4.2.4 第2课时　离散型随机变量的方差（教师版）

第2课时　离散型随机变量的方差
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．　2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．　3.掌握方差的性质，以及服从两点分布、二项分布的随机变量的方差的求法，会利用公式求相应的方差．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
思考　从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表
甲
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
乙
X 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
如何评价这两名同学的射击水平？
提示：E(X)＝8，E(Y)＝8，因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平．评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度．根据表中数据可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定．
如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
因为X的均值为E(X)，所以D(X)＝__________________________＝__________________，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的________．离散型随机变量X的方差D(X)也可用________表示．一般地，称为离散型随机变量X的__________，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小).
[答案自填] [x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn　[xi－E(X)]2pi　方差
DX　标准差
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(甲和乙)进行田间试验．选取两块大地，每块大地分为n块小地，在总共2n块小地中，随机选n块小地种植品种甲，另外n块小地种植品种乙．假设n＝4，在第一块大地中，种植品种甲的小地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差．
【解】　X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且P(X＝0)＝ eq \f(1,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝4)＝ eq \f(1,C) ＝.即X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2，D(X)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
求离散型随机变量的方差的步骤
(1)明确随机变量的取值，并求出随机变量取各个值的概率；
(2)写出分布列；
(3)利用公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，求出随机变量的均值E(X)；
(4)代入公式D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn，求出方差D(X).　
[跟踪训练1] (1)已知一个口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.由题意，X的取值范围为{2，3}．X＝2包含的事件为取出的两个球为1，2，所以P(X＝2)＝ eq \f(1,C) ＝，X＝3包含的事件为取出的两个球为1，3或2，3，所以P(X＝3)＝ eq \f(2,C) ＝，所以E(X)＝2×＋3×＝，所以D(X)＝(2－)2×＋(3－)2×＝.
(2)(2024·山东德州期末)已知两所高校举行自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则D(X)＝________.
解析：因为X的取值范围为{0，1}，P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝＋×＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝×＋×＝.
答案：
(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则D(X)＝________(其中p为成功概率).
(2)若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则D(X)＝________．
[答案自填] p(1－p)　np(1－p)
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例4)某厂一批产品的正品率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，计算：
(1)抽出的10件产品中平均有多少件正品；
(2)抽出的10件产品中正品数的方差和标准差．(结果保留三位小数)
【解】　(1)因为正品率是98%，所以任取一件产品时，得到正品的概率为0.98.
用X表示抽得的正品数，由于是有放回地随机抽样，所以X服从二项分布B(10，0.98).则E(X)＝10×0.98＝9.8，因此抽出的10件产品中平均有9.8件正品．
(2)由X服从二项分布B(10，0.98)，则D(X)＝10×0.98×(1－0.98)＝0.196，标准差≈0.443.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
解决随机变量方差与标准差问题的第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).　
[跟踪训练2] (1)已知随机变量X的分布列为
X 0 1
P p 1－p
若D(X)＝(0A． B．
C． D．
解析：选A.方法一：由题意知X服从两点分布，故D(X)＝p(1－p)，又D(X)＝(0方法二：由题意可知E(X)＝1－p，所以D(X)＝p×[0－(1－p)]2＋(1－p)×[1－(1－p)]2＝，解得p＝.
(2)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设取得的白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.由题意，知X～B，所以E(X)＝5×＝3，解得m＝2，所以X～B，所以D(X)＝5××＝.
1．若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则由X与Y之间分布列和均值之间的关系可知D(Y)＝(axi＋b)－aE(X)－b]2pi＝a2xi－E(X)]2pi＝__________．
2．D(c)＝0(其中c为常数).
[答案自填] a2D(X)
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(1)已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
若E(X)＝，且Y＝3X－2，则 ＝_________________________________.
