4.2.5 第1课时 二项分布与正态曲线（教师版）
文档属性
| 名称 | 4.2.5 第1课时 二项分布与正态曲线（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 285.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
4．2.5 正态分布
第1课时 二项分布与正态曲线
1.利用服从二项分布的随机变量的分布列的直观图，了解正态曲线的意义． 2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质，明确正态曲线中参数μ，σ的意义及其对正态曲线形状的影响．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
如图，是一块高尔顿板示意图．在一块木板上钉上若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-5.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-5.TIF" \* MERGEFORMATINET
为了更好地考察随着试验次数的增加，落在各个球槽内的小球分布情况，我们进一步从频率的角度探究一下小球的分布规律，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标，得到如图统计图：
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-6.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-6.tif" \* MERGEFORMATINET
思考 随着试验次数的增加，这个统计图会呈现出什么形状？
提示：随着重复次数的增加，题图的形状会越来越像一条钟形曲线，如图所示．
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-7.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-7.tif" \* MERGEFORMATINET
(1)二项分布的分布列的直观图的特点：当n充分大时，X～B(n，p)的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”．
(2)正态曲线的解析式：φ(x)＝e－，φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝________，即X的均值；σ＝________，即X的标准差．
(3)正态曲线的形状：一般地，φ(x)对应的图象称为正态曲线(也因形状而被称为“________________”，φ(x)也常常记为φμ，σ(x)).
[答案自填] E(X) 钟形曲线
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)下列函数中，可以作为正态曲线的是( )
A．f(x)＝e－
B．f(x)＝e
C.f(x)＝e－
D．f(x)＝e－
(2)若随机变量X的正态曲线对应函数为φμ，σ(x)＝e，则D＝________________________________________________________________________．
【解析】 (1)显然f(x)＝e－可以作为正态曲线．故选A.
(2)因为D(X)＝4，所以D＝D(X)＝1.
【答案】 (1)A (2)1
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
熟记正态曲线解析式的形式，理解解析式中μ，σ的意义，μ＝E(X)，σ2＝D(X).
[跟踪训练1] 设正态曲线的解析式为f(x)＝e－，则( )
A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2
C．μ＝2，σ＝ D．μ＝3，σ＝
解析：选C.由f(x)＝e－，得μ＝2，σ＝.故选C.
(1)正态曲线关于________对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有____________、两边低的特点；
(2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为____；
(3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度________，所以曲线越“________”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度________，所以曲线越“________”．
[答案自填] x＝μ 中间高 1 越弱
胖 越强 瘦
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (2024·辽宁朝阳期末)已知三个正态曲线对应的函数fi(x)＝·e－ eq \f(（x－μi）2,2σ) (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-8.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-8.TIF" \* MERGEFORMATINET
A．μ1＝μ2＞μ3，σ1＝σ2＞σ3
B．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
C．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3
D．μ1＝μ2＞μ3，σ1＝σ2＜σ3
【解析】 根据正态曲线对应的函数中参数μ，σ的意义，结合题图可知f2(x)，f3(x)对称轴位置相同，所以可得μ2＝μ3，且都在f1(x)的右侧，即μ1＜μ2＝μ3，比较f1(x)和f2(x)图象可得，其形状相同，即σ1＝σ2，又f3(x)的离散程度比f1(x)和f2(x)大，所以可得σ1＝σ2＜σ3.故选B.
【答案】 B
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“胖”，表示总体的分布越分散．
[跟踪训练2] 已知甲、乙两类水果的质量(单位：kg)的均值和方差分别为μ1，σ，μ2，σ，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是( )
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-9.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-9.TIF" \* MERGEFORMATINET
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果质量的方差σ2＝1.99
解析：选D.由题图可知甲曲线关于直线x＝0.4对称，乙曲线关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A，C正确；因为甲曲线比乙曲线更“瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确；因为乙曲线的峰值为1.99，令x＝μ得，＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误．
正态曲线与x轴在某个区间内所围的面积：
(1)在区间[μ，μ＋σ]内所围面积约为________，
(2)在区间[μ＋σ，μ＋2σ]内所围面积约为________，
(3)在区间[μ＋2σ，μ＋3σ]内所围面积约为________．
如图．
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-10.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-10.tif" \* MERGEFORMATINET
[答案自填] 0.341 3 0.135 9 0.021 5
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例1)
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-11.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-11.TIF" \* MERGEFORMATINET
在一次测试中，测量结果X的正态曲线如图所示，若正态曲线与x轴在区间[0，2]内所围面积为0.2.求正态曲线与x轴在下列区间内所围面积．
(1)[0，4]；
(2)(4，＋∞).
【解】 (1)由题意可知，正态曲线关于直线x＝2对称，故正态曲线与x轴在区间[0，4]内所围面积是在区间[0，2]内所围面积的2倍，即2×0.2＝0.4.
(2)正态曲线与x轴在区间[2，4]内所围面积与在区间[0，2]内所围面积相等，均为0.2，且正态曲线与x轴在区间[2，4]内所围面积与在区间(4，＋∞)内所围面积的和为0.5，故在区间(4，＋∞)内所围面积为0.5－0.2＝0.3.
