案且试验不成功的次数为X，求X的分布列和均值．
【解】 记事件Ai：一次试验中，选择第i套方案并试验成功，i＝1，2，则P＝ eq \f(1,C) ×＝.
(1)3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率P＝P＝3＋3＝.
(2)X的取值范围为{0，1，2，3}，则X～B，
P＝C，k＝0，1，2，3，所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×＝1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np；如果随机变量X服从参数为N，n，M的超几何分布，则E(X)＝，以上两公式可以作为常用结论，直接代入求解，可避免繁杂的计算过程．
[跟踪训练2] 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值．
解：(1)设A：选出的3名同学来自互不相同学院，则P(A)＝ eq \f(CC＋CC,C) ＝.所以选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.
(2)由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，n＝3，M＝4，且随机变量X的取值范围为{0，1，2，3}，P(X＝k)＝ eq \f(CC,C) ，k＝0，1，2，3.所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝(或E(X)＝＝).
若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则由X与Y之间分布列的关系可知E(Y)＝______________________．
[答案自填] aE(X)＋b
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)求E(X)；
(2)若Y＝2X－3，求E(Y).
【解】 (1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
(2)方法一(性质法)：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－)－3＝－.
方法二(直接法)：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
所以E(Y)＝－7×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.
【变式探究】
1．(设问变式)本例条件不变，若ξ＝aX＋4，且E(ξ)＝－13，求a的值．
解：E(ξ)＝E(aX＋4)＝aE(X)＋4＝－a＋4＝－13，解得a＝30.
2．(设问变式)本例条件不变，若ξ＝5X＋b，η＝aY－2，且E(ξ)＝E(η)，试求a，b的关系．
解：E(ξ)＝E(5X＋b)＝5E(X)＋b＝5×(－)＋b＝－＋b，E(η)＝E(aY－2)＝aE(Y)－2＝－a－2，因为E(ξ)＝E(η)，所以－＋b＝－a－2，即a＋b＝－2，即124a＋30b＝25.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用离散型随机变量性质解决问题的思路
若给出的随机变量ξ与X之间的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ)．
[跟踪训练3] (1)(2024·辽宁辽阳高二期末)设ξ的分布列如表所示，又设η＝2ξ＋5，则E(η)＝( )
ξ 1 2 3 4
P
A. B．
C． D．
解析：选D.依题意可得E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.故选D.
(2)(2024·山东济南高二期末)已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋3，Y的均值E(Y)＝，X的分布列为
X －1 0 1
P a b
则a，b的值分别为( )
A．a＝，b＝ B．a＝，b＝
C．a＝，b＝ D．a＝，b＝
解析：选A.依题意得E(X)＝－1×＋0×a＋1×b＝b－，所以E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×(b－)＋3＝，解得b＝.又因为＋a＋b＝1，所以a＝.故选A.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(教材P89练习BT2改编)已知随机变量X服从两点分布，其分布列如表所示，则E(X)＝( )
X 0 1
P a
A. B．
C． D．
解析：选A.由题意知＋a＝1，所以a＝，E(X)＝0×＋1×a＝a＝.
2．(教材P89T4改编)一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是( )
A． B．
C． D．
解析：选A.由题意得，选出女性成员的人数X服从参数为N＝5，n＝2，M＝3的超几何分布，则E(X)＝＝.
3．同学用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两名同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均值为__________________________________________________．
解析：依题意得，得分之和X的取值范围是{0，1，2}，且P(X＝0)＝(1－0.4)×(1－0.5)＝0.3，P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，所以得分之和X的分布列为
X 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
所以E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.
答案：0.9
4．盒子中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．
求：(1)抽取次数X的分布列；
(2)平均抽取多少次可取到好电池．
解：(1)由题意知，X的取值范围为{1，2，3}．P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
(2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5，即平均抽取1.5次可取到好电池．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)离散型随机变量的均值；(2)两点分布、二项分布及超几何分布的均值；(3)均值的性质．
2．须贯通：(1)求离散型随机变量的均值的方法；(2)求两点分布、二项分布及超几何分布的均值的方法．
3．应注意：均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数．