(2)为了响应全民健身和运动的号召，某单位举行了羽毛球趣味发球比赛，规则如下：每位选手可以选择在A区发球2次或者B区发球3次，球落到指定区域内才能得分．在A区发球时，每得分一次计2分，不得分计0分，在B区发球时，每得分一次计3次，不得分计0分，得分高者胜出．已知选手甲在A区和B区每次发球得分的概率分别为，.
①如果选手甲从在A区和B区发球得分的均值角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区发球？
②如果选手甲从在A区和B区发球得分的方差角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区发球？
【解】　(1)由题意得＋＋p＝1，解得p＝，因为E(X)＝0×＋1×＋x＝， 解得x＝2.所以D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝.因为Y＝3X－2，所以D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5，所以＝.故答案为.
(2)①设选手甲在A区发2次球得分的次数为X，则X～B(2，)，所以E(X)＝2×＝，所以甲在A区发球得分的均值为E(2X)＝2E(X)＝2×＝.设选手甲在B区发3次球得分的次数为Y，则Y～B(3，)，所以E(Y)＝3×＝1，所以甲在B区发球得分的均值为E(3Y)＝3E(Y)＝3×1＝3.由于3>，所以选手甲应该选择在B区发球．
②因为D(X)＝2××＝，D(Y)＝3××＝，所以D(2X)＝4D(X)＝4×＝，D(3Y)＝9D(Y)＝9×＝6，由于<6，所以选手甲应该选择在A区发球．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
(1)求随机变量Y＝aX＋b方差的方法
①先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差．
②应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
(2)均值、方差在决策中的作用
①均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．
②方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．
③在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．　
[跟踪训练3] (2024·辽宁葫芦岛测试)甲、乙两名射击选手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射击选手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
解：(1)由题意得，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得，E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．已知随机变量X的取值范围为{0，1，2}，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则标准差为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C.设P(X＝1)＝p，则P(X＝2)＝－p，由E(X)＝p＋2(－p)＝1，解得p＝，则由公式D(X)＝xi－E(X)]2pi，得D(X)＝，则标准差＝.故选C.
2．(多选)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列如下表所示．
股票甲每股收益的分布列
收益X/元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
股票乙每股收益的分布列
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
则下列结论中正确的是(　　)
A．投资股票甲的收益均值较小
B．投资股票乙的收益均值较小
C．投资股票甲比投资股票乙的风险高
D．投资股票乙比投资股票甲的风险高
解析：选BC.甲收益的均值E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29.乙收益的均值E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，方差D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6.所以E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，所以投资股票乙的收益均值较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高．故选BC.
3．(2024·北京市西城区月考)已知离散型随机变量ξ的分布列如下表所示，则p＝______________，D(ξ)＝________．
ξ 0 1
P p
解析：由题意可得，＋p＝1，
则p＝，
所以E(ξ)＝0×＋1×＝，
D(ξ)＝×(0－)2＋×(1－)2＝×＋×＝.
答案：　
4．已知随机变量ξ有3个不同的取值，且其分布列如下：
ξ －1 0 1
P
则D(ξ2)的值为________．
解析：依题意，ξ2的取值范围为{0，1}，
且P(ξ2＝0)＝，P(ξ2＝1)＝，
则ξ2的均值E(ξ2)＝0×＋1×＝，
所以ξ2的方差D(ξ2)＝(0－)2×＋(1－)2×＝.
答案：
5．(教材P89T5改编)已知离散型随机变量X的分布列如表所示．若E(X)＝0，D(X)＝1，则a－b的值为________.
X －1 0 1 2
P a b c
解析：由题知a＋b＋c＝，－a＋c＋＝0，(－1－0)2×a＋(1－0)2×c＋(2－0)2×＝1，所以a＝，b＝，c＝.则a－b＝－＝.
答案：
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)离散型随机变量的方差；(2)离散型随机变量的标准差；(3)方差的性质．
2．须贯通：(1)求离散型随机变量方差的方法；(2)求两点分布方差的方法；(3)求二项分布方差的方法．
3．应注意：要注意方差的性质公式与均值的性质公式的区别．