4.2.4 第2课时　课后达标检测（教师版）

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1．若离散型随机变量X的标准差＝8，则随机变量Y＝2X－1的标准差为(　　)
A．8 B．15
C．16 D．32
解析：选C.＝＝＝2＝2×8＝16.故选C.
2．(2024·山东东营期末)已知随机变量X的分布列如下表，则D(X)＝(　　)
X －2 1 2
P a
A.2 B．3
C．4 D．5
解析：选A.由＋a＋＝1，解得a＝，则E(X)＝(－2)×＋1×＋2×＝1，D(X)＝(－2－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝2.故选A.
3．编号为1，2，3的3位同学随意入座编号为1，2，3的3个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是X，则D(X)＝(　　)
A． B．
C． D．1
解析：选D.X的取值范围为{0，1，3}，则P(X＝0)＝ eq \f(2,A) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(3,A) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(1,A) ＝，所以E(X)＝0×＋1×＋3×＝1，D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(3－1)2×＝1.
4．已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ m n
P a
若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值为(　　)
A．0 B．2
C．1 D．
解析：选A.由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝(m－2)2＋(n－2)2＝(6－2n－2)2＋(n－2)2＝2(n－2)2，所以当n＝2时，D(ξ)min＝0.故选A.
5．已知离散型随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝，k＝3，6，9，则D(X)＝(　　)
A．6 B．9
C．3 D．4
解析：选A.由题知E(X)＝3×＋6×＋9×＝6，则D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.故选A.
6．(多选)(2024·辽宁本溪校考期末)已知离散型随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P a
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列说法正确的有(　　)
A．P(|X|＝1)＝ B．E(X)＋E(Y)＝0
C．D(Y)＝ D．P(Y＝1)＝
解析：选AB.由＋a＋＝＋a＝1，a＝，所以P(|X|＝1)＝＋＝，所以A选项正确；E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，
Y －1 1 3
P
所以P(Y＝1)＝，所以D选项错误；
E(Y)＝－1×＋1×＋3×＝，所以E(X)＋E(Y)＝0，所以B选项正确；
D(Y)＝(－1－)2×＋(1－)2×＋(3－)2×＝，故C选项错误．故选AB.
7．已知随机变量X服从二项分布B(n，p).若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________．
解析：由E(X)＝30，D(X)＝20，可得解得p＝.
答案：
8．已知离散型随机变量X的取值范围为{－1，0，1}，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应－1，0，1的概率p1，p2，p3分别为________，________，________．
解析：由题意知，
解得
答案：0.4　0.1　0.5
9．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0解析：由题意可得随机变量X的取值范围为{0，1}，并且P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p，所以E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)＝p－p2＝－(p－)2＋，所以当p＝时，D(X)取得最大值；＝＝2－(2p＋)≤2－2＝2－2，当且仅当2p＝即p＝时，等号成立，所以的最大值为2－2.
答案：　2－2
10．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、均值和方差．
解：乙投篮的次数ξ的取值范围为{0，1，2}．
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝1)＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝×＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，
D(ξ)＝×＋×＋×＝.
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11．设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1A． B．
C．3 D．
解析：选C.由题意得P(X＝x1)＋P(X＝x2)＝1，所以随机变量X只有x1，x2两个取值，所以
解得或
所以x1＋x2＝3，故选C.
12．已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0A．E(ξ1)B．E(ξ1)D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
解析：选A.根据已知得ξi(i＝1，2)服从两点分布，由两点分布的均值知E(ξi)＝pi，所以D(ξi)＝(1－pi)2·pi＋(0－pi)2·(1－pi)＝pi(1－pi)，因为013．(2024·北京市西城区高二统考期末)已知随机变量X1和X2的分布列分别是：
X1 0 1
p 1－p1 p1
X2 0 1
p 1－p2 p2
能说明D(X1)≤D(X2)不成立的一组p1，p2的值可以是p1＝________；p2＝________．
解析：依题意，随机变量X1和X2的均值分别为E(X1)＝p1，E(X2)＝p2，则D(X1)＝(0－p1)2·(1－p1)＋(1－p1)2·p1＝p1－p，同理D(X2)＝p2－p，由D(X1)≤D(X2)，得p1－p≤p2－p，整理得(p1－p2)[1－(p1＋p2)]≤0，因此p1≥p2且p1＋p2≥1或者p1≤p2且p1＋p2≤1，所以D(X1)≤D(X2)不成立的一组p1，p2的值可以为p1＝0.3，p2＝0.2.