【变式探究】
(设问变式)在题设条件不变的情况下，分别计算区间(－∞，0) 及(－∞，4)内所围面积．
解：区间(4，＋∞)与区间(－∞，0)关于直线x＝2对称，故正态曲线与x轴在区间(－∞，0)内所围面积为0.3.正态曲线与x轴在区间(－∞，4)内所围面积与在区间(4，＋∞)内所围面积的和为1，故正态曲线与x轴在区间(－∞，4)内所围面积为1－0.3＝0.7.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，即正态曲线与x轴所围面积在关于x＝μ对称的区间上相等．
[跟踪训练3] (2024·山东济南月考)已知随机变量X的正态曲线的解析式为φ(x)＝·e－，若正态曲线与x轴在区间(－∞，m]内所围面积为0.3，则正态曲线与x轴在区间(－∞，6－m)内所围面积为________．
解析：区间(－∞，6－m)与区间(m，＋∞)关于直线x＝3对称，故正态曲线与x轴在区间(－∞，6－m)与在区间(m，＋∞)内所围面积相等，正态曲线在区间(m，＋∞)内与x轴所围面积为1－0.3＝0.7，所以所求面积为0.7.
答案：0.7
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．关于正态曲线函数φ(x)＝e－，下列说法错误的是( )
A．曲线关于直线x＝μ对称，峰值为
B．曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交
C．σ越大，曲线越“矮胖”
D．对任意σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1
解析：选B.A，C，D说法正确．对于B，正态曲线位于x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，但与x轴不相交，B说法错误．
2．已知正态曲线f(x)＝e－，x∈R，则μ，σ分别是( )
A．0和4 B．0和2
C．0和8 D．0和
解析：选B.f(x)＝e－＝·e－，故μ＝0，σ＝2.故选B.
3．(教材P97练习BT1改编)若随机变量X的正态曲线关于直线x＝2对称，若正态曲线与x轴在区间(－∞，k)内所围面积与在区间(k，＋∞)内所围面积是相等的，则k＝________．
解析：由于正态曲线与x轴在区间(－∞，k)内所围面积与在区间(k，＋∞)内所围面积是相等的，所以正态曲线关于直线x＝k对称，所以k＝2.
答案：2
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)二项分布与正态曲线；
(2)正态曲线及其性质；
(3)正态曲线与x轴所围的面积．
2．须贯通：正态曲线及其性质判断需借助数形结合思想．
3．应注意：概率区间转化不等价．
第1课时 二项分布与正态曲线
1.利用服从二项分布的随机变量的分布列的直观图，了解正态曲线的意义． 2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质，明确正态曲线中参数μ，σ的意义及其对正态曲线形状的影响．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
如图，是一块高尔顿板示意图．在一块木板上钉上若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-5.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-5.TIF" \* MERGEFORMATINET
为了更好地考察随着试验次数的增加，落在各个球槽内的小球分布情况，我们进一步从频率的角度探究一下小球的分布规律，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标，得到如图统计图：
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-6.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-6.tif" \* MERGEFORMATINET
思考 随着试验次数的增加，这个统计图会呈现出什么形状？
提示：随着重复次数的增加，题图的形状会越来越像一条钟形曲线，如图所示．
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-7.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-7.tif" \* MERGEFORMATINET
(1)二项分布的分布列的直观图的特点：当n充分大时，X～B(n，p)的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”．
(2)正态曲线的解析式：φ(x)＝e－，φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝________，即X的均值；σ＝________，即X的标准差．
(3)正态曲线的形状：一般地，φ(x)对应的图象称为正态曲线(也因形状而被称为“________________”，φ(x)也常常记为φμ，σ(x)).
[答案自填] E(X) 钟形曲线
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)下列函数中，可以作为正态曲线的是( )
A．f(x)＝e－
B．f(x)＝e
C.f(x)＝e－
D．f(x)＝e－
(2)若随机变量X的正态曲线对应函数为φμ，σ(x)＝e，则D＝________________________________________________________________________．
【解析】 (1)显然f(x)＝e－可以作为正态曲线．故选A.
(2)因为D(X)＝4，所以D＝D(X)＝1.
【答案】 (1)A (2)1
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
熟记正态曲线解析式的形式，理解解析式中μ，σ的意义，μ＝E(X)，σ2＝D(X).
[跟踪训练1] 设正态曲线的解析式为f(x)＝e－，则( )
A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2
C．μ＝2，σ＝ D．μ＝3，σ＝
解析：选C.由f(x)＝e－，得μ＝2，σ＝.故选C.