答案：0.3　0.2(答案不唯一)
14．某公司计划将100万元用于投资，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
解：设投资项目一、二获利分别为X，Y万元，则X的取值范围为{30，－15}，且P(X＝30)＝，
P(X＝－15)＝，
Y的取值范围为{50，－30，0}，且P(Y＝50)＝，P(Y＝－30)＝，P(Y＝0)＝，
所以E(X)＝30×＋(－15)×＝20，E(Y)＝50×＋(－30)×＋0×＝20，所以E(X)＝E(Y)，
D(X)＝(30－20)2×＋(－15－20)2×＝350，D(Y)＝(50－20)2×＋(－30－20)2×＋(0－20)2×＝1 400，则D(X)INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "../../素养拓展.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\素养拓展.TIF" \* MERGEFORMATINET
15．已知x，y，z∈N＋，且x＋y＋z＝8，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则D(X)＝_________________________________________．
解析：因为x＋y＋z＝8，所以随机变量X的取值范围为{1，2}，
用隔板法可求得：事件总情况为C种，
当X＝1时，分两种情况：
①三个数中只有一个1，有CC种；
②三个数中有两个1，有C种，
所以当X＝1时，P(X＝1)＝ eq \f(CC＋C,C) ＝，
当X＝2时，也分两种情况：
①三个数中只有一个2，有C种；
②三个数中有两个2，有C种，
所以当X＝2时，P(X＝2)＝ eq \f(C＋C,C) ＝，
所以E(X)＝1×＋2×＝，E(X2)＝1×＋4×＝，D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.
答案：
16．某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物的数量有大幅度的增加．已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物P，统计其中A种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果．重复进行这个试验共20次，记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i＝1，2，…，20).设该区域中A种的数目为M，B种的数目为N(M，N均大于100)，每一次试验均相互独立．
(1)求X1的分布列；
(2)记随机变量＝Xi.已知E(Xi＋Xj)＝E(Xi)＋E(Xj)，D(Xi＋Xj)＝D(Xi)＋D(Xj).
①证明：E()＝E(X1)，D()＝D(X1)；
②该小组完成所有试验后，得到Xi的实际取值分别为xi(i＝1，2，…，20).数据xi(i＝1，2，2，…，20)的平均数x＝30，方差s2＝1.采用x和s2分别代替E()和D()，给出M，N的估计值．
(已知随机变量x服从超几何分布记为x～H(P，n，Q)(其中P为总数，Q为某类元素的个数，n为抽取的个数)，则D(x)＝n(1－)())
解：(1)依题意，Xi(i＝1，2，…，20)均服从完全相同的超几何分布，且M，N均大于100，故X1的分布列为P(X1＝k)＝ eq \f(CC,C) (k∈N，0≤k≤100).所以X1的分布列为
X1 0 1 … 99 100
P eq \f(CC,C) eq \f(CC,C) … eq \f(CC,C) eq \f(CC,C)
(2)①证明：Xi(i＝1，2，…，20)均服从完全相同的超几何分布，故E(Xi)＝E(X1)，D(Xi)＝D(X1).E()＝E(Xi)＝E(Xi)＝E(Xi)＝×20E(X1)＝E(X1)，D()＝D(Xi)＝D(Xi)＝D(Xi)＝×20D(X1)＝D(X1)，故E()＝E(X1)，D()＝D(X1).
②由①可知的均值E()＝E(X1)＝.利用公式D(x)＝n(1－)·()计算X1的方差，D(X1)＝，所以D()＝D(X1)＝.依题意有解得所以可以估计M＝624，N＝1 456.