(1)正态曲线关于________对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有____________、两边低的特点；
(2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为____；
(3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度________，所以曲线越“________”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度________，所以曲线越“________”．
[答案自填] x＝μ 中间高 1 越弱
胖 越强 瘦
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (2024·辽宁朝阳期末)已知三个正态曲线对应的函数fi(x)＝·e－ eq \f(（x－μi）2,2σ) (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-8.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-8.TIF" \* MERGEFORMATINET
A．μ1＝μ2＞μ3，σ1＝σ2＞σ3
B．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
C．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3
D．μ1＝μ2＞μ3，σ1＝σ2＜σ3
【解析】 根据正态曲线对应的函数中参数μ，σ的意义，结合题图可知f2(x)，f3(x)对称轴位置相同，所以可得μ2＝μ3，且都在f1(x)的右侧，即μ1＜μ2＝μ3，比较f1(x)和f2(x)图象可得，其形状相同，即σ1＝σ2，又f3(x)的离散程度比f1(x)和f2(x)大，所以可得σ1＝σ2＜σ3.故选B.
【答案】 B
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“胖”，表示总体的分布越分散．
[跟踪训练2] 已知甲、乙两类水果的质量(单位：kg)的均值和方差分别为μ1，σ，μ2，σ，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是( )
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-9.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-9.TIF" \* MERGEFORMATINET
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果质量的方差σ2＝1.99
解析：选D.由题图可知甲曲线关于直线x＝0.4对称，乙曲线关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A，C正确；因为甲曲线比乙曲线更“瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确；因为乙曲线的峰值为1.99，令x＝μ得，＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误．
正态曲线与x轴在某个区间内所围的面积：
(1)在区间[μ，μ＋σ]内所围面积约为________，
(2)在区间[μ＋σ，μ＋2σ]内所围面积约为________，
(3)在区间[μ＋2σ，μ＋3σ]内所围面积约为________．
如图．
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-10.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-10.tif" \* MERGEFORMATINET
[答案自填] 0.341 3 0.135 9 0.021 5
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例1)
INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\25HB-11.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25HB-11.TIF" \* MERGEFORMATINET
在一次测试中，测量结果X的正态曲线如图所示，若正态曲线与x轴在区间[0，2]内所围面积为0.2.求正态曲线与x轴在下列区间内所围面积．
(1)[0，4]；
(2)(4，＋∞).
【解】 (1)由题意可知，正态曲线关于直线x＝2对称，故正态曲线与x轴在区间[0，4]内所围面积是在区间[0，2]内所围面积的2倍，即2×0.2＝0.4.
(2)正态曲线与x轴在区间[2，4]内所围面积与在区间[0，2]内所围面积相等，均为0.2，且正态曲线与x轴在区间[2，4]内所围面积与在区间(4，＋∞)内所围面积的和为0.5，故在区间(4，＋∞)内所围面积为0.5－0.2＝0.3.
【变式探究】
(设问变式)在题设条件不变的情况下，分别计算区间(－∞，0) 及(－∞，4)内所围面积．
解：区间(4，＋∞)与区间(－∞，0)关于直线x＝2对称，故正态曲线与x轴在区间(－∞，0)内所围面积为0.3.正态曲线与x轴在区间(－∞，4)内所围面积与在区间(4，＋∞)内所围面积的和为1，故正态曲线与x轴在区间(－∞，4)内所围面积为1－0.3＝0.7.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，即正态曲线与x轴所围面积在关于x＝μ对称的区间上相等．
[跟踪训练3] (2024·山东济南月考)已知随机变量X的正态曲线的解析式为φ(x)＝·e－，若正态曲线与x轴在区间(－∞，m]内所围面积为0.3，则正态曲线与x轴在区间(－∞，6－m)内所围面积为________．
解析：区间(－∞，6－m)与区间(m，＋∞)关于直线x＝3对称，故正态曲线与x轴在区间(－∞，6－m)与在区间(m，＋∞)内所围面积相等，正态曲线在区间(m，＋∞)内与x轴所围面积为1－0.3＝0.7，所以所求面积为0.7.
答案：0.7
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．关于正态曲线函数φ(x)＝e－，下列说法错误的是( )
A．曲线关于直线x＝μ对称，峰值为
B．曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交
C．σ越大，曲线越“矮胖”
D．对任意σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1
解析：选B.A，C，D说法正确．对于B，正态曲线位于x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，但与x轴不相交，B说法错误．
2．已知正态曲线f(x)＝e－，x∈R，则μ，σ分别是( )
A．0和4 B．0和2
C．0和8 D．0和
解析：选B.f(x)＝e－＝·e－，故μ＝0，σ＝2.故选B.
3．(教材P97练习BT1改编)若随机变量X的正态曲线关于直线x＝2对称，若正态曲线与x轴在区间(－∞，k)内所围面积与在区间(k，＋∞)内所围面积是相等的，则k＝________．
解析：由于正态曲线与x轴在区间(－∞，k)内所围面积与在区间(k，＋∞)内所围面积是相等的，所以正态曲线关于直线x＝k对称，所以k＝2.
答案：2
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\临时文件\\1.2024年\\6\\3 数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：(1)二项分布与正态曲线；
(2)正态曲线及其性质；
(3)正态曲线与x轴所围的面积．
2．须贯通：正态曲线及其性质判断需借助数形结合思想．
3．应注意：概率区间转化不等